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8 cours80 points clés

22-01 · partie 1Unités, proportions et calcul algébrique

Une grandeur est le produit d’une valeur numérique par une unité ; changer d’unité change la valeur numérique, pas la grandeur.
Additionner deux grandeurs de dimensions différentes n’a pas de sens physique ; Q=V/t et C=m/V, donc C×Q a la dimension d’une masse par temps.
Milli signifie 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹ ; une conversion de surface ou de volume élève le facteur à la puissance correspondante.
Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants ; pour les diviser, on les soustrait ; ces règles ne s’appliquent pas à une somme.
L’argument d’une exponentielle ou d’un logarithme doit être sans dimension ; dans exp(-kt), k a donc l’unité inverse de celle du temps.
Une fraction a/b exige b non nul ; on peut simplifier un facteur commun, mais pas un terme au milieu d’une somme.
Si y = kx, le rapport y/x reste constant ; si y = k/x, le produit xy reste constant ; une droite hors origine n’est pas une proportionnalité directe.
Une hausse de 15 % multiplie par 1,15 ; une baisse de 15 % multiplie par 0,85 ; deux variations successives se composent par multiplication.
Pour deux solutions du même soluté, c_f = (c1V1 + c2V2)/(V1 + V2) si les volumes s’additionnent, et c_f est entre c1 et c2 sans réaction ni perte.
Une concentration de 4 g/L correspond à 4 mg/mL, mais 4 mmol/L ne correspond pas à 4 mg/mL sans masse molaire.

22-01 · partie 2Logarithmes, exponentielles et échelles

Passer de 20 % à 30 % correspond à une hausse de 10 points de pourcentage; la hausse relative vaut (30-20)/20 = 50 %.
Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas à la valeur initiale : en partant de 100, on obtient 120 puis 96.
Le logarithme décimal log10(x) est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir x; le logarithme népérien ln(x) utilise la base e; ils sont définis sur les réels strictement positifs.
La relation de changement de base est log10(x) = ln(x)/ln(10).
Les règles fondamentales sont ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)-ln(b), et ln(a^r)=r ln(a) lorsque les expressions sont définies; en revanche, ln(a+b) n'est généralement pas ln(a)+ln(b).
Sur une échelle logarithmique, des écarts égaux correspondent à des rapports égaux; les valeurs 1, 10 et 100 y sont régulièrement espacées, pas les différences absolues.
Le pH est défini à partir de l'activité des ions hydrogène; pH ≈ -log10([H+]/1 mol·L⁻¹); une augmentation d'une unité divise l'activité par dix.
Pour C(t)=C0 exp(-kt), chercher C/C0=r donne ln(r)=-kt, donc t=-ln(r)/k; pour r=1/2, t1/2=ln(2)/k; la demi-vie est constante si k l'est et si le modèle d'ordre un convient.
Éliminer 90 % signifie qu'il reste 10 %; mettre r=0,90 calculerait le temps de seulement 10 % de disparition; écrire restant ou éliminé évite cette inversion.
Un tracé log10(C/C0) a une pente -k/ln 10, un tracé ln(C/C0) a -k; lire une pente décimale comme népérienne produit une erreur d'un facteur ln 10.

22-01 · partie 3Approximations et propagation des incertitudes

Pour une petite variation Δx autour de x, f(x+Δx) ≈ f(x)+f'(x)Δx, approximation linéaire valable si courbure et amplitude le permettent.
Autour de zéro, exp(x) ≈ 1+x et ln(1+x) ≈ x pour |x| petit.
Si y=ax avec a exact, l'incertitude absolue sur y vaut |a| fois celle sur x dans un modèle simple.
Pour y=ax^n avec a exact, l'incertitude relative est approximativement |n| fois u(x)/|x|.
Pour y=ab, les incertitudes types indépendantes donnent une somme quadratique des contributions, pas une somme arithmétique.
Pour une différence D=X−Y, Var(D)=Var(X)+Var(Y)−2Cov(X,Y); une covariance positive peut réduire l'incertitude de la différence.
Il ne faut pas mélanger incertitude-type, intervalle de confiance et amplitude minimale-maximale, ni appeler automatiquement 95 % une plage ±u ou ±2u.
Calculer la différence de deux nombres presque égaux peut amplifier leurs erreurs relatives; les chiffres de garde doivent être conservés jusqu'au résultat final.
Une erreur relative est mal adaptée quand la valeur de référence est proche de zéro; une petite erreur absolue peut produire un énorme pourcentage.
Une propagation linéaire peut échouer près d'un extremum ou pour de fortes incertitudes, car la dérivée peut être nulle sans annuler l'incertitude.

22-01 · partie 4Systèmes linéaires et calcul numérique

Un système linéaire de deux équations s’écrit ax + by = e et cx + dy = f; les coefficients décrivent les contributions de deux inconnues à deux contraintes.
Le déterminant Δ = ad − bc indique si les deux contraintes sont indépendantes; s’il est non nul, une solution unique existe; s’il est nul, pas de solution ou infinité.
Les formules explicites sont x = (ed − bf)/Δ et y = (af − ec)/Δ quand Δ est non nul.
Si deux contraintes sont presque proportionnelles, leur intersection peut changer beaucoup sous de petites perturbations; le système est alors mal conditionné.
Si f est continue sur [a ; b] et change de signe, au moins une racine existe; la dichotomie divise la largeur par deux à chaque étape.
Après n divisions, la largeur vaut (b − a)/2^n; le milieu a une erreur d’encadrement au plus égale à la moitié de cette largeur.
La méthode de Newton utilise x_suivant = x − f(x)/f′(x); elle peut diverger si la dérivée est nulle ou très petite, ou si le point de départ est mal choisi.
Un petit résidu ne signifie pas toujours une petite erreur sur x si la fonction est très plate; il faut distinguer critère d’arrêt algorithmique et précision scientifique des données.
L’interpolation affine entre deux points donne y = y1 + (y2 − y1)(x − x1)/(x2 − x1); en dehors de l’intervalle, c’est une extrapolation, souvent plus fragile.
Le résidu est la différence entre le membre gauche calculé et le membre droit; le conditionnement appartient au problème, la stabilité à l’algorithme.

22-02 · partie 1Fonctions, dérivées et optimisation

Une fonction associe à une entrée une sortie selon une règle; son domaine précise les entrées admises, par exemple zéro exclu pour 1/x et x>0 pour ln(x).
La dérivée décrit un taux de variation local; si x dépend du temps, dx/dt est la vitesse et d²x/dt² l’accélération, avec unités m, m/s puis m/s².
Les dérivées usuelles sont (x^n)'=n x^n-1, (exp x)'=exp x, (ln x)'=1/x pour x>0, (sin x)'=cos x et (cos x)'=-sin x pour un angle en radians.
La dérivée de uv vaut u'v+uv'; celle de u/v vaut (u'v-uv')/v² si v non nul; celle de f(g(x)) vaut f'(g(x))g'(x).
Un point intérieur où une fonction dérivable a un extremum vérifie f'=0, mais la réciproque est fausse: f(x)=x³ a une dérivée nulle en zéro sans extremum.
Pour une fonction continue sur un intervalle fermé, les candidats aux extrema sont les points intérieurs où f' s’annule ou n’existe pas, et les bornes.
Un optimum mathématique peut être hors du domaine physiquement admissible; le domaine peut donc placer l’optimum sur une borne.
Le rapport xf'(x)/f(x), lorsque défini, mesure la variation relative de la sortie pour une petite variation relative de x; pour f(x)=ax^n, il vaut n.
La tangente au point x0 s’écrit f(x0)+f'(x0)(x−x0); une pente nulle signifie une tangente horizontale, pas forcément un extremum.
Pour C(t)=10 exp(-0,2t), avec C en mg/L et t en heures, C'(t)=-2 exp(-0,2t) mg·L⁻¹·h⁻¹; à t=0 la pente vaut -2 mg·L⁻¹·h⁻¹.

22-02 · partie 2Intégrales, aires et quantités cumulées

Une primitive F de f vérifie F'=f ; deux primitives diffèrent d’une constante sur un intervalle.
L’intégrale de f entre a et b vaut F(b)-F(a) lorsque les conditions du théorème fondamental sont réunies.
L’intégrale représente une accumulation algébrique : une fonction négative contribue négativement, donc toute intégrale n’est pas une aire positive.
L’intégrale multiplie l’unité de l’ordonnée par celle de l’abscisse : débit par temps donne volume, concentration par temps donne AUC.
Pour C(t)=C0 exp(-kt), k>0, l’intégrale de zéro à l’infini vaut C0/k ; si C0=10 mg/L et k=0,2 h⁻¹, AUC=50 mg·h/L.
Méthode des trapèzes : entre deux temps, aire ≈ (C1+C2)/2 × (t2-t1), avec interpolation linéaire locale.
L’aire jusqu’au dernier prélèvement est observée ; la partie après nécessite un modèle, par exemple C_dernier/k_terminal en phase terminale exponentielle.
La moyenne temporelle d’une fonction sur [a ; b] est son intégrale divisée par b − a.
Une intégrale calculée avec t en heures puis en minutes représente la même grandeur si fonction et différentiel sont transformés ensemble ; oublier le facteur 60 multiplie l’aire par soixante.
Pour une courbe convexe, les cordes sont au-dessus de la courbe et les trapèzes peuvent surestimer l’aire ; une exponentielle décroissante est convexe.

22-02 · partie 3Équations différentielles et bilans

Pour un compartiment, la variation de quantité vaut entrées moins sorties, en tenant compte des transformations éventuelles.
Une élimination proportionnelle à la quantité donne dQ/dt=-kQ, de solution Q(t)=Q0 exp(-kt).
Une élimination à débit constant donne dQ/dt=-a et Q(t)=Q0-at, sans prolonger vers des quantités négatives.
Avec entrée constante R et élimination kQ, dQ/dt=R-kQ, équilibre Qeq=R/k, solution Q(t)=Qeq+(Q0-Qeq)exp(-kt).
Après une demi-vie, on a parcouru la moitié de l’écart initial à l’équilibre ; après deux, les trois quarts ; après quatre, 93,75 %.
Si aucune création, destruction ni sortie globale n’existe, la somme des quantités de deux compartiments se conserve.
Un coefficient de transfert proportionnel à Q possède l’unité inverse du temps, chaque terme du bilan ayant l’unité quantité par temps.
Si C=Q/V et V varie, dQ/dt = V dC/dt + C dV/dt ; oublier le second terme confond dilution et disparition de substance.
Pour dQ/dt=R-kQ, poser Z=Q-Qeq donne dZ/dt=-kZ, donc l’écart à l’équilibre décroît exponentiellement.
Si une entrée s’arrête à t1, Q(t1) devient la condition initiale de la décroissance suivante, sans repartir de zéro.

22-02 · partie 4Vecteurs, projections et trigonométrie

Un vecteur en deux dimensions a des composantes (u_x ; u_y) dans un repère orthonormé, et sa norme vaut racine(u_x² + u_y²), positive ou nulle, avec l’unité des composantes.
Additionner deux vecteurs revient à additionner leurs composantes correspondantes ; additionner seulement leurs normes n’est correct que pour même direction et même sens.
Pour une force F faisant un angle θ avec l’axe x positif, F_x = F cos θ et F_y = F sin θ, et ces composantes peuvent être négatives.
Un tour complet vaut 360° ou 2π radians ; un angle en radians est le rapport d’une longueur d’arc au rayon, donc sans dimension.
L’identité sin² θ + cos² θ = 1 assure que les composantes reconstruites ont la norme annoncée ; le signe de sin et cos dépend du quadrant.
Le produit scalaire u·v vaut u_x v_x + u_y v_y, ou norme(u) norme(v) cos θ ; nul si perpendiculaires non nuls, positif si angle aigu, négatif si angle obtus.
Le travail d’une force constante sur un déplacement est F·d ; une composante perpendiculaire ne contribue pas à ce travail.
La projection de u sur un axe unitaire e vaut u·e ; une mesure Doppler renseigne sur une projection de vitesse, avec un facteur cos θ.
Le moment signé autour de l’origine s’écrit M_z = xF_y − yF_x, de norme rF sin θ et bras r sin θ ; à l’équilibre, forces et moments doivent être vérifiés.
Pour v_projection = v cos θ, la correction v = v_projection/cos θ devient très sensible quand θ approche 90° ; une arctangente simple peut perdre le quadrant.

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22-01 · partie 1Unités, proportions et calcul algébrique

Une grandeur est le produit d’une valeur numérique par une unité ; changer d’unité change la valeur numérique, pas la grandeur.

Additionner deux grandeurs de dimensions différentes n’a pas de sens physique ; Q=V/t et C=m/V, donc C×Q a la dimension d’une masse par temps.

Milli signifie 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹ ; une conversion de surface ou de volume élève le facteur à la puissance correspondante.

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants ; pour les diviser, on les soustrait ; ces règles ne s’appliquent pas à une somme.

L’argument d’une exponentielle ou d’un logarithme doit être sans dimension ; dans exp(-kt), k a donc l’unité inverse de celle du temps.

Une fraction a/b exige b non nul ; on peut simplifier un facteur commun, mais pas un terme au milieu d’une somme.

Si y = kx, le rapport y/x reste constant ; si y = k/x, le produit xy reste constant ; une droite hors origine n’est pas une proportionnalité directe.

Une hausse de 15 % multiplie par 1,15 ; une baisse de 15 % multiplie par 0,85 ; deux variations successives se composent par multiplication.

Pour deux solutions du même soluté, c_f = (c1V1 + c2V2)/(V1 + V2) si les volumes s’additionnent, et c_f est entre c1 et c2 sans réaction ni perte.

Une concentration de 4 g/L correspond à 4 mg/mL, mais 4 mmol/L ne correspond pas à 4 mg/mL sans masse molaire.

22-01 · partie 2Logarithmes, exponentielles et échelles

Passer de 20 % à 30 % correspond à une hausse de 10 points de pourcentage; la hausse relative vaut (30-20)/20 = 50 %.

Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas à la valeur initiale : en partant de 100, on obtient 120 puis 96.

Le logarithme décimal log10(x) est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir x; le logarithme népérien ln(x) utilise la base e; ils sont définis sur les réels strictement positifs.

La relation de changement de base est log10(x) = ln(x)/ln(10).

Les règles fondamentales sont ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)-ln(b), et ln(a^r)=r ln(a) lorsque les expressions sont définies; en revanche, ln(a+b) n'est généralement pas ln(a)+ln(b).

Sur une échelle logarithmique, des écarts égaux correspondent à des rapports égaux; les valeurs 1, 10 et 100 y sont régulièrement espacées, pas les différences absolues.

Le pH est défini à partir de l'activité des ions hydrogène; pH ≈ -log10([H+]/1 mol·L⁻¹); une augmentation d'une unité divise l'activité par dix.

Pour C(t)=C0 exp(-kt), chercher C/C0=r donne ln(r)=-kt, donc t=-ln(r)/k; pour r=1/2, t1/2=ln(2)/k; la demi-vie est constante si k l'est et si le modèle d'ordre un convient.

Éliminer 90 % signifie qu'il reste 10 %; mettre r=0,90 calculerait le temps de seulement 10 % de disparition; écrire restant ou éliminé évite cette inversion.

Un tracé log10(C/C0) a une pente -k/ln 10, un tracé ln(C/C0) a -k; lire une pente décimale comme népérienne produit une erreur d'un facteur ln 10.

22-01 · partie 3Approximations et propagation des incertitudes

Pour une petite variation Δx autour de x, f(x+Δx) ≈ f(x)+f'(x)Δx, approximation linéaire valable si courbure et amplitude le permettent.

Autour de zéro, exp(x) ≈ 1+x et ln(1+x) ≈ x pour |x| petit.

Si y=ax avec a exact, l'incertitude absolue sur y vaut |a| fois celle sur x dans un modèle simple.

Pour y=ax^n avec a exact, l'incertitude relative est approximativement |n| fois u(x)/|x|.

Pour y=ab, les incertitudes types indépendantes donnent une somme quadratique des contributions, pas une somme arithmétique.

Pour une différence D=X−Y, Var(D)=Var(X)+Var(Y)−2Cov(X,Y); une covariance positive peut réduire l'incertitude de la différence.

Il ne faut pas mélanger incertitude-type, intervalle de confiance et amplitude minimale-maximale, ni appeler automatiquement 95 % une plage ±u ou ±2u.

Calculer la différence de deux nombres presque égaux peut amplifier leurs erreurs relatives; les chiffres de garde doivent être conservés jusqu'au résultat final.

Une erreur relative est mal adaptée quand la valeur de référence est proche de zéro; une petite erreur absolue peut produire un énorme pourcentage.

Une propagation linéaire peut échouer près d'un extremum ou pour de fortes incertitudes, car la dérivée peut être nulle sans annuler l'incertitude.

22-01 · partie 4Systèmes linéaires et calcul numérique

Un système linéaire de deux équations s’écrit ax + by = e et cx + dy = f; les coefficients décrivent les contributions de deux inconnues à deux contraintes.

Le déterminant Δ = ad − bc indique si les deux contraintes sont indépendantes; s’il est non nul, une solution unique existe; s’il est nul, pas de solution ou infinité.

Les formules explicites sont x = (ed − bf)/Δ et y = (af − ec)/Δ quand Δ est non nul.

Si deux contraintes sont presque proportionnelles, leur intersection peut changer beaucoup sous de petites perturbations; le système est alors mal conditionné.

Si f est continue sur [a ; b] et change de signe, au moins une racine existe; la dichotomie divise la largeur par deux à chaque étape.

Après n divisions, la largeur vaut (b − a)/2^n; le milieu a une erreur d’encadrement au plus égale à la moitié de cette largeur.

La méthode de Newton utilise x_suivant = x − f(x)/f′(x); elle peut diverger si la dérivée est nulle ou très petite, ou si le point de départ est mal choisi.

Un petit résidu ne signifie pas toujours une petite erreur sur x si la fonction est très plate; il faut distinguer critère d’arrêt algorithmique et précision scientifique des données.

L’interpolation affine entre deux points donne y = y1 + (y2 − y1)(x − x1)/(x2 − x1); en dehors de l’intervalle, c’est une extrapolation, souvent plus fragile.

Le résidu est la différence entre le membre gauche calculé et le membre droit; le conditionnement appartient au problème, la stabilité à l’algorithme.

22-02 · partie 1Fonctions, dérivées et optimisation

Une fonction associe à une entrée une sortie selon une règle; son domaine précise les entrées admises, par exemple zéro exclu pour 1/x et x>0 pour ln(x).

La dérivée décrit un taux de variation local; si x dépend du temps, dx/dt est la vitesse et d²x/dt² l’accélération, avec unités m, m/s puis m/s².

Les dérivées usuelles sont (x^n)'=n x^n-1, (exp x)'=exp x, (ln x)'=1/x pour x>0, (sin x)'=cos x et (cos x)'=-sin x pour un angle en radians.

La dérivée de uv vaut u'v+uv'; celle de u/v vaut (u'v-uv')/v² si v non nul; celle de f(g(x)) vaut f'(g(x))g'(x).

Un point intérieur où une fonction dérivable a un extremum vérifie f'=0, mais la réciproque est fausse: f(x)=x³ a une dérivée nulle en zéro sans extremum.

Pour une fonction continue sur un intervalle fermé, les candidats aux extrema sont les points intérieurs où f' s’annule ou n’existe pas, et les bornes.

Un optimum mathématique peut être hors du domaine physiquement admissible; le domaine peut donc placer l’optimum sur une borne.

Le rapport xf'(x)/f(x), lorsque défini, mesure la variation relative de la sortie pour une petite variation relative de x; pour f(x)=ax^n, il vaut n.

La tangente au point x0 s’écrit f(x0)+f'(x0)(x−x0); une pente nulle signifie une tangente horizontale, pas forcément un extremum.

Pour C(t)=10 exp(-0,2t), avec C en mg/L et t en heures, C'(t)=-2 exp(-0,2t) mg·L⁻¹·h⁻¹; à t=0 la pente vaut -2 mg·L⁻¹·h⁻¹.

22-02 · partie 2Intégrales, aires et quantités cumulées

Une primitive F de f vérifie F'=f ; deux primitives diffèrent d’une constante sur un intervalle.

L’intégrale de f entre a et b vaut F(b)-F(a) lorsque les conditions du théorème fondamental sont réunies.

L’intégrale représente une accumulation algébrique : une fonction négative contribue négativement, donc toute intégrale n’est pas une aire positive.

L’intégrale multiplie l’unité de l’ordonnée par celle de l’abscisse : débit par temps donne volume, concentration par temps donne AUC.

Pour C(t)=C0 exp(-kt), k>0, l’intégrale de zéro à l’infini vaut C0/k ; si C0=10 mg/L et k=0,2 h⁻¹, AUC=50 mg·h/L.

Méthode des trapèzes : entre deux temps, aire ≈ (C1+C2)/2 × (t2-t1), avec interpolation linéaire locale.

L’aire jusqu’au dernier prélèvement est observée ; la partie après nécessite un modèle, par exemple C_dernier/k_terminal en phase terminale exponentielle.

La moyenne temporelle d’une fonction sur [a ; b] est son intégrale divisée par b − a.

Une intégrale calculée avec t en heures puis en minutes représente la même grandeur si fonction et différentiel sont transformés ensemble ; oublier le facteur 60 multiplie l’aire par soixante.

Pour une courbe convexe, les cordes sont au-dessus de la courbe et les trapèzes peuvent surestimer l’aire ; une exponentielle décroissante est convexe.

22-02 · partie 3Équations différentielles et bilans

Pour un compartiment, la variation de quantité vaut entrées moins sorties, en tenant compte des transformations éventuelles.

Une élimination proportionnelle à la quantité donne dQ/dt=-kQ, de solution Q(t)=Q0 exp(-kt).

Une élimination à débit constant donne dQ/dt=-a et Q(t)=Q0-at, sans prolonger vers des quantités négatives.

Avec entrée constante R et élimination kQ, dQ/dt=R-kQ, équilibre Qeq=R/k, solution Q(t)=Qeq+(Q0-Qeq)exp(-kt).

Après une demi-vie, on a parcouru la moitié de l’écart initial à l’équilibre ; après deux, les trois quarts ; après quatre, 93,75 %.

Si aucune création, destruction ni sortie globale n’existe, la somme des quantités de deux compartiments se conserve.

Un coefficient de transfert proportionnel à Q possède l’unité inverse du temps, chaque terme du bilan ayant l’unité quantité par temps.

Si C=Q/V et V varie, dQ/dt = V dC/dt + C dV/dt ; oublier le second terme confond dilution et disparition de substance.

Pour dQ/dt=R-kQ, poser Z=Q-Qeq donne dZ/dt=-kZ, donc l’écart à l’équilibre décroît exponentiellement.

Si une entrée s’arrête à t1, Q(t1) devient la condition initiale de la décroissance suivante, sans repartir de zéro.

22-02 · partie 4Vecteurs, projections et trigonométrie

Un vecteur en deux dimensions a des composantes (u_x ; u_y) dans un repère orthonormé, et sa norme vaut racine(u_x² + u_y²), positive ou nulle, avec l’unité des composantes.

Additionner deux vecteurs revient à additionner leurs composantes correspondantes ; additionner seulement leurs normes n’est correct que pour même direction et même sens.

Pour une force F faisant un angle θ avec l’axe x positif, F_x = F cos θ et F_y = F sin θ, et ces composantes peuvent être négatives.

Un tour complet vaut 360° ou 2π radians ; un angle en radians est le rapport d’une longueur d’arc au rayon, donc sans dimension.

L’identité sin² θ + cos² θ = 1 assure que les composantes reconstruites ont la norme annoncée ; le signe de sin et cos dépend du quadrant.

Le produit scalaire u·v vaut u_x v_x + u_y v_y, ou norme(u) norme(v) cos θ ; nul si perpendiculaires non nuls, positif si angle aigu, négatif si angle obtus.

Le travail d’une force constante sur un déplacement est F·d ; une composante perpendiculaire ne contribue pas à ce travail.

La projection de u sur un axe unitaire e vaut u·e ; une mesure Doppler renseigne sur une projection de vitesse, avec un facteur cos θ.

Le moment signé autour de l’origine s’écrit M_z = xF_y − yF_x, de norme rF sin θ et bras r sin θ ; à l’équilibre, forces et moments doivent être vérifiés.

Pour v_projection = v cos θ, la correction v = v_projection/cos θ devient très sensible quand θ approche 90° ; une arctangente simple peut perdre le quadrant.

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