L’essentiel de Mathématiques au lycée

L’essentiel et les pièges de chaque chapitre, Première et Terminale, sur une seule page. Un point te bloque ? Le titre ouvre le cours complet et ses exercices corrigés.

22 chapitres325 points clés

M01 · PremièreSecond degré

Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole.
La forme canonique a(x - α)² + β s'obtient avec α = -b/(2a) et β = f(α).
Le sommet de la parabole est S(α ; β) et la droite d'équation x = α est son axe de symétrie.
Si a > 0, f décroît puis croît et admet un minimum β en α ; si a < 0, f croît puis décroît et admet un maximum β en α.
Le discriminant Δ = b² - 4ac donne le nombre de racines : deux si Δ > 0, une si Δ = 0, aucune si Δ < 0.
Si Δ > 0, les racines sont (-b - √Δ)/(2a) et (-b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, la racine double est -b/(2a).
La forme factorisée est a(x - x₁)(x - x₂) si Δ > 0 et a(x - x₀)² si Δ = 0 ; il n'y en a pas si Δ < 0.
La somme des racines vaut -b/a et leur produit c/a.
Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de X² - SX + P = 0.
Si a + b + c = 0, 1 est racine ; si a - b + c = 0, -1 est racine.
Un trinôme est du signe de a à l'extérieur de ses racines et du signe contraire entre elles.
Si Δ < 0, le trinôme garde partout le signe de a.
Pour résoudre une inéquation, on ramène tout à f(x) comparé à 0, puis on lit le tableau de signes.
Une équation bicarrée ax⁴ + bx² + c = 0 se résout en posant X = x² avec X ≥ 0.
Les abscisses des points communs à deux courbes sont les solutions de f(x) = g(x), et le signe de f(x) - g(x) donne leur position relative.

Pièges à éviter Oublier le coefficient a devant la forme factorisée. Diviser par 2 au lieu de 2a dans la formule des racines, surtout quand a est négatif. Diviser une inéquation par une expression en x de signe inconnu, ou oublier de renverser l'inégalité en divisant par un nombre négatif. Confondre « Δ < 0 » (pas de racine) avec « pas de solution » pour une inéquation : la réponse peut être ℝ tout entier. Se tromper de crochets : racines incluses pour ≤ et ≥, exclues pour < et >. Garder, dans une équation bicarrée, une valeur négative de X = x².

M02 · PremièreSuites numériques : généralités, arithmétiques et géométriques

Une suite associe à chaque entier naturel n un réel uₙ ; on la représente par des points isolés (n ; uₙ).
Une suite est explicite si uₙ = f(n), et récurrente si l'on donne u₀ et une relation u(n+1) = f(uₙ).
Le terme u(n+1) est le terme suivant uₙ, à ne pas confondre avec uₙ + 1.
Le sens de variation s'étudie par le signe de u(n+1) - uₙ, méthode valable dans tous les cas.
Pour des termes strictement positifs, on peut comparer le quotient u(n+1)/uₙ à 1.
Pour une suite explicite uₙ = f(n), les variations de f sur [0 ; +∞[ donnent celles de la suite.
Une suite arithmétique vérifie u(n+1) = uₙ + r et son terme général est uₙ = u₀ + nr.
Une suite arithmétique est croissante si r > 0 et décroissante si r < 0 ; ses points sont alignés.
Une suite géométrique vérifie u(n+1) = q × uₙ et son terme général est uₙ = u₀ × qⁿ.
Une évolution de t % par période correspond à une suite géométrique de raison 1 + t/100.
Avec u₀ > 0, une suite géométrique est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1.
La somme 1 + 2 + ... + n vaut n(n + 1)/2 et la somme 1 + q + ... + qⁿ vaut (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) pour q ≠ 1.
La suite qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si -1 < q < 1, et n'a pas de limite si q ≤ -1.
Un algorithme de seuil utilise une boucle « tant que » dont la condition est le contraire de l'objectif.

Pièges à éviter Compter n termes au lieu de n + 1 dans une somme de u₀ à uₙ. Modéliser un pourcentage constant par une suite arithmétique au lieu d'une suite géométrique. Additionner des pourcentages successifs : deux hausses de 10 % font 21 %, pas 20 %. Utiliser la méthode du quotient alors que des termes sont négatifs ou nuls. Croire que u(n+1) = f(uₙ) avec f croissante donne une suite croissante. Écrire dans une boucle de seuil la condition de l'objectif au lieu de son contraire.

M03 · PremièreDérivation : nombre dérivé et fonction dérivée

Le taux de variation de f entre a et a + h est (f(a + h) - f(a))/h : c'est la pente de la sécante, ou une vitesse moyenne.
f est dérivable en a si ce taux tend vers un réel quand h tend vers 0 ; ce réel est le nombre dérivé f'(a).
Le nombre dérivé est un taux de variation instantané, par exemple une vitesse instantanée.
La tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a).
Une tangente est horizontale exactement quand f'(a) = 0.
Près de a, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h : c'est l'approximation affine.
La racine carrée n'est pas dérivable en 0 et la valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
La dérivée d'un produit est u'v + uv', celle d'un quotient est (u'v - uv')/v².
La dérivée de x ↦ g(ax + b) est x ↦ a × g'(ax + b).
Sur un intervalle, f' ≥ 0 entraîne f croissante et f' ≤ 0 entraîne f décroissante.
Pour étudier le signe de f', on la factorise, puis on dresse un tableau de signes.
Un extremum local en un point intérieur où f est dérivable impose f'(c) = 0.
f'(c) = 0 ne suffit pas : il faut que f' change de signe en c (contre-exemple x³ en 0).
Sur un intervalle fermé, le maximum ou le minimum peut être atteint à une borne.
Pour démontrer f(x) ≥ g(x), on étudie le minimum de f(x) - g(x).

Pièges à éviter Écrire (uv)' = u'v' : c'est faux, la bonne formule est u'v + uv'. Inverser l'ordre ou le signe dans la formule du quotient. Oublier le facteur a dans la dérivée de g(ax + b). Confondre f(a) et f'(a) dans l'équation de la tangente. Conclure à un extremum dès que f'(c) = 0, sans vérifier le changement de signe. Appliquer le lien signe de f' et variations sur une réunion d'intervalles, comme pour 1/x sur ℝ privé de 0.

M04 · PremièreFonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1.
Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1, donc l'exponentielle ne s'annule jamais.
La relation fonctionnelle exp(a + b) = exp(a) × exp(b) transforme une somme en produit.
On note e = exp(1) ≈ 2,718 et exp(x) = eˣ ; les règles de calcul sont celles des puissances.
Pour tout réel x, eˣ > 0, car eˣ est le carré de e^x/2 et n'est pas nul.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, puisque sa dérivée est elle-même, strictement positive.
On a eᵃ = eᵇ si et seulement si a = b, et eᵃ < eᵇ si et seulement si a < b.
La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e), et sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1.
Pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1 : la courbe est au-dessus de sa tangente en 0.
La dérivée de x ↦ e^{ax + b} est x ↦ a e^{ax + b}.
Dans une dérivée contenant eˣ en facteur, le signe est celui de l'autre facteur.
La fonction x ↦ e^kx vérifie f' = kf et f(0) = 1 ; elle est croissante si k > 0 et décroissante si k < 0.
La suite (e^na) est géométrique de raison eᵃ : une exponentielle observée à pas réguliers évolue à pourcentage constant.
Un modèle N₀e^kt avec k > 0 a un temps de doublement constant ; un modèle N₀e^-λt a une demi-vie constante.

Pièges à éviter Écrire e^{a + b} = eᵃ + eᵇ : c'est un produit, pas une somme. Confondre (eᵃ)² = e^2a avec e^a². Chercher des solutions à eˣ = 0 ou eˣ = -2 : il n'y en a aucune. Oublier le facteur a dans la dérivée de e^{ax + b}. Garder une solution X ≤ 0 après le changement de variable X = eˣ. Étudier le signe de l'exponentielle dans une dérivée : il est toujours positif, seul l'autre facteur compte.

M05 · PremièreTrigonométrie et fonctions cosinus et sinus

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).
Un radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur un cercle de rayon 1 ; on a π rad = 180°.
En enroulant la droite des réels sur le cercle à partir de I(1 ; 0), chaque réel x a un unique point image M(x).
Les réels x et x + 2kπ (k entier relatif) ont le même point image ; un point du cercle est donc l'image d'une infinité de réels.
La mesure principale d'un réel est l'unique réel de ]-π ; π] qui a le même point image.
Le cosinus de x est l'abscisse de M(x), le sinus de x en est l'ordonnée.
Pour tout réel x, cos x et sin x sont compris entre -1 et 1, et cos²x + sin²x = 1.
Le signe de cos x et de sin x se lit sur le quadrant où se trouve M(x).
Les angles associés (-x, π - x, π + x, π/2 - x, π/2 + x) se déduisent des symétries du cercle.
L'équation cos x = cos α a pour solutions α + 2kπ et -α + 2kπ ; l'équation sin x = sin α a pour solutions α + 2kπ et π - α + 2kπ.
Une inéquation trigonométrique se résout en lisant un arc de cercle, puis en respectant les bornes de l'intervalle imposé.
Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur ℝ et périodiques de période 2π.
La fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), la fonction sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à O).
Sur [0 ; π], cosinus décroît de 1 à -1 ; sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; π/2] puis décroît de 1 à 0 sur [π/2 ; π].
Les courbes sont des sinusoïdes ; celle du cosinus est celle du sinus translatée de π/2 vers la gauche.
La fonction x ↦ sin(ωx), avec ω > 0, a pour période 2π/ω.

Pièges à éviter Choisir le signe de cos x ou sin x sans regarder l'intervalle où se trouve x. Écrire -α au lieu de π - α comme seconde solution de sin x = sin α. Oublier que -π est exclu et π inclus dans ]-π ; π] pour la mesure principale. Résoudre cos x = a avec a hors de [-1 ; 1], alors qu'il n'y a aucune solution. Laisser la calculatrice en mode degré. Confondre cos²x, c'est-à-dire (cos x)², avec cos(x²).

M06 · PremièreProduit scalaire et géométrie repérée

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur.
Pour deux vecteurs non nuls, u→·v→ = ‖u→‖ × ‖v→‖ × cos(u→, v→) ; si l'un est nul, le produit scalaire vaut 0.
Le signe du produit scalaire indique la nature de l'angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors AB→·AC→ = AB→·AH→, qui vaut AB × AH ou -AB × AH selon le sens.
Dans un repère orthonormé, u→(x ; y)·v→(x' ; y') = xx' + yy'.
Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme : AB→·AB→ = AB².
Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, ce qui donne des identités remarquables, mais on ne simplifie jamais par un vecteur.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
La formule d'Al-Kashi généralise Pythagore à tout triangle et permet de calculer un côté ou un angle.
L'ensemble des points M tels que MA→·MB→ = 0 est le cercle de diamètre [AB].
La droite de vecteur normal n→(a ; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0, et u→(-b ; a) la dirige.
Le projeté orthogonal H de A sur une droite se trouve en suivant le vecteur normal depuis A ; AH est la distance de A à la droite.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x - a)² + (y - b)² = r².
Une équation x² + y² + αx + βy + γ = 0 se met sous forme canonique : cercle, point unique ou ensemble vide selon le signe du second membre.
La tangente à un cercle en A est perpendiculaire au rayon : ΩA→ en est un vecteur normal.
La parabole y = ax² + bx + c a pour sommet S(α ; f(α)) avec α = -b/(2a), et pour axe de symétrie la droite x = α.

Pièges à éviter Mettre une flèche sur le résultat d'un produit scalaire. Utiliser xx' + yy' dans un repère qui n'est pas orthonormé. Oublier le signe moins quand le projeté H est du côté opposé à B par rapport à A. Déduire v→ = w→ de u→·v→ = u→·w→. Prendre le mauvais côté dans Al-Kashi : le côté isolé est celui opposé à l'angle. Confondre vecteur normal (a ; b) et vecteur directeur (-b ; a) d'une droite. Conclure qu'une équation est un cercle sans vérifier que le second membre de la forme canonique est strictement positif.

M07 · PremièreProbabilités conditionnelles et indépendance

Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est P(B ∣ A) = P(A ∩ B) / P(A).
L'événement écrit après la barre est celui que l'on sait réalisé : l'univers est restreint à cet événement.
En général P(B ∣ A) est différent de P(A ∣ B), et les confondre est l'erreur la plus fréquente.
Pour A fixé, P(· ∣ A) est une loi de probabilité : en particulier P(B̄ ∣ A) = 1 - P(B ∣ A).
La formule des probabilités composées donne P(A ∩ B) = P(A) × P(B ∣ A).
Dans un tableau croisé, une probabilité conditionnelle est une proportion calculée dans une seule ligne ou une seule colonne.
Dans un arbre pondéré, le premier niveau porte des probabilités simples et le second des probabilités conditionnelles.
La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1 ; un chemin a pour probabilité le produit de ses branches.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Une partition de l'univers est une famille d'événements deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, dont la réunion est Ω.
La formule des probabilités totales donne P(B) comme somme des P(Aᵢ) × P(B ∣ Aᵢ) sur une partition.
Pour inverser un conditionnement, on calcule P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), avec P(B) obtenu par les probabilités totales.
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; si P(A) ≠ 0, cela équivaut à P(B ∣ A) = P(B).
Si A et B sont indépendants, Ā et B, A et B̄, Ā et B̄ le sont aussi.
Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Pour deux épreuves indépendantes successives, la probabilité d'un couple d'issues est le produit des probabilités.

Pièges à éviter Traduire « 3 % des pièces de la machine A sont défectueuses » par P(A ∩ D) au lieu de P(D ∣ A). Inverser P(A ∣ B) et P(B ∣ A). Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales. Confondre incompatibles et indépendants. Croire qu'un tirage sans remise donne des tirages indépendants. Conclure à l'indépendance par intuition, sans comparer P(A ∩ B) et P(A) × P(B).

M08 · PremièreVariables aléatoires réelles

Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers.
{X = a} désigne l'événement formé des issues dont l'image par X vaut a ; on définit de même {X ≤ a} ou {X > a}.
La loi de probabilité de X donne P(X = xᵢ) pour chaque valeur xᵢ, et la somme de ces probabilités vaut 1.
L'espérance E(X) est la moyenne des valeurs de X pondérée par leurs probabilités.
L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne de X sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience.
Un jeu est équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle, favorable si elle est positive, défavorable si elle est négative.
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance ; elle est positive ou nulle.
L'écart type est la racine carrée de la variance et s'exprime dans la même unité que X.
La formule de König-Huygens donne V(X) = E(X²) - (E(X))².
Ajouter une constante décale l'espérance sans changer la dispersion.
Multiplier X par a multiplie l'espérance par a, la variance par a² et l'écart type par la valeur absolue de a.
La variable centrée réduite (X - E(X))/σ(X) a pour espérance 0 et pour écart type 1.
Une variable de Bernoulli de paramètre p vaut 1 avec la probabilité p et 0 sinon ; son espérance est p et sa variance p(1 - p).
Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois l'expérience de façon indépendante ; sa moyenne fluctue d'un échantillon à l'autre.
Pour n assez grand, environ 95 % des moyennes d'échantillons sont à une distance au plus 2σ/√n de l'espérance μ.
Pour diviser par 2 la largeur de l'intervalle de fluctuation, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4.

Pièges à éviter Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut 1. Oublier de retrancher la mise dans un gain algébrique. Confondre E(X²) et (E(X))². Écrire V(aX + b) = aV(X) + b : la constante disparaît et a est élevé au carré. Donner un écart type négatif : on prend la valeur absolue de a. Confondre la taille n d'un échantillon et le nombre d'échantillons simulés.

M09 · TerminaleRaisonnement par récurrence et limites de suites

Une récurrence comporte trois parties : initialisation (P(n₀) vraie), hérédité (si P(n) est vraie pour un n ≥ n₀, alors P(n + 1) est vraie), conclusion.
Dans l'hérédité, on fixe un entier n pour lequel P(n) est vraie : on ne suppose jamais la propriété vraie pour tout n.
L'inégalité de Bernoulli affirme que (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour tout a > 0 et tout entier n ; sa preuve par récurrence repose sur 1 + a > 0.
Une suite converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous ses termes à partir d'un certain rang ; cette limite est unique.
Une suite tend vers +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous ses termes à partir d'un certain rang.
Une suite divergente tend vers ±∞ ou n'a pas de limite, comme (-1)ⁿ.
Une suite convergente est bornée, mais une suite bornée ne converge pas forcément.
Les formes indéterminées sont ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0 ; on les lève par factorisation du terme dominant, quantité conjuguée ou simplification.
Si uₙ ≥ vₙ à partir d'un rang et vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞ (comparaison).
Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir d'un rang et vₙ, wₙ tendent vers ℓ, alors uₙ tend vers ℓ (gendarmes).
Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers +∞.
Si une suite croissante converge vers ℓ, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à ℓ.
Pour uₙ₊₁ = f(uₙ) convergente, on passe à la limite des deux côtés pour obtenir une équation vérifiée par ℓ.
Une suite arithmético-géométrique uₙ₊₁ = auₙ + b se ramène à une suite géométrique vₙ = uₙ - ℓ avec ℓ = aℓ + b.

Pièges à éviter Oublier l'initialisation : une propriété héréditaire peut être fausse partout (« 3 divise 4ⁿ + 1 »). Multiplier une inégalité par un facteur sans vérifier qu'il est positif. Conclure qu'une suite croissante et majorée par M tend vers M : elle converge, mais sa limite peut être plus petite. Garder une inégalité stricte à la limite : uₙ < 2 donne seulement lim uₙ ≤ 2. Appliquer une règle d'opération à une forme indéterminée au lieu de transformer l'expression. Se tromper sur le nombre de termes d'une somme géométrique, donc sur l'exposant n + 1.

M10 · TerminaleLimites de fonctions

Si f(x) tend vers un réel ℓ en +∞ ou en -∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe de f.
Si f(x) tend vers +∞ ou -∞ quand x tend vers a (d'un côté au moins), la droite x = a est asymptote verticale.
Si f(x) - (mx + p) tend vers 0 en ±∞, la droite y = mx + p est asymptote oblique ; le signe de cette différence donne la position de la courbe.
Les limites à gauche et à droite en a peuvent différer : 1/x tend vers -∞ en 0⁻ et vers +∞ en 0⁺.
Les règles d'opérations des suites valent pour les fonctions ; les formes indéterminées sont ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0.
En l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, et un quotient de polynômes comme le quotient de ces termes.
Quand un numérateur tend vers un réel non nul et le dénominateur vers 0, la limite est infinie et son signe vient d'un tableau de signes du dénominateur.
Une forme 0/0 en a entre deux polynômes se lève en factorisant par (x - a).
Une différence de racines carrées se traite par la quantité conjuguée.
Pour une composée g(u(x)), on calcule la limite b de u(x), puis la limite de g(X) quand X tend vers b.
Comparaison : si f ≥ g et g tend vers +∞, alors f tend vers +∞ ; gendarmes : un encadrement par deux fonctions de même limite ℓ impose la limite ℓ.
sin x et cos x n'ont pas de limite en l'infini : on les encadre entre -1 et 1.
L'exponentielle tend vers +∞ en +∞ et vers 0 en -∞ ; la droite y = 0 est asymptote en -∞.
En cas d'indétermination, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.

Pièges à éviter Utiliser le raccourci du terme dominant en un réel a : il ne vaut qu'en l'infini. Conclure à une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule : si le numérateur s'annule aussi, la limite peut être finie. Oublier de distinguer la gauche et la droite quand le dénominateur change de signe. Écrire une limite pour sin x ou cos x en l'infini. Confondre exp(-x) en +∞ (limite 0) et en -∞ (limite +∞). Croire qu'une courbe ne coupe jamais son asymptote horizontale.

M11 · TerminaleContinuité et théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction f est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a vaut f(a) ; elle est continue sur I si elle l'est en tout point de I.
Polynômes, fonctions rationnelles (sur leur ensemble de définition), racine carrée, exponentielle, valeur absolue, sinus et cosinus sont continus ; sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues aussi.
Une fonction définie par morceaux est continue au point de raccord si les limites à gauche et à droite y sont égales à la valeur de la fonction.
Une fonction dérivable est continue ; la réciproque est fausse (valeur absolue en 0, racine carrée en 0).
Si uₙ tend vers a et si f est continue en a, alors f(uₙ) tend vers f(a).
Si uₙ₊₁ = f(uₙ), si (uₙ) converge vers ℓ et si f est continue en ℓ, alors f(ℓ) = ℓ : la limite est un point fixe.
Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois sur [a ; b].
Corollaire : si f est de plus strictement monotone, l'équation f(x) = k a une unique solution sur [a ; b] ; il s'étend aux intervalles ouverts ou infinis avec les limites aux bornes.
Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie fonction continue et strictement monotone ; on compte les solutions intervalle par intervalle.
La dichotomie divise par 2 la longueur de l'encadrement à chaque étape : après n étapes, elle vaut (b - a)/2ⁿ.
Pour étudier uₙ₊₁ = f(uₙ) : intervalle stable, monotonie par récurrence (f croissante), convergence monotone, puis limite par f(ℓ) = ℓ.
Les points fixes de f sont les abscisses des points d'intersection de sa courbe avec la droite y = x.

Pièges à éviter Conclure à une solution unique avec le seul théorème des valeurs intermédiaires : il faut la stricte monotonie. Oublier l'hypothèse de continuité : 1/x change de signe entre -1 et 1 sans jamais s'annuler. Écrire ℓ = f(ℓ) avant d'avoir prouvé la convergence de la suite. Garder une solution de f(ℓ) = ℓ incompatible avec l'intervalle stable ou le sens de variation. Croire qu'une fonction continue est dérivable. En dichotomie, garder la mauvaise moitié : on conserve celle où f(a) × f(m) ≤ 0.

M12 · TerminaleCompléments sur la dérivation et convexité

La dérivée d'une composée est (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)) : on dérive la fonction extérieure appliquée à u(x), puis on multiplie par u'(x).
La dérivée de exp(u) est u' exp(u) ; elle a toujours le signe de u'.
La dérivée seconde f'' est la dérivée de f' ; elle mesure l'évolution de la pente, comme une accélération.
f est convexe sur I si sa courbe est sous chacune de ses cordes, concave si elle est au-dessus.
Pour f dérivable : f convexe équivaut à f' croissante, et à une courbe au-dessus de toutes ses tangentes.
Pour f deux fois dérivable : f est convexe si et seulement si f'' ≥ 0, concave si et seulement si f'' ≤ 0.
x², exp et 1/x sur ]0 ; +∞[ sont convexes ; √x est concave ; x³ est concave sur ]-∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la convexité change.
Si f'' s'annule en a en changeant de signe, le point d'abscisse a est un point d'inflexion.
En un point d'inflexion, f' atteint un extremum local : la variation de f y est la plus rapide.
La convexité de exp donne exp(x) ≥ 1 + x pour tout x ; la concavité de √ donne √x ≤ (x + 1)/2 pour tout x ≥ 0.
Pour f convexe, f((a + b)/2) ≤ (f(a) + f(b))/2 ; l'inégalité s'inverse pour f concave.
Une fonction convexe dont la dérivée s'annule en a atteint son minimum en a.

Pièges à éviter Oublier le facteur u' : la dérivée de exp(3x) est 3 exp(3x). Confondre convexe et croissante : x² est convexe mais décroissante sur ]-∞ ; 0]. Conclure à un point d'inflexion dès que f''(a) = 0 : il faut un changement de signe (contre-exemple x⁴). Mélanger le tableau de signes de f' (variations) et celui de f'' (convexité). Affirmer une position par rapport à une tangente sur un intervalle qui contient un point d'inflexion. Croire que le produit de deux fonctions convexes est convexe.

M13 · TerminaleFonction logarithme népérien

Pour tout a > 0, ln a est l'unique réel x tel que eˣ = a : ln est la fonction réciproque de exp, définie sur ]0 ; +∞[.
Pour tout x > 0, e^{ln x} = x, et pour tout réel x, ln(eˣ) = x.
ln 1 = 0 et ln e = 1 ; ln x est négatif sur ]0 ; 1[ et positif sur ]1 ; +∞[.
Les courbes de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b pour a > 0 et b > 0.
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ avec ln'(x) = 1/x ; elle est strictement croissante.
Si u est dérivable et strictement positive, (ln u)' = u'/u, et ln(u) a les mêmes variations que u.
ln tend vers -∞ en 0 (asymptote verticale x = 0) et vers +∞ en +∞, mais très lentement.
La fonction ln est concave : sa courbe est sous ses tangentes, d'où ln x ≤ x - 1 pour tout x > 0.
Croissances comparées : ln x / x tend vers 0 en +∞ et x ln x tend vers 0 en 0 ; toute puissance de x l'emporte sur ln x.
Pour résoudre une équation ou une inéquation, on écrit le domaine, on se ramène à ln A = ln B ou A < B par stricte croissance, puis on garde les solutions du domaine.
Le logarithme décimal log x = ln x / ln 10 vérifie log(10ⁿ) = n ; il mesure l'ordre de grandeur d'un nombre.
pH = -log[H₃O⁺] (en mol·L⁻¹) et [H₃O⁺] = 10^-pH ; diviser [H₃O⁺] par 10 augmente le pH de 1.
Le niveau sonore vaut L = 10 log(I/I₀) avec I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻² ; doubler l'intensité ajoute environ 3 dB.
Pour une décroissance N₀ e^-λt, la demi-vie vaut t½ = ln 2 / λ et ne dépend pas de N₀.

Pièges à éviter Oublier le domaine de validité : chaque ln doit porter sur une quantité strictement positive. Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : cette formule est fausse. Diviser par ln q avec 0 < q < 1 sans changer le sens de l'inégalité, alors que ln q est négatif. Écrire (ln u)' = 1/u en oubliant le facteur u'. Écrire ln(x²) = 2 ln x pour x négatif : en réalité ln(x²) = 2 ln|x|. Confondre ln et log : pH et décibels utilisent log.

M14 · TerminaleFonctions sinus et cosinus

Le point M(x) du cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos x ; sin x), avec x en radians.
Pour tout réel x, cos²x + sin²x = 1, et cos x et sin x sont compris entre -1 et 1.
Les fonctions cos et sin sont définies sur ℝ et 2π-périodiques : on les étudie sur un intervalle de longueur 2π.
La fonction cos est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), la fonction sin est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
Les fonctions sin et cos sont dérivables sur ℝ avec sin' = cos et cos' = -sin.
Pour une fonction u dérivable, (sin u)' = u' cos u et (cos u)' = -u' sin u.
Le nombre dérivé de sin en 0 vaut 1, d'où la limite fondamentale : sin x / x tend vers 1 quand x tend vers 0.
cos est décroissante sur [0 ; π] et croissante sur [-π ; 0] ; sin est croissante sur [-π/2 ; π/2] et décroissante sur [π/2 ; π].
La courbe de cos est celle de sin décalée de π/2 vers la gauche, car cos x = sin(x + π/2).
cos x = cos a équivaut à x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ ; sin x = sin a équivaut à x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ.
Une inéquation trigonométrique se résout sur un intervalle en repérant un arc sur le cercle.
Dans s(t) = A cos(ωt + φ), A est l'amplitude, ω la pulsation, φ la phase à l'origine, T = 2π/ω la période et f = 1/T la fréquence.
La fonction s(t) = A cos(ωt + φ) vérifie s'' = -ω² s : c'est le modèle de l'oscillateur harmonique.
Pour une grandeur oscillant entre un minimum et un maximum, la valeur moyenne vaut (max + min)/2 et l'amplitude (max - min)/2.

Pièges à éviter Calculer en mode degré alors que le cours travaille en radians. N'écrire qu'une seule famille de solutions pour cos x = c ou sin x = c. Dans cos(2x) = c, oublier de diviser aussi 2kπ par 2. Chercher des solutions à cos x = 1,5 : il n'y en a aucune. Oublier le facteur ω en dérivant cos(ωt + φ). Déterminer φ avec cos φ seul, sans utiliser le sens de variation à l'instant 0.

M15 · TerminalePrimitives et équations différentielles

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction ; une solution est une fonction dérivable qui vérifie l'égalité sur tout l'intervalle.
Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : les primitives de f sont les F + C.
Il existe une unique primitive de f prenant une valeur donnée y₀ en un point x₀ donné.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (théorème démontré avec le calcul intégral).
Les solutions de y' = f sont les primitives de f.
Pour une composée, on reconnaît une forme (u'uⁿ, u'/u, u'eᵘ, u' cos u...) puis on ajuste un facteur constant.
On vérifie toujours une primitive en la dérivant.
Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ C e^ax ; la solution telle que y(0) = y₀ est y₀ e^ax.
Pour a ≠ 0, les solutions de y' = ay + b sont les fonctions x ↦ C e^ax - b/a, où -b/a est la solution constante.
Si a < 0, toutes les solutions de y' = ay + b tendent vers la valeur d'équilibre -b/a, avec un temps caractéristique τ = 1/|a|.
Décroissance radioactive : N' = -λN donne N(t) = N₀ e^-λt, de demi-vie ln 2 / λ.
Refroidissement de Newton : θ' = -k(θ - θₐ) donne θ(t) = θₐ + (θ₀ - θₐ) e^-kt.
Charge d'un condensateur : RC u' + u = E donne u(t) = E(1 - e^-t/τ), avec τ = RC.
Perfusion à débit Q : C' = Q/V - kC donne un plateau Q/(kV), atteint à 50 % en une demi-vie.

Pièges à éviter Oublier de préciser l'intervalle, en particulier pour ln. Multiplier par a au lieu de diviser : une primitive de e^3x est e^3x/3. Lire a et b sans mettre l'équation sous la forme y' = ay + b (dans y' + 2y = 6, a = -2). Appliquer la condition initiale à C e^ax seul en oubliant le terme -b/a. Croire qu'il existe une règle de primitive pour un produit quelconque. Oublier les unités du temps caractéristique ou de la constante k.

M16 · TerminaleCalcul intégral

Pour f continue et positive sur [a ; b], ∫ de a à b de f(x) dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
La variable d'intégration est muette : ∫ de a à b de f(x) dx = ∫ de a à b de f(t) dt.
La fonction x ↦ ∫ de a à x de f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a ; c'est pourquoi toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Si F est une primitive de f, ∫ de a à b de f = F(b) - F(a), ce qui définit l'intégrale d'une fonction continue de signe quelconque.
Pour une fonction négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire ; pour une fonction qui change de signe, c'est une aire algébrique.
L'intégrale est linéaire et vérifie la relation de Chasles ; inverser les bornes change son signe.
Pour a ≤ b, l'intégrale d'une fonction positive est positive et l'intégration conserve l'ordre (f ≤ g donne ∫ f ≤ ∫ g).
La valeur moyenne de f sur [a ; b] vaut (1/(b - a)) × ∫ de a à b de f : c'est la hauteur du rectangle de même aire.
Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes vaut ∫ de a à b de (f - g).
L'intégration par parties s'écrit ∫ uv' = [uv] - ∫ u'v ; on dérive le facteur qui se simplifie.
Pour un polynôme multiplié par eˣ ou sin x, on dérive le polynôme ; pour un polynôme multiplié par ln x, on dérive ln x.
Une suite d'intégrales s'étudie par intégration par parties (récurrence) et par encadrement (limite).
L'intégrale d'un débit donne une quantité cumulée, et l'aire sous la courbe d'une concentration mesure l'exposition à un médicament.
La méthode des rectangles encadre l'intégrale d'une fonction monotone, avec un écart qui tend vers 0 quand le pas diminue.

Pièges à éviter Confondre intégrale et aire quand la fonction change de signe : découper avec Chasles. Calculer F(a) - F(b) au lieu de F(b) - F(a), ou oublier les parenthèses autour de F(a). Utiliser la positivité ou la croissance de l'intégrale avec a > b. Intégrer (courbe du dessous) - (courbe du dessus) et obtenir une aire négative. Oublier le crochet [uv] ou le signe moins dans l'intégration par parties. Diviser par b au lieu de b - a dans la valeur moyenne.

M17 · TerminaleDénombrement et combinatoire

Le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments ; l'ensemble vide a pour cardinal 0.
Principe additif : le cardinal d'une réunion d'ensembles deux à deux disjoints est la somme de leurs cardinaux.
Si A et B ne sont pas disjoints, card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B).
Le complémentaire vérifie card(Ā) = card(E) − card(A) : c'est l'outil des énoncés « au moins un ».
Principe multiplicatif : card(A × B) = card(A) × card(B), et un arbre de choix successifs compte le produit des nombres d'options.
Un k-uplet est une liste ordonnée de k éléments, avec répétition possible ; il y en a nᵏ dans un ensemble à n éléments.
Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties, grâce à la bijection avec les n-uplets de 0 et de 1.
Un arrangement est un k-uplet d'éléments distincts ; il y en a n!/(n − k)!, produit de k facteurs décroissants à partir de n.
Une permutation range tous les n éléments ; il y en a n!, avec la convention 0! = 1.
Une combinaison est une partie à k éléments, sans ordre ni répétition ; il y en a C(n, k) = n!/(k!(n − k)!).
Chaque combinaison correspond à k! arrangements, d'où C(n, k) × k! = n!/(n − k)!.
Les coefficients vérifient la symétrie C(n, k) = C(n, n − k) et la relation de Pascal C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k).
La somme de la ligne n du triangle de Pascal vaut 2ⁿ.
Formule du binôme : (a + b)ⁿ est la somme des C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ pour k de 0 à n.
Tirages successifs avec remise : k-uplets ; successifs sans remise : arrangements ; simultanés : combinaisons.
En équiprobabilité, P(A) = card(A)/card(Ω), avec A et Ω comptés dans le même modèle.

Pièges à éviter Confondre nᵏ (avec répétition) et n!/(n − k)! (sans répétition). Utiliser des arrangements pour un tirage simultané, où l'ordre ne compte pas. Compter « au moins un as » en fixant un as puis en complétant librement : les mains à plusieurs as sont comptées plusieurs fois. Additionner des cas qui ne sont pas disjoints. Oublier les signes alternés dans (a − b)ⁿ ou la puissance du coefficient dans (3x + 1)ⁿ. Compter l'événement en ordonné et l'univers en non ordonné.

M18 · TerminaleLoi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité 1 − p.
La variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli : E = p et V = p(1 − p).
La variance d'une loi de Bernoulli est maximale, égale à 1/4, pour p = 1/2.
Un schéma de Bernoulli répète n fois la même épreuve, de façon identique et indépendante.
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
Le nombre X de succès d'un schéma de Bernoulli de paramètres n et p suit la loi binomiale B(n, p).
C(n, k) est le nombre de chemins de l'arbre qui comportent exactement k succès.
Un tirage sans remise dans une petite urne n'est pas binomial ; dans une très grande population, on l'assimile à un tirage avec remise.
Pour p = 0,5 la loi est symétrique par rapport à n/2 ; le nombre d'échecs n − X suit B(n, 1 − p).
La probabilité d'au moins un succès vaut 1 − (1 − p)ⁿ, et un seuil se trouve avec ln en changeant le sens de l'inégalité.
L'espérance np est le nombre moyen de succès, et l'écart type √(np(1 − p)) mesure la dispersion.
La fréquence F = X/n a pour espérance p et pour écart type √(p(1 − p))/√n, qui diminue quand n augmente.
Un intervalle de fluctuation [a ; b] au seuil de 95 % vérifie P(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,95.
Si la fréquence observée sort de [a/n ; b/n], on rejette l'hypothèse sur p avec un risque d'au plus 5 % ; sinon on ne la rejette pas, sans la prouver.

Pièges à éviter Oublier de citer « identiques et indépendantes » dans la justification d'une loi binomiale. Écrire P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) au lieu de 1 − P(X ≤ k − 1). Ne pas changer le sens de l'inégalité en divisant par ln(1 − p), qui est négatif. Confondre variance et écart type. Conclure qu'une hypothèse est vraie parce que la fréquence est dans l'intervalle de fluctuation. Croire que la valeur np est obtenue avec une forte probabilité.

M19 · TerminaleSommes de variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres

Deux variables X et Y sont indépendantes si P(X = x et Y = y) = P(X = x) × P(Y = y) pour toutes valeurs x et y.
La loi de X + Y s'obtient en additionnant les probabilités des couples (x ; y) tels que x + y = s.
L'espérance est linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X), même sans indépendance.
Pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent : V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Pour des variables indépendantes, V(X − Y) = V(X) + V(Y) : les incertitudes se cumulent.
On additionne des variances, jamais des écarts types.
Doubler une observation donne V(2X) = 4V(X) ; additionner deux observations indépendantes donne 2V(X).
Une loi binomiale B(n, p) est une somme de n variables de Bernoulli indépendantes, d'où E = np et V = np(1 − p).
Un échantillon de taille n est une liste de n variables indépendantes de même loi, d'espérance μ et de variance V.
La somme Sₙ a pour espérance nμ et variance nV ; la moyenne Mₙ a pour espérance μ et variance V/n.
L'écart type de la moyenne vaut σ/√n : il faut 100 fois plus d'observations pour le diviser par 10.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité d'un écart à l'espérance en n'utilisant que la variance.
Cette inégalité est universelle mais grossière, et inutile quand δ ≤ σ.
L'inégalité de concentration applique Bienaymé-Tchebychev à la moyenne d'un échantillon.
La loi faible des grands nombres dit que la probabilité d'un écart d'au moins δ entre Mₙ et μ tend vers 0 quand n tend vers +∞.
La loi des grands nombres ne prévoit aucune compensation des résultats passés.

Pièges à éviter Additionner des variances sans avoir vérifié l'indépendance. Écrire V(X − Y) = V(X) − V(Y). Confondre 2X et X₁ + X₂. Écrire σ(Sₙ) = nσ au lieu de σ√n. Appliquer Bienaymé-Tchebychev à un intervalle qui n'est pas centré sur l'espérance. Présenter le n donné par l'inégalité de concentration comme la taille minimale. Croire qu'après une série de piles, face devient plus probable.

M20 · TerminaleVecteurs, droites et plans de l'espace

Les vecteurs de l'espace se manipulent comme dans le plan : relation de Chasles, produit par un réel, combinaisons linéaires.
Si I est le milieu de [AB], alors IA→ + IB→ = 0→ et, pour tout point M, MA→ + MB→ = 2MI→.
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre ; trois points sont alignés quand deux vecteurs qu'ils forment sont colinéaires.
Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur non nul ; elle a une infinité de vecteurs directeurs.
Un plan est déterminé par un point A et deux vecteurs non colinéaires u→, v→ : M ∈ P si et seulement si AM→ = s·u→ + t·v→.
Si u→ et v→ ne sont pas colinéaires, u→, v→, w→ sont coplanaires si et seulement si w→ = a·u→ + b·v→.
Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si AB→, AC→, AD→ sont coplanaires.
Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'y décompose de façon unique.
Les coordonnées d'un point M dans un repère (O ; i→, j→, k→) sont celles du vecteur OM→.
La formule de distance n'est valable que dans un repère orthonormé.
Deux droites de l'espace sont coplanaires (parallèles ou sécantes) ou non coplanaires.
Une droite et un plan sont sécants en un point, ou parallèles (droite incluse ou strictement parallèle).
Deux plans distincts sont parallèles ou sécants selon une droite.
Théorème du toit : si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur droite d'intersection est parallèle à ces deux droites.
Toutes les positions relatives se décident par un système : aucune solution, une solution ou une infinité.

Pièges à éviter Deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires. Pour l'intersection de deux droites paramétrées, prends deux paramètres différents (t et s). Dans l'espace, une seule égalité de produits en croix ne prouve pas la colinéarité : vérifie les trois coordonnées. Trois vecteurs deux à deux non colinéaires peuvent être coplanaires et donc ne pas former une base. Ne calcule pas de longueur avec la formule de distance dans un repère non orthonormé. Deux représentations paramétriques différentes peuvent décrire la même droite.

M21 · TerminaleOrthogonalité et distances dans l'espace

Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace se calcule dans un plan qui les contient : toutes les propriétés de Première restent vraies.
Dans un repère orthonormé, u→ · v→ = xx' + yy' + zz' et ‖u→‖ = √(x² + y² + z²).
L'angle géométrique θ entre deux vecteurs non nuls vérifie cos θ = (u→ · v→)/(‖u→‖ × ‖v→‖).
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes ; orthogonales et sécantes, elles sont perpendiculaires.
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.
Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal n→(a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0, et réciproquement.
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Une droite de vecteur directeur u→ est parallèle à un plan de vecteur normal n→ si u→ · n→ = 0, orthogonale à ce plan si u→ est colinéaire à n→.
Le projeté orthogonal de M sur une droite d est le point H de d tel que MH→ soit orthogonal à un vecteur directeur de d.
Le projeté orthogonal de M sur un plan est l'intersection du plan avec la droite passant par M dirigée par un vecteur normal.
Le projeté orthogonal est le point le plus proche de M : la distance de M au plan (ou à la droite) est MH.
L'intersection d'une droite et d'un plan s'obtient en remplaçant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
Deux plans sécants se coupent selon une droite dont le vecteur directeur est orthogonal aux deux vecteurs normaux.

Pièges à éviter La formule xx' + yy' + zz' n'est valable que dans un repère orthonormé. Un seul produit scalaire nul ne suffit pas pour prouver qu'une droite est orthogonale à un plan. Dans une équation de plan, (a ; b ; c) est un vecteur normal, pas un vecteur directeur. Droite parallèle à un plan : u→ · n→ = 0 ; droite orthogonale à un plan : u→ colinéaire à n→. Ne les inverse pas. Dans la formule de distance, n'oublie ni la valeur absolue au numérateur ni la racine carrée au dénominateur. u→ · v→ = u→ · w→ n'entraîne pas v→ = w→.

M22 · TerminaleAlgorithmique et programmation

En Python, l'indentation fait partie de la syntaxe : elle délimite les blocs des boucles, des conditions et des fonctions.
L'affectation a = a + 1 calcule d'abord a + 1 avec l'ancienne valeur, puis range le résultat dans a.
Les types usuels sont int, float, bool, str et list ; le séparateur décimal est le point.
// donne le quotient euclidien, % le reste, / un quotient décimal flottant, ** la puissance.
La boucle for s'utilise quand le nombre de tours est connu ; la boucle while quand on répète tant qu'une condition est vraie.
range(a, b) donne les entiers de a à b - 1 ; les indices d'une liste vont de 0 à len(L) - 1.
Une fonction renvoie un résultat avec return, qui termine immédiatement son exécution ; print ne fait qu'afficher.
Une liste en compréhension s'écrit [expression for x in L if condition].
Un algorithme de seuil utilise une boucle while dont la condition est la négation de la condition d'arrêt.
La dichotomie s'applique à une fonction continue qui change de signe sur [a ; b] : à chaque étape, l'intervalle est divisé par 2.
Après n étapes de dichotomie, l'amplitude de l'encadrement vaut (b - a)/2ⁿ.
La méthode d'Euler approche la solution de y' = F(x, y) par yₖ₊₁ = yₖ + h × F(xₖ, yₖ) et xₖ₊₁ = xₖ + h.
Plus le pas h est petit, meilleure est l'approximation d'Euler, au prix de plus d'étapes.
Le test random() < p simule un événement de probabilité p ; randint(a, b) inclut a et b.
La fréquence observée sur n simulations se rapproche de la probabilité quand n grandit.
Pour lire un algorithme, on dresse un tableau d'état des variables après chaque passage.

Pièges à éviter range(1, n) s'arrête à n - 1, et un parcours qui commence à l'indice 1 oublie le premier élément. Un return placé dans une boucle l'interrompt dès le premier passage. Une boucle while dont la variable testée n'est pas modifiée ne s'arrête jamais. Un maximum s'initialise au premier élément de la liste, pas à 0. Dans Euler, avancer x avant de calculer y fausse le calcul. On ne teste pas l'égalité de deux flottants : 0.1 + 0.2 ne vaut pas exactement 0.3 en machine.

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