Variables aléatoires réelles

• Définir une variable aléatoire associée à une expérience et interpréter les événements {X = a}, {X ≤ a}, {X > a}.
• Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et la présenter dans un tableau.
• Vérifier qu'un tableau définit bien une loi de probabilité et trouver une probabilité manquante.
• Calculer l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire.
• Interpréter l'espérance comme une moyenne à long terme, notamment pour juger si un jeu est équitable.
• Utiliser les formules E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X), et les démontrer.
• Reconnaître une variable de Bernoulli et connaître son espérance et sa variance.
• Simuler une variable aléatoire et un échantillon avec Python, et calculer la moyenne d'un échantillon.
• Observer la fluctuation de la moyenne d'échantillon et l'écart entre cette moyenne et l'espérance, à l'aide de 2σ/√n.

1. Variable aléatoire

On considère une expérience aléatoire d'univers fini Ω, munie d'une loi de probabilité P.

Malgré son nom, une variable aléatoire n'est ni une variable ni aléatoire au sens strict : c'est une fonction définie sur l'univers. Ce qui est aléatoire, c'est l'issue ; X traduit cette issue en un nombre (un gain, un nombre de succès, une somme, une mesure).

Exemple. On lance deux pièces équilibrées. Ω = {PP ; PF ; FP ; FF}. La variable X qui compte le nombre de « pile » associe 2 à PP, 1 à PF et à FP, 0 à FF. Une autre variable G peut associer un gain à chaque issue : 5 € pour PP, 1 € pour une seule pile, 0 € pour FF.

Si x est un réel, on note {X = x} l'événement formé des issues dont l'image par X vaut x. On définit de même {X ≤ x}, {X > x}, {a ≤ X ≤ b}. Dans l'exemple, {X = 1} = {PF ; FP} et P(X = 1) = 2/4 = 1/2.

2. Loi de probabilité

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ (distinctes).

Les événements {X = x₁}, ..., {X = xₙ} forment une partition de Ω (chaque issue a une et une seule image). Par conséquent :

• chaque pᵢ est compris entre 0 et 1 ;
• p₁ + p₂ + ... + pₙ = 1.

Cette dernière égalité sert de contrôle systématique, et permet de trouver une probabilité manquante.

Déterminer une loi. On procède en trois temps : on liste les valeurs possibles de X ; pour chacune, on décrit l'événement {X = xᵢ} ; on calcule sa probabilité (équiprobabilité, arbre, indépendance). On vérifie enfin que la somme vaut 1.

Les probabilités cumulées s'obtiennent par addition : P(X ≤ a) est la somme des pᵢ pour les xᵢ ≤ a. Pour « au moins », on passe souvent par le contraire : P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

3. Espérance

C'est la moyenne des valeurs de X, pondérée par leurs probabilités.

Interprétation. Si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois de façon indépendante, la moyenne des valeurs obtenues pour X se rapproche de E(X). L'espérance est donc la valeur moyenne à long terme : pour un jeu, c'est le gain moyen par partie qu'on peut prévoir sur un grand nombre de parties. Elle n'est pas forcément une valeur que X peut prendre : pour un dé équilibré, E(X) = 3,5.

Jeu équitable. Si X est le gain algébrique d'un joueur (gain moins mise), le jeu est :

• favorable au joueur si E(X) > 0 ;
• défavorable si E(X) < 0 ;
• équitable si E(X) = 0.

Exemple. Pour un dé équilibré, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5.

4. Variance et écart type

L'espérance donne une position moyenne, mais pas la dispersion. Deux jeux de même espérance peuvent être très différents : gagner 0 € à coup sûr, ou gagner 100 € ou perdre 100 € avec la même probabilité. On mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.

La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance. Elle est toujours positive ou nulle, et nulle seulement si X est constante (prend une seule valeur avec probabilité 1). Comme on a élevé au carré, la variance s'exprime dans le carré de l'unité de X (des €² pour un gain) ; l'écart type, lui, a la même unité que X, ce qui le rend interprétable.

Démonstration. En développant (xᵢ - μ)² = xᵢ² - 2μxᵢ + μ², on obtient V(X) = Σ pᵢxᵢ² - 2μ Σ pᵢxᵢ + μ² Σ pᵢ = E(X²) - 2μ × μ + μ² × 1 = E(X²) - μ². (Le symbole Σ désigne la somme sur i allant de 1 à n.)

Cette formule est souvent plus rapide, surtout quand μ n'est pas entier. Mais attention : E(X²) n'est pas (E(X))².

Exemple. Dé équilibré : E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6, donc V(X) = 91/6 - 3,5² = 91/6 - 49/4 = 182/12 - 147/12 = 35/12 ≈ 2,92, et σ(X) ≈ 1,71.

5. Transformation affine : aX + b

Soient a et b deux réels. Si X prend les valeurs xᵢ avec les probabilités pᵢ, la variable Y = aX + b prend les valeurs axᵢ + b avec les mêmes probabilités.

Démonstration. E(aX + b) = Σ pᵢ(axᵢ + b) = a Σ pᵢxᵢ + b Σ pᵢ = aE(X) + b, car la somme des pᵢ vaut 1. Ensuite, avec μ = E(X), l'espérance de Y est aμ + b, et l'écart de chaque valeur à l'espérance vaut (axᵢ + b) - (aμ + b) = a(xᵢ - μ). Donc V(Y) = Σ pᵢ a²(xᵢ - μ)² = a²V(X). Enfin σ(Y) = √(a²V(X)) = |a| × σ(X).

Ces résultats se comprennent bien :

• ajouter une constante b décale toutes les valeurs : l'espérance est décalée de b, mais la dispersion ne change pas ;
• multiplier par a dilate les écarts d'un facteur |a| : l'écart type est multiplié par |a|, la variance par a².

Exemple. Une température X en degrés Celsius a pour espérance 20 et pour écart type 3. En degrés Fahrenheit, Y = 1,8X + 32. Alors E(Y) = 1,8 × 20 + 32 = 68 et σ(Y) = 1,8 × 3 = 5,4.

Variable centrée réduite. Si σ(X) ≠ 0, la variable Z = (X - E(X))/σ(X) vérifie E(Z) = 0 et σ(Z) = 1. Elle permet de comparer des variables d'unités ou d'échelles différentes.

6. Variable de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience à deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 - p. La variable X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

On calcule E(X) = 0 × (1 - p) + 1 × p = p ; E(X²) = p (car 0² = 0 et 1² = 1), donc V(X) = p - p² = p(1 - p) et σ(X) = √(p(1 - p)).

Cette variable est l'outil de base pour modéliser une proportion : la moyenne de n valeurs de Bernoulli est la fréquence des succès.

7. Simulation et échantillons

Simuler une variable aléatoire. En Python, la fonction random() du module random renvoie un nombre aléatoire de [0 ; 1[, chaque sous-intervalle de longueur ℓ étant atteint avec probabilité ℓ. Pour simuler une variable de Bernoulli de paramètre p, il suffit de tester si random() < p :

from random import random

def bernoulli(p):
    if random() < p:
        return 1
    return 0

Pour une variable à plusieurs valeurs, on découpe [0 ; 1[ en intervalles de longueurs p₁, p₂, ..., pₙ.

Échantillon. Un échantillon de taille n de la variable X est une liste de n valeurs obtenues en répétant n fois l'expérience de façon indépendante. Sa moyenne m est la moyenne de ces n valeurs.

def moyenne_echantillon(p, n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + bernoulli(p)
    return s / n

Fluctuation d'échantillonnage. Deux échantillons de même taille donnent en général des moyennes différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage. En simulant un grand nombre d'échantillons, on observe que :

• les moyennes m se répartissent autour de l'espérance μ = E(X) ;
• plus n est grand, plus elles sont resserrées autour de μ (c'est l'idée de la loi des grands nombres) ;
• pour des échantillons de taille n assez grande, la proportion des échantillons pour lesquels l'écart |m - μ| est inférieur ou égal à 2σ/√n est proche de 0,95, où σ est l'écart type de X.

Autrement dit, environ 95 % des moyennes d'échantillons tombent dans l'intervalle [μ - 2σ/√n ; μ + 2σ/√n]. Le facteur √n explique que, pour diviser par 2 la largeur de cet intervalle, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4. Ce constat expérimental sera démontré et précisé plus tard.

Exemple. Pour une variable de Bernoulli de paramètre p = 0,5, σ = √(0,25) = 0,5. Pour n = 100, 2σ/√n = 2 × 0,5/10 = 0,1 : environ 95 % des fréquences de pile observées sur 100 lancers d'une pièce équilibrée sont comprises entre 0,4 et 0,6.

Exemple 1 : un jeu de dé

Énoncé. On lance un dé équilibré. Si on obtient 6, on gagne 10 € ; si on obtient 4 ou 5, on gagne 2 € ; sinon, on perd 3 €. On note X le gain algébrique. a) Déterminer la loi de X. b) Calculer E(X) et interpréter. c) Calculer V(X) et σ(X).

Résolution. a) X prend les valeurs -3, 2 et 10. P(X = 10) = 1/6 ; P(X = 2) = 2/6 = 1/3 ; P(X = -3) = 3/6 = 1/2.

Contrôle : 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1. b) E(X) = -3 × 3/6 + 2 × 2/6 + 10 × 1/6 = (-9 + 4 + 10)/6 = 5/6 ≈ 0,83 €. Le jeu est favorable au joueur : sur un grand nombre de parties, il gagne en moyenne environ 0,83 € par partie. c) E(X²) = 9 × 3/6 + 4 × 2/6 + 100 × 1/6 = (27 + 8 + 100)/6 = 135/6 = 22,5. V(X) = 22,5 - (5/6)² = 810/36 - 25/36 = 785/36 ≈ 21,81 €² et σ(X) = √785/6 ≈ 4,67 €.

Exemple 2 : nombre de succès sur deux tirages avec remise

Énoncé. Une urne contient 2 boules rouges et 3 bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. X est le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi de X, puis E(X) et V(X).

Résolution. Les tirages sont indépendants (avec remise) et, à chaque tirage, P(rouge) = 2/5. P(X = 0) = (3/5)² = 9/25 ; P(X = 2) = (2/5)² = 4/25 ; P(X = 1) = 2/5 × 3/5 + 3/5 × 2/5 = 12/25 (deux chemins). Contrôle : 9 + 12 + 4 = 25. E(X) = 0 × 9/25 + 1 × 12/25 + 2 × 4/25 = 20/25 = 0,8. E(X²) = 1 × 12/25 + 4 × 4/25 = 28/25, donc V(X) = 28/25 - (4/5)² = 28/25 - 16/25 = 12/25 = 0,48. Remarque : X est la somme de deux variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,4 ; on retrouve E(X) = 2 × 0,4 et V(X) = 2 × 0,4 × 0,6.

Exemple 3 : changement d'échelle

Énoncé. La note X d'un devoir a pour espérance 9 et pour écart type 4. Le professeur décide d'appliquer Y = 0,5X + 6. Calculer E(Y), σ(Y) et V(Y).

Résolution. E(Y) = 0,5 × E(X) + 6 = 0,5 × 9 + 6 = 10,5. σ(Y) = |0,5| × σ(X) = 0,5 × 4 = 2 ; V(Y) = 2² = 4 (ou 0,5² × 16 = 4). La transformation a relevé la moyenne et resserré les notes autour d'elle.

• Commence toujours par la liste des valeurs possibles de X, puis calcule chaque probabilité, et termine par le contrôle « somme = 1 ».
• Pour un gain, pense à retrancher la mise : la variable « gain algébrique » prend des valeurs négatives.
• E(X) est une moyenne à long terme, pas la valeur la plus probable ni forcément une valeur prise par X.
• Pour la variance, la formule E(X²) - (E(X))² est souvent la plus rapide ; ne confonds pas E(X²) et (E(X))².
• Une variance négative signale une erreur de calcul : recommence.
• V(aX + b) = a²V(X) : la constante b disparaît et a est élevé au carré ; pour l'écart type, c'est |a|.
• Donne l'unité : l'écart type a l'unité de X, la variance son carré.
• Garde les fractions exactes dans les calculs intermédiaires pour éviter d'accumuler les arrondis.
• Pour une simulation, distingue la taille n d'un échantillon et le nombre N d'échantillons simulés.

En PASS, les variables aléatoires sont le langage de toute la biostatistique. La loi de Bernoulli devient la loi binomiale (nombre de succès sur n épreuves indépendantes), puis viennent la loi de Poisson et la loi normale, avec leurs espérances et variances. La propriété V(aX + b) = a²V(X) sert dans les changements d'unité et dans la propagation des incertitudes ; la variable centrée réduite est l'outil des tables de la loi normale. Surtout, le phénomène observé ici par simulation, l'intervalle μ ± 2σ/√n qui contient environ 95 % des moyennes d'échantillon, est le point de départ des intervalles de confiance et des tests statistiques qui servent à lire un essai clinique. Les QCM jouent souvent sur la confusion entre écart type et variance, et sur l'oubli du carré dans V(aX).

Niveau 1 : s'entraîner

1. La loi d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau : valeurs -2 ; 0 ; 1 ; 3 avec les probabilités respectives 0,1 ; 0,3 ; a ; 0,2.

a) Déterminer a. b) Calculer P(X ≥ 1) et P(X < 1). c) Calculer E(X).

2. X prend les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 et 0,3. Calculer E(X), V(X) et σ(X).

3. Une variable X vérifie E(X) = 5 et V(X) = 4. Calculer l'espérance, la variance et l'écart type de : a) Y = 3X - 2 ; b) Z = -X + 10 ; c) W = (X - 5)/2.

4. On lance un dé équilibré ; X vaut 1 si on obtient 6 et 0 sinon. Quelle est la loi de X ? Donner E(X) et V(X).

5. On lance un dé équilibré ; X est le numéro obtenu. Calculer E(X), V(X) (valeur exacte) et σ(X) (au centième).

Niveau 2 : type bac

6. Pour participer à un jeu, on paie m euros. On lance alors deux pièces équilibrées de façon indépendante. On reçoit 5 € si on obtient deux « pile », 1 € si on obtient un seul « pile » et rien sinon. On note G le gain algébrique (somme reçue moins m).

a) Pour m = 2, déterminer la loi de G et calculer E(G). Le jeu est-il favorable au joueur ? b) Pour quelle valeur de m le jeu est-il équitable ? c) Pour m = 2, calculer σ(G) au centième.

7. Une urne contient 5 jetons : 2 portent le nombre 10 et 3 portent le nombre 0. On tire successivement et sans remise deux jetons ; X est la somme des deux nombres.

a) Déterminer la loi de X. b) Calculer E(X), V(X) et σ(X).

8. Un assureur propose un contrat annuel à 150 €. Pour un assuré, la probabilité d'un petit sinistre coûtant 1 000 € est 0,05, celle d'un gros sinistre coûtant 10 000 € est 0,005, et sinon il n'y a aucun sinistre (au plus un sinistre par an). On note C le coût annuel pour l'assureur et G = 150 - C son gain.

a) Déterminer la loi de G. b) Calculer E(C), puis E(G). c) Calculer σ(C) et en déduire σ(G). d) Quel prix minimal du contrat assure à l'assureur un gain moyen d'au moins 40 € par assuré ?

9. Une variable X prend les valeurs 0, 1 et 2, avec P(X = 0) = a, P(X = 1) = 2a et P(X = 2) = b. On sait que E(X) = 1,2.

a) Écrire deux équations vérifiées par a et b, puis les résoudre. b) Calculer V(X).

Niveau 3 : vers le PASS

10. Dans une grande population, la proportion de personnes porteuses d'un certain caractère est p = 0,3. On prélève au hasard un échantillon de 100 personnes (assimilé à 100 tirages indépendants) et on calcule la fréquence f des porteurs.

a) Quelle variable de Bernoulli X modélise une personne tirée ? Donner E(X) et σ(X) (au millième). b) Calculer 2σ/√n pour n = 100 et donner l'intervalle dans lequel on s'attend à trouver f dans environ 95 % des échantillons. c) Un échantillon donne f = 0,41. Est-ce surprenant ? Sur 200 échantillons simulés, combien environ devraient donner une fréquence hors de l'intervalle ? d) Quelle taille d'échantillon faudrait-il pour que 2σ/√n soit au plus égal à 0,03 ?

11. Soit X une variable prenant les valeurs x₁, ..., xₙ avec les probabilités p₁, ..., pₙ, d'espérance μ.

a) Démontrer que V(X) = E(X²) - μ². b) Démontrer que, pour tous réels a et b, V(aX + b) = a²V(X). c) En déduire que si σ(X) ≠ 0, la variable Z = (X - μ)/σ(X) a pour espérance 0 et pour écart type 1.

12. La note X d'une épreuve a pour espérance 11 et pour écart type 4.

a) On pose Y = 0,75X + 5. Calculer E(Y) et σ(Y). b) Déterminer les réels a > 0 et b tels que la variable aX + b ait pour espérance 12 et pour écart type 2. c) Une note de 15 correspond à quelle valeur de la variable centrée réduite de X ? Et à quelle note après la transformation de la question b) ?

13. Pour dépister une infection rare, on mélange les prélèvements de 5 personnes et on teste le mélange. Si le test du mélange est négatif, les 5 personnes sont déclarées non infectées (1 seul test). S'il est positif, on teste ensuite chacune des 5 personnes (6 tests au total). Chaque personne est infectée avec la probabilité p, indépendamment des autres, et le test est supposé parfait. On note X le nombre de tests réalisés pour un groupe.

a) Montrer que P(X = 1) = (1 - p)⁵ et donner la loi de X. b) Pour p = 0,02, calculer E(X) au millième, puis le nombre moyen de tests par personne. Comparer avec un test individuel. c) Calculer σ(X) au centième pour p = 0,02. d) Reprendre b) avec p = 0,2. Que peut-on conclure sur l'intérêt de la méthode ?

1. a) La somme des probabilités vaut 1 : 0,1 + 0,3 + a + 0,2 = 1, donc a = 0,4.

b) P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 3) = 0,4 + 0,2 = 0,6. P(X < 1) = 1 - 0,6 = 0,4. c) E(X) = -2 × 0,1 + 0 × 0,3 + 1 × 0,4 + 3 × 0,2 = -0,2 + 0 + 0,4 + 0,6 = 0,8.

2. E(X) = 1 × 0,2 + 2 × 0,5 + 3 × 0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1.

E(X²) = 1 × 0,2 + 4 × 0,5 + 9 × 0,3 = 0,2 + 2 + 2,7 = 4,9. V(X) = 4,9 - 2,1² = 4,9 - 4,41 = 0,49 et σ(X) = √0,49 = 0,7.

3. On utilise E(aX + b) = aE(X) + b, V(aX + b) = a²V(X), σ(aX + b) = |a|σ(X), avec σ(X) = 2.

a) Y = 3X - 2 : E(Y) = 15 - 2 = 13 ; V(Y) = 9 × 4 = 36 ; σ(Y) = 6. b) Z = -X + 10 : E(Z) = -5 + 10 = 5 ; V(Z) = (-1)² × 4 = 4 ; σ(Z) = |-1| × 2 = 2. c) W = (1/2)X - 5/2 : E(W) = 5/2 - 5/2 = 0 ; V(W) = (1/4) × 4 = 1 ; σ(W) = 1. W est la variable centrée réduite associée à X.

4. X prend la valeur 1 avec la probabilité 1/6 et 0 avec la probabilité 5/6 : X suit la loi de Bernoulli de paramètre 1/6.

E(X) = 1/6 et V(X) = 1/6 × 5/6 = 5/36.

5. E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5.

E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6. V(X) = 91/6 - 49/4 = 182/12 - 147/12 = 35/12 et σ(X) = √(35/12) ≈ 1,71.

6. On note S la somme reçue. Avec deux pièces équilibrées indépendantes : P(deux pile) = 1/4, P(un seul pile) = 1/2, P(aucun pile) = 1/4.

a) Pour m = 2, G = S - 2 prend les valeurs 3 (probabilité 1/4), -1 (probabilité 1/2) et -2 (probabilité 1/4). E(G) = 3/4 - 1/2 - 2/4 = 0,75 - 0,5 - 0,5 = -0,25 €. Comme E(G) < 0, le jeu est défavorable au joueur. b) E(S) = 5 × 1/4 + 1 × 1/2 + 0 × 1/4 = 1,75 et E(G) = E(S) - m = 1,75 - m. Le jeu est équitable si E(G) = 0 : m = 1,75 €. c) G = S - 2, donc σ(G) = σ(S). E(S²) = 25 × 1/4 + 1 × 1/2 = 6,75. V(S) = 6,75 - 1,75² = 6,75 - 3,0625 = 3,6875. σ(G) = √3,6875 ≈ 1,92 €.

7. a) X = 20 si les deux jetons portent 10 : P(X = 20) = 2/5 × 1/4 = 1/10.

X = 0 si les deux portent 0 : P(X = 0) = 3/5 × 2/4 = 3/10. X = 10 sinon : P(X = 10) = 1 - 1/10 - 3/10 = 6/10. (Contrôle par l'arbre : 2/5 × 3/4 + 3/5 × 2/4 = 6/20 + 6/20 = 6/10.) b) E(X) = 0 × 0,3 + 10 × 0,6 + 20 × 0,1 = 8. E(X²) = 100 × 0,6 + 400 × 0,1 = 100. V(X) = 100 - 64 = 36 et σ(X) = 6.

8. a) G = 150 - C :

Contrôle : 0,945 + 0,05 + 0,005 = 1. b) E(C) = 0 × 0,945 + 1 000 × 0,05 + 10 000 × 0,005 = 50 + 50 = 100 €. E(G) = 150 - E(C) = 50 € par assuré en moyenne. c) E(C²) = 1 000² × 0,05 + 10 000² × 0,005 = 50 000 + 500 000 = 550 000. V(C) = 550 000 - 100² = 540 000 (en €²). σ(C) = √540 000 ≈ 734,85 €. G = -C + 150, donc σ(G) = |-1| × σ(C) ≈ 734,85 €. Le gain moyen est faible devant la dispersion : c'est le grand nombre d'assurés qui rend l'activité prévisible. d) Avec un prix q, E(G) = q - 100. On veut q - 100 ≥ 40, soit q ≥ 140 €.

9. a) Somme des probabilités : a + 2a + b = 1, soit 3a + b = 1.

Espérance : 0 × a + 1 × 2a + 2 × b = 1,2, soit 2a + 2b = 1,2, donc a + b = 0,6. En soustrayant : 2a = 0,4, donc a = 0,2 et b = 0,4. Loi : P(X = 0) = 0,2, P(X = 1) = 0,4, P(X = 2) = 0,4. b) E(X²) = 1 × 0,4 + 4 × 0,4 = 2. V(X) = 2 - 1,2² = 2 - 1,44 = 0,56.

10. a) X vaut 1 si la personne est porteuse (probabilité 0,3) et 0 sinon : X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,3. E(X) = 0,3 ; V(X) = 0,3 × 0,7 = 0,21 ; σ(X) = √0,21 ≈ 0,458.

b) 2σ/√n = 2 × 0,458/√100 ≈ 0,0917, soit environ 0,092. On s'attend à trouver f dans [0,3 - 0,092 ; 0,3 + 0,092] ≈ [0,208 ; 0,392] pour environ 95 % des échantillons. c) 0,41 est en dehors de cet intervalle : c'est assez surprenant, ce type d'écart ne se produit que dans environ 5 % des échantillons. Sur 200 échantillons, on attend environ 5 % × 200 = 10 échantillons hors de l'intervalle. d) On veut 2 × √0,21/√n ≤ 0,03, soit √n ≥ 2√0,21/0,03 ≈ 30,55, donc n ≥ 30,55² ≈ 933,3. Il faut n ≥ 934. Remarque : passer d'une demi-largeur 0,092 à 0,03 (environ 3 fois plus petite) demande environ 9 fois plus de personnes, à cause de √n.

11. a) (xᵢ - μ)² = xᵢ² - 2μxᵢ + μ². En multipliant par pᵢ et en sommant :

V(X) = Σ pᵢxᵢ² - 2μ Σ pᵢxᵢ + μ² Σ pᵢ = E(X²) - 2μ × μ + μ² × 1 = E(X²) - μ². b) Y = aX + b prend les valeurs axᵢ + b avec les probabilités pᵢ, et E(Y) = Σ pᵢ(axᵢ + b) = aμ + b. Chaque écart vaut (axᵢ + b) - (aμ + b) = a(xᵢ - μ). Donc V(Y) = Σ pᵢ a²(xᵢ - μ)² = a² Σ pᵢ(xᵢ - μ)² = a²V(X). c) Z = (1/σ)X - μ/σ avec σ = σ(X). E(Z) = μ/σ - μ/σ = 0 et σ(Z) = (1/σ) × σ = 1.

12. a) E(Y) = 0,75 × 11 + 5 = 8,25 + 5 = 13,25 ; σ(Y) = 0,75 × 4 = 3.

b) σ(aX + b) = a × 4 = 2 (car a > 0), donc a = 0,5. Puis E(aX + b) = 0,5 × 11 + b = 12, donc b = 12 - 5,5 = 6,5. c) Variable centrée réduite : (15 - 11)/4 = 1 (la note est un écart type au-dessus de la moyenne). Après la transformation b) : 0,5 × 15 + 6,5 = 14, qui vaut bien 12 + 1 × 2, un écart type au-dessus de la nouvelle moyenne.

13. a) Le test du mélange est négatif si et seulement si aucune des 5 personnes n'est infectée. Par indépendance, la probabilité vaut (1 - p) × (1 - p) × ... × (1 - p) = (1 - p)⁵. Donc P(X = 1) = (1 - p)⁵ et P(X = 6) = 1 - (1 - p)⁵.

b) Pour p = 0,02 : P(X = 1) = 0,98⁵ ≈ 0,9039 et P(X = 6) ≈ 0,0961. E(X) = 1 × 0,98⁵ + 6 × (1 - 0,98⁵) = 6 - 5 × 0,98⁵ ≈ 6 - 4,5196 = 1,480. Par personne : 1,480/5 ≈ 0,296 test, contre 1 test par personne en individuel : on économise environ 70 % des tests. c) X = 1 + 5B, où B vaut 1 si le mélange est positif (Bernoulli de paramètre q = 1 - 0,98⁵ ≈ 0,0961). Donc V(X) = 25 × q(1 - q) ≈ 25 × 0,0961 × 0,9039 ≈ 2,171 et σ(X) ≈ 1,47. d) Pour p = 0,2 : 0,8⁵ = 0,32768, E(X) = 6 - 5 × 0,32768 = 6 - 1,6384 = 4,3616, soit environ 0,872 test par personne. L'économie n'est plus que d'environ 13 %. La méthode des mélanges est très intéressante quand l'infection est rare, et perd son intérêt quand elle devient fréquente, car le mélange est alors souvent positif.

Ce chapitre prépare la partie Variables aléatoires et lois usuelles du cours Probabilités : données, lois et estimation (UE 9 · Probabilités et biostatistiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre