Produit scalaire et géométrie repérée

• Calculer un produit scalaire par la formule avec les normes et le cosinus de l'angle.
• Calculer un produit scalaire à l'aide d'un projeté orthogonal.
• Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées dans un repère orthonormé.
• Utiliser la symétrie, la bilinéarité et les identités remarquables du produit scalaire.
• Démontrer et caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites.
• Appliquer la formule d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle quelconque.
• Déterminer l'ensemble des points M tels que MA→·MB→ = 0 (cercle de diamètre [AB]).
• Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un vecteur normal, et les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
• Déterminer et reconnaître une équation de cercle, en trouver le centre et le rayon.
• Déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole d'équation y = ax² + bx + c, et étudier son intersection avec une droite.

1. Définition par les normes et l'angle

On travaille dans le plan. La norme d'un vecteur u→, notée ‖u→‖, est sa longueur : si u→ = AB→, alors ‖u→‖ = AB. Dans un repère orthonormé, si u→ a pour coordonnées (x ; y), alors ‖u→‖ = √(x² + y²).

Quelques remarques essentielles :

• Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, pas un vecteur.
• Comme cos(-θ) = cos θ, le sens de l'angle n'a pas d'importance : u→·v→ = v→·u→.
• Avec des points : AB→·AC→ = AB × AC × cos(BAC), où BAC est l'angle géométrique en A.
• Le signe du produit scalaire renseigne sur l'angle : il est positif si l'angle est aigu (cos > 0), nul si l'angle est droit, négatif si l'angle est obtus.

Le carré scalaire de u→ est u→·u→ = ‖u→‖² × cos 0 = ‖u→‖². On le note u→². En particulier AB→² = AB². C'est le lien fondamental entre produit scalaire et longueurs.

Exemple. Si ‖u→‖ = 3, ‖v→‖ = 2 et (u→, v→) = 2π/3, alors u→·v→ = 3 × 2 × cos(2π/3) = 6 × (-1/2) = -3.

2. Produit scalaire et projeté orthogonal

Justification. Si l'angle BAC est aigu, H est sur la demi-droite [AB) et, dans le triangle AHC rectangle en H, cos(BAC) = AH/AC. Donc AB × AC × cos(BAC) = AB × AH. Si l'angle est obtus, H est de l'autre côté de A et cos(BAC) = -cos(HAC) = -AH/AC, ce qui donne -AB × AH.

Cette méthode est la plus rapide dans les figures géométriques (carré, rectangle, triangle équilatéral) où les projetés sont évidents.

Exemple. ABCD est un carré de côté a. Le projeté orthogonal de C sur (AB) est B, donc AB→·AC→ = AB→·AB→ = a².

3. Expressions à l'aide des normes et des coordonnées

Formules de polarisation. En développant (u→ + v→)·(u→ + v→) grâce aux propriétés du paragraphe 4, on obtient ‖u→ + v→‖² = ‖u→‖² + 2u→·v→ + ‖v→‖², d'où :

u→·v→ = (1/2) × (‖u→ + v→‖² - ‖u→‖² - ‖v→‖²)

et de même u→·v→ = (1/2) × (‖u→‖² + ‖v→‖² - ‖u→ - v→‖²).

Avec des points, la seconde formule donne : AB→·AC→ = (1/2) × (AB² + AC² - BC²), puisque AB→ - AC→ = CB→. On peut donc calculer un produit scalaire en ne connaissant que les trois longueurs d'un triangle.

Démonstration. u→ + v→ a pour coordonnées (x + x' ; y + y'). Donc ‖u→ + v→‖² - ‖u→‖² - ‖v→‖² = (x + x')² + (y + y')² - x² - y² - x'² - y'² = 2xx' + 2yy'. En divisant par 2, on obtient le résultat. Cette démonstration utilise la formule de la norme √(x² + y²), qui n'est valable que dans un repère orthonormé : c'est la condition de validité de la formule.

Exemple. u→(2 ; -3) et v→(4 ; 1) : u→·v→ = 2 × 4 + (-3) × 1 = 5.

Calcul d'un angle. En combinant la définition et les coordonnées, on obtient cos(u→, v→) = u→·v→ / (‖u→‖ × ‖v→‖), ce qui permet de déterminer un angle à la calculatrice.

4. Propriétés de calcul

Pour tous vecteurs u→, v→, w→ et tout réel k :

• Symétrie : u→·v→ = v→·u→.
• Bilinéarité : u→·(v→ + w→) = u→·v→ + u→·w→ et (ku→)·v→ = k × (u→·v→).

Ces règles se vérifient immédiatement avec les coordonnées. Elles permettent de développer comme avec des nombres, d'où les identités remarquables :

• ‖u→ + v→‖² = ‖u→‖² + 2u→·v→ + ‖v→‖²
• ‖u→ - v→‖² = ‖u→‖² - 2u→·v→ + ‖v→‖²
• (u→ + v→)·(u→ - v→) = ‖u→‖² - ‖v→‖²

Attention : il n'existe pas de « simplification » par un vecteur. De u→·v→ = u→·w→ on ne peut pas déduire v→ = w→ ; on en déduit seulement u→·(v→ - w→) = 0, c'est-à-dire que u→ est orthogonal à v→ - w→.

On utilise souvent la relation de Chasles pour décomposer un vecteur avant de développer : AC→ = AB→ + BC→.

5. Orthogonalité

Pour deux vecteurs non nuls, u→·v→ = 0 équivaut à cos(u→, v→) = 0, c'est-à-dire à un angle droit. Dans un repère orthonormé, u→(x ; y) et v→(x' ; y') sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0.

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.

Théorème de Pythagore revisité. D'après l'identité remarquable, ‖u→ + v→‖² = ‖u→‖² + ‖v→‖² si et seulement si u→·v→ = 0. Appliqué à u→ = AB→ et v→ = BC→, on obtient : AC² = AB² + BC² si et seulement si ABC est rectangle en B. Le produit scalaire contient le théorème et sa réciproque.

Cercle de diamètre [AB]. Soit I le milieu de [AB]. En écrivant MA→ = MI→ + IA→ et MB→ = MI→ + IB→ = MI→ - IA→, on obtient :

MA→·MB→ = MI² - IA² = MI² - AB²/4

Donc MA→·MB→ = 0 équivaut à MI = AB/2 : l'ensemble des points M tels que MA→·MB→ = 0 est le cercle de diamètre [AB]. On retrouve que l'angle AMB est droit lorsque M est sur ce cercle (et distinct de A et B).

6. Formule d'Al-Kashi

Démonstration. BC→ = BA→ + AC→ = AC→ - AB→. Donc BC² = ‖AC→ - AB→‖² = AC² - 2AB→·AC→ + AB² = b² + c² - 2bc × cos Â.

Cette formule généralise le théorème de Pythagore : si  = 90°, cos  = 0 et on retrouve a² = b² + c². Elle sert dans deux situations :

• on connaît deux côtés et l'angle compris : on calcule le troisième côté ;
• on connaît les trois côtés : on calcule un angle, avec cos  = (b² + c² - a²)/(2bc).

7. Équations de droites et vecteur normal

Conséquences pratiques :

• Deux droites d'équations ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0 sont perpendiculaires si et seulement si aa' + bb' = 0.
• La hauteur d'un triangle ABC issue de C est la droite passant par C et de vecteur normal AB→.
• La médiatrice de [AB] est la droite passant par le milieu de [AB] et de vecteur normal AB→.

Projeté orthogonal d'un point sur une droite. Pour trouver le projeté H de A(x₀ ; y₀) sur la droite d d'équation ax + by + c = 0 : H est sur la droite passant par A et dirigée par n→(a ; b). On écrit H(x₀ + ta ; y₀ + tb), on remplace dans l'équation de d pour trouver t, puis on en déduit H. La distance du point A à la droite d est alors AH, la plus courte distance entre A et un point de d.

8. Équation de cercle et parabole

En développant, on obtient une équation de la forme x² + y² + αx + βy + γ = 0. Réciproquement, une telle équation ne représente pas toujours un cercle : on la met sous forme canonique en complétant les carrés (x² - 4x = (x - 2)² - 4, par exemple), on obtient (x - a)² + (y - b)² = k, et :

• si k > 0, c'est le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon √k ;
• si k = 0, c'est le seul point Ω ;
• si k < 0, l'ensemble est vide.

Tangente à un cercle. La tangente au cercle de centre Ω en un point A du cercle est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon [ΩA] : elle a pour vecteur normal ΩA→.

Parabole. La courbe représentative de la fonction x ↦ ax² + bx + c (avec a ≠ 0) dans un repère est une parabole. En utilisant la forme canonique a(x - α)² + β, avec α = -b/(2a) et β = f(α) :

• son sommet est le point S(α ; β) ;
• elle admet pour axe de symétrie la droite verticale d'équation x = α ;
• elle est « tournée vers le haut » si a > 0 (S est le point le plus bas) et « vers le bas » si a < 0.

Intersection d'une parabole et d'une droite. Pour trouver les points communs à la parabole y = ax² + bx + c et à la droite y = mx + p, on résout ax² + bx + c = mx + p, équation du second degré : deux, une ou zéro solution selon le signe du discriminant, donc deux, un ou aucun point d'intersection.

Exemple 1 : longueur avec Al-Kashi

Énoncé. Dans un triangle ABC, AB = 5, AC = 4 et l'angle BAC mesure 60°. Calculer AB→·AC→, puis la longueur BC.

Résolution. Par définition, AB→·AC→ = AB × AC × cos 60° = 5 × 4 × 1/2 = 10. D'après Al-Kashi, BC² = AB² + AC² - 2 × AB→·AC→ = 25 + 16 - 2 × 10 = 21. Donc BC = √21 ≈ 4,58 (dans l'unité de longueur de l'énoncé).

Exemple 2 : angle, hauteur et projeté en repère orthonormé

Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 5). a) Calculer AB→·AC→ et en déduire une mesure de l'angle BAC au dixième de degré. b) Déterminer une équation de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. c) Déterminer les coordonnées du pied H de cette hauteur.

Résolution. a) AB→(3 ; 1) et AC→(1 ; 3). AB→·AC→ = 3 × 1 + 1 × 3 = 6. AB = √(9 + 1) = √10 et AC = √(1 + 9) = √10. Donc cos(BAC) = 6/(√10 × √10) = 6/10 = 0,6, et BAC ≈ 53,1°. b) La hauteur issue de C passe par C et a pour vecteur normal AB→(3 ; 1). Elle a une équation de la forme 3x + y + c = 0. Comme C est dessus : 3 × 2 + 5 + c = 0, donc c = -11. Équation : 3x + y - 11 = 0. c) H est sur (AB). Un point de (AB) s'écrit M(1 + 3t ; 2 + t) avec t réel (A + t AB→). On impose qu'il soit sur la hauteur : 3(1 + 3t) + (2 + t) - 11 = 0, soit 10t - 6 = 0, donc t = 0,6. D'où H(2,8 ; 2,6). Vérification : CH→(0,8 ; -2,4) et CH→·AB→ = 0,8 × 3 + (-2,4) × 1 = 0. Le résultat est cohérent.

Exemple 3 : reconnaître un cercle et tracer une tangente

Énoncé. Soit (C) l'ensemble des points M(x ; y) tels que x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0. a) Montrer que (C) est un cercle dont on précisera le centre Ω et le rayon. b) Vérifier que A(5 ; 1) appartient à (C) et déterminer une équation de la tangente à (C) en A.

Résolution. a) On complète les carrés : x² - 4x = (x - 2)² - 4 et y² + 6y = (y + 3)² - 9. L'équation devient (x - 2)² - 4 + (y + 3)² - 9 - 12 = 0, soit (x - 2)² + (y + 3)² = 25. (C) est le cercle de centre Ω(2 ; -3) et de rayon 5. b) (5 - 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25 : A appartient à (C). La tangente en A est perpendiculaire à (ΩA), donc admet ΩA→(3 ; 4) comme vecteur normal : 3x + 4y + c = 0. Avec A : 15 + 4 + c = 0, donc c = -19. Équation : 3x + 4y - 19 = 0.

• Choisis la bonne formule selon les données : angle connu, utilise les normes et le cosinus ; figure avec angles droits, utilise un projeté ; repère orthonormé, utilise les coordonnées ; trois longueurs, utilise la polarisation.
• Le produit scalaire est un nombre : n'écris jamais de flèche sur le résultat.
• La formule xx' + yy' n'est valable que dans un repère orthonormé.
• Avec un projeté, contrôle le sens : si H et B sont de part et d'autre de A, le produit scalaire est négatif.
• Ne simplifie jamais par un vecteur : u→·v→ = u→·w→ n'entraîne pas v→ = w→.
• Dans Al-Kashi, le côté isolé à gauche est celui opposé à l'angle utilisé dans le cosinus.
• Pour une équation de droite, ne confonds pas vecteur normal n→(a ; b) et vecteur directeur u→(-b ; a).
• Avant de conclure qu'une équation x² + y² + αx + βy + γ = 0 est un cercle, mets-la sous forme canonique et vérifie que le second membre est strictement positif.
• Pour prouver qu'un triangle est rectangle, un produit scalaire nul entre deux côtés issus du même sommet suffit, et c'est souvent plus rapide que Pythagore.

En PASS, le produit scalaire sert d'abord en physique : le travail d'une force est W = F→·AB→ (en joules), ce qui explique qu'une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas. La projection d'une force sur un axe (composante utile d'une traction musculaire, force exercée sur une articulation) est un produit scalaire avec un vecteur unitaire. En biophysique, on retrouve aussi le produit scalaire dans le flux d'un champ et dans l'énergie d'un dipôle placé dans un champ électrique. Les équations de droites et de cercles servent à lire des graphiques et à modéliser des trajectoires. Les QCM testent souvent le signe d'un produit scalaire, l'orthogonalité par les coordonnées et l'usage d'Al-Kashi.

Niveau 1 : s'entraîner

1. Soient u→ et v→ tels que ‖u→‖ = 3 et ‖v→‖ = 4. Calculer u→·v→ lorsque l'angle (u→, v→) mesure : a) π/3 ; b) 3π/4 ; c) π/2.

2. Dans un repère orthonormé, u→(2 ; -3), v→(4 ; 1) et w→(6 ; 4).

a) Calculer u→·v→ et u→·w→. Que peut-on dire de u→ et w→ ? b) Déterminer le réel m tel que les vecteurs (m ; 2) et (3 ; -1) soient orthogonaux.

3. ABCD est un carré de côté 4 et I est le milieu de [CD]. Calculer, en utilisant des projetés orthogonaux : AB→·AC→ ; AB→·AD→ ; AB→·CD→ ; AB→·AI→.

4. Dans un repère orthonormé :

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; -1) et de vecteur normal n→(3 ; 5). b) Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite d'équation 2x - y + 7 = 0.

5. a) Écrire une équation du cercle de centre Ω(-1 ; 3) et de rayon 4, puis la développer.

b) Le point B(3 ; 3) appartient-il à ce cercle ?

Niveau 2 : type bac

6. ABC est un triangle tel que AB = 7, AC = 5 et BC = 8.

a) Calculer cos Â, puis une mesure de l'angle  au dixième de degré. b) En déduire AB→·AC→. c) Calculer la valeur exacte de cos Ĉ et en déduire Ĉ. d) Calculer l'aire exacte du triangle ABC.

7. Dans un repère orthonormé, A(-1 ; 1), B(3 ; -1) et C(2 ; 4).

a) Calculer AB→·AC→. b) Déterminer une mesure de l'angle BAC au dixième de degré. c) Déterminer une équation de la hauteur issue de C, puis de la hauteur issue de B. d) En déduire les coordonnées de l'orthocentre H du triangle et vérifier que (AH) est perpendiculaire à (BC).

8. Dans un repère orthonormé :

a) Montrer que l'équation x² + y² + 6x - 2y + 1 = 0 est celle d'un cercle et préciser son centre et son rayon. b) Quel est l'ensemble des points M(x ; y) tels que x² + y² - 2x + 4y + 10 = 0 ? c) Soient A(1 ; 2) et B(5 ; -2). Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB] en traduisant MA→·MB→ = 0, puis préciser son centre et son rayon.

9. On considère la parabole P d'équation y = -x² + 4x - 3 et la droite D d'équation y = x - 3.

a) Déterminer le sommet et l'axe de symétrie de P. b) Déterminer les points d'intersection de P avec l'axe des abscisses. c) Déterminer les points d'intersection de P et de D.

Niveau 3 : vers le PASS

10. A et B sont deux points tels que AB = 6, et I est le milieu de [AB].

a) Démontrer que, pour tout point M, MA→·MB→ = MI² - 9. b) Déterminer l'ensemble des points M tels que MA→·MB→ = 16. c) Même question pour MA→·MB→ = -9, puis pour MA→·MB→ = -10.

11. Dans un repère orthonormé, on considère la droite d d'équation x - 2y + 3 = 0 et le point A(4 ; 1).

a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur d. b) En déduire la distance du point A à la droite d. c) Le cercle de centre A et de rayon 2 coupe-t-il d ? Et le cercle de centre A et de rayon 3 ?

12. Le travail d'une force constante F→ lors d'un déplacement rectiligne AB→ est W = F→·AB→ (en joules, avec F en newtons et AB en mètres).

a) Une force de 200 N fait un angle de 30° avec un déplacement de 3 m. Calculer W. b) Dans un repère orthonormé (unités : N pour la force, m pour le déplacement), F→(150 ; 80) et AB→(2 ; -1). Calculer W. c) Dans la situation b), calculer ‖F→‖ et une mesure de l'angle entre F→ et AB→ au dixième de degré.

13. Vrai ou faux ? Justifier.

A. Si u→·v→ = u→·w→ avec u→ non nul, alors v→ = w→. B. ‖u→ + v→‖² = ‖u→‖² + ‖v→‖² si et seulement si u→ et v→ sont orthogonaux. C. Les droites d'équations 2x + 3y - 1 = 0 et 3x - 2y + 5 = 0 sont perpendiculaires. D. Dans tout parallélogramme ABCD, AC² + BD² = 2(AB² + AD²). E. L'équation x² + y² = -4 est celle d'un cercle.

1. On applique u→·v→ = ‖u→‖ × ‖v→‖ × cos(u→, v→), avec ‖u→‖ × ‖v→‖ = 12.

a) 12 × cos(π/3) = 12 × 1/2 = 6. b) 12 × cos(3π/4) = 12 × (-√2/2) = -6√2 ≈ -8,49. c) 12 × cos(π/2) = 12 × 0 = 0 (vecteurs orthogonaux).

2. a) u→·v→ = 2 × 4 + (-3) × 1 = 8 - 3 = 5.

u→·w→ = 2 × 6 + (-3) × 4 = 12 - 12 = 0 : u→ et w→ sont orthogonaux. b) (m ; 2)·(3 ; -1) = 3m - 2. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si 3m - 2 = 0, soit m = 2/3.

3. Le côté vaut 4.

AB→·AC→ : le projeté de C sur (AB) est B, donc AB→·AC→ = AB→·AB→ = AB² = 16. AB→·AD→ : les vecteurs sont orthogonaux (angle droit en A), donc 0. AB→·CD→ : CD→ = -AB→ (côtés opposés du carré), donc AB→·CD→ = -AB² = -16. AB→·AI→ : le projeté de I sur (AB) est le milieu K de [AB] (car I est le milieu de [CD] et (IK) est parallèle à (AD), donc perpendiculaire à (AB)). K est du même côté que B, donc AB→·AI→ = AB × AK = 4 × 2 = 8.

4. a) Une équation est de la forme 3x + 5y + c = 0. A appartient à la droite : 3 × 2 + 5 × (-1) + c = 0, soit 1 + c = 0, donc c = -1. Équation : 3x + 5y - 1 = 0.

b) Pour ax + by + c = 0, n→(a ; b) est normal et u→(-b ; a) est directeur. Ici a = 2 et b = -1 : vecteur normal (2 ; -1), vecteur directeur (1 ; 2). Contrôle : 2 × 1 + (-1) × 2 = 0.

5. a) (x + 1)² + (y - 3)² = 16. En développant : x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 - 16 = 0, soit x² + y² + 2x - 6y - 6 = 0.

b) (3 + 1)² + (3 - 3)² = 16 + 0 = 16 : oui, B appartient au cercle.

6. a) Al-Kashi avec le côté opposé à Â, BC : BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos Â, soit 64 = 49 + 25 - 70 cos Â. Donc 70 cos  = 10 et cos  = 1/7. À la calculatrice,  ≈ 81,8°.

b) AB→·AC→ = AB × AC × cos  = 7 × 5 × 1/7 = 5. Contrôle par polarisation : (1/2)(AB² + AC² - BC²) = (1/2)(49 + 25 - 64) = 5. c) Côté opposé à Ĉ : AB. AB² = AC² + BC² - 2 × AC × BC × cos Ĉ, soit 49 = 25 + 64 - 80 cos Ĉ. Donc 80 cos Ĉ = 40 et cos Ĉ = 1/2, d'où Ĉ = 60°. d) La hauteur issue de A a pour longueur h = AC × sin Ĉ (triangle rectangle formé par A, C et le pied de la hauteur, l'angle Ĉ étant aigu). sin 60° = √3/2, donc h = 5√3/2. Aire = (1/2) × BC × h = (1/2) × 8 × 5√3/2 = 10√3 ≈ 17,32 (unités d'aire).

7. a) AB→(4 ; -2) et AC→(3 ; 3). AB→·AC→ = 4 × 3 + (-2) × 3 = 12 - 6 = 6.

b) AB = √(16 + 4) = √20 = 2√5 et AC = √(9 + 9) = √18 = 3√2. cos(BAC) = 6/(2√5 × 3√2) = 6/(6√10) = 1/√10 ≈ 0,316. Donc BAC ≈ 71,6°. c) Hauteur issue de C : vecteur normal AB→(4 ; -2), équation 4x - 2y + c = 0. Avec C(2 ; 4) : 8 - 8 + c = 0, donc c = 0. En divisant par 2 : 2x - y = 0. Hauteur issue de B : vecteur normal AC→(3 ; 3), ou (1 ; 1) qui lui est colinéaire. Équation x + y + c = 0. Avec B(3 ; -1) : 3 - 1 + c = 0, donc c = -2 : x + y - 2 = 0. d) L'orthocentre est l'intersection des hauteurs : y = 2x et x + 2x - 2 = 0, donc x = 2/3 et y = 4/3. H(2/3 ; 4/3). Vérification : AH→(2/3 + 1 ; 4/3 - 1) = (5/3 ; 1/3) et BC→(-1 ; 5). AH→·BC→ = -5/3 + 5/3 = 0 : (AH) est bien perpendiculaire à (BC), ce qui confirme que les trois hauteurs sont concourantes en H.

8. a) x² + 6x = (x + 3)² - 9 et y² - 2y = (y - 1)² - 1. L'équation devient (x + 3)² + (y - 1)² - 9 - 1 + 1 = 0, soit (x + 3)² + (y - 1)² = 9. Cercle de centre (-3 ; 1) et de rayon 3.

b) x² - 2x = (x - 1)² - 1 et y² + 4y = (y + 2)² - 4. On obtient (x - 1)² + (y + 2)² = 1 + 4 - 10 = -5. Une somme de carrés ne peut pas être négative : l'ensemble est vide. c) MA→(1 - x ; 2 - y) et MB→(5 - x ; -2 - y). MA→·MB→ = (1 - x)(5 - x) + (2 - y)(-2 - y) = x² - 6x + 5 + y² - 4. La condition MA→·MB→ = 0 donne x² + y² - 6x + 1 = 0, soit (x - 3)² + y² = 8. Centre (3 ; 0), qui est bien le milieu de [AB], et rayon √8 = 2√2. Contrôle : AB = √(16 + 16) = 4√2, dont la moitié vaut 2√2.

9. a) a = -1, b = 4 : α = -b/(2a) = -4/(-2) = 2 et β = -4 + 8 - 3 = 1. Sommet S(2 ; 1), axe de symétrie x = 2. Comme a < 0, la parabole est tournée vers le bas : S est son point le plus haut.

b) -x² + 4x - 3 = 0. Δ = 16 - 12 = 4, racines x = (-4 - 2)/(-2) = 3 et x = (-4 + 2)/(-2) = 1. Points (1 ; 0) et (3 ; 0), symétriques par rapport à l'axe x = 2, ce qui est cohérent. c) -x² + 4x - 3 = x - 3 équivaut à -x² + 3x = 0, soit x(3 - x) = 0 : x = 0 ou x = 3. Les ordonnées s'obtiennent avec D : 0 - 3 = -3 et 3 - 3 = 0. Points (0 ; -3) et (3 ; 0).

10. a) Par Chasles, MA→ = MI→ + IA→ et MB→ = MI→ + IB→ = MI→ - IA→ (I milieu de [AB]). Donc MA→·MB→ = (MI→ + IA→)·(MI→ - IA→) = MI² - IA². Or IA = AB/2 = 3, donc MA→·MB→ = MI² - 9.

b) MI² - 9 = 16 équivaut à MI² = 25, soit MI = 5. Cercle de centre I et de rayon 5. c) MI² - 9 = -9 équivaut à MI = 0 : l'ensemble est le seul point I. MI² - 9 = -10 équivaut à MI² = -1, impossible : l'ensemble est vide.

11. a) n→(1 ; -2) est normal à d. H est sur la droite passant par A dirigée par n→ : H(4 + t ; 1 - 2t). On impose H ∈ d : (4 + t) - 2(1 - 2t) + 3 = 0, soit 5 + 5t = 0, donc t = -1. H(3 ; 3). Contrôle : 3 - 6 + 3 = 0.

b) AH = √((3 - 4)² + (3 - 1)²) = √(1 + 4) = √5 ≈ 2,24. c) Le cercle de rayon r coupe d si et seulement si la distance de A à d est inférieure ou égale à r. √5 ≈ 2,24 > 2 : le cercle de rayon 2 ne coupe pas d. √5 < 3 : le cercle de rayon 3 coupe d en deux points.

12. a) W = F × AB × cos 30° = 200 × 3 × √3/2 = 300√3 ≈ 519,6 J.

b) W = 150 × 2 + 80 × (-1) = 300 - 80 = 220 J. c) ‖F→‖ = √(150² + 80²) = √(22 500 + 6 400) = √28 900 = 170 N. ‖AB→‖ = √(4 + 1) = √5 m. cos θ = 220/(170 × √5) ≈ 220/380,1 ≈ 0,579, donc θ ≈ 54,6°.

13. A. Faux. Contre-exemple : u→(1 ; 0), v→(0 ; 1), w→(0 ; 2). u→·v→ = 0 = u→·w→ mais v→ ≠ w→.

B. Vrai. ‖u→ + v→‖² = ‖u→‖² + 2u→·v→ + ‖v→‖², donc l'égalité équivaut à u→·v→ = 0. C. Vrai. Vecteurs normaux (2 ; 3) et (3 ; -2) : 2 × 3 + 3 × (-2) = 0, ils sont orthogonaux, donc les droites sont perpendiculaires. D. Vrai. AC→ = AB→ + AD→ et BD→ = AD→ - AB→. Donc AC² = AB² + 2AB→·AD→ + AD² et BD² = AD² - 2AB→·AD→ + AB². En additionnant : AC² + BD² = 2AB² + 2AD². E. Faux. x² + y² ≥ 0 pour tous réels x et y : aucun point ne vérifie l'équation, l'ensemble est vide.

Ce chapitre prépare la partie Vecteurs, projections et trigonométrie du cours Outils mathématiques : fonctions, intégrales et vecteurs (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre