Fonctions sinus et cosinus

• Lire sur le cercle trigonométrique le cosinus et le sinus d'un réel, et utiliser les valeurs remarquables et les angles associés.
• Justifier la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus et en déduire leurs symétries graphiques.
• Calculer la dérivée de sin, de cos et de fonctions composées comme sin(ax + b) ou cos(u).
• Établir et utiliser la limite de sin x / x en 0.
• Dresser le tableau de variations de sin et de cos sur une période et tracer leurs courbes.
• Résoudre sur ℝ ou sur un intervalle une équation du type cos x = a ou sin x = a, puis cos(u) = cos(v) ou sin(u) = sin(v).
• Résoudre une inéquation trigonométrique simple sur un intervalle à l'aide du cercle.
• Identifier l'amplitude, la pulsation, la période, la fréquence et la phase à l'origine d'une fonction t ↦ A cos(ωt + φ).
• Modéliser un phénomène périodique (tension alternative, oscillateur, marée, signal physiologique) par une fonction sinusoïdale et exploiter ce modèle.

1. Rappels : cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À tout réel x, on associe un unique point M(x) du cercle, obtenu en « enroulant » la droite des réels sur le cercle à partir du point I(1 ; 0). Le réel x est une mesure, en radians, de l'angle orienté (vecteur OI, vecteur OM). Un tour complet mesure 2π radians, donc π radians correspondent à 180°.

Conséquences immédiates, pour tout réel x :

• -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 ;
• cos²x + sin²x = 1 (théorème de Pythagore, OM = 1) ;
• cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x pour tout entier relatif k, car x et x + 2kπ repèrent le même point.

Valeurs remarquables :

Angles associés (lus par symétries du cercle) :

• symétrie par rapport à l'axe des abscisses : cos(-x) = cos x, sin(-x) = -sin x ;
• symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : cos(π - x) = -cos x, sin(π - x) = sin x ;
• symétrie de centre O : cos(π + x) = -cos x, sin(π + x) = -sin x ;
• symétrie par rapport à la droite y = x : cos(π/2 - x) = sin x, sin(π/2 - x) = cos x ;
• quart de tour : cos(x + π/2) = -sin x, sin(x + π/2) = cos x.

Exemple. cos(2π/3) = cos(π - π/3) = -cos(π/3) = -1/2. sin(7π/6) = sin(π + π/6) = -sin(π/6) = -1/2.

Pour trouver le cosinus d'un réel « grand », on lui retranche un multiple de 2π : 17π/4 = 4π + π/4, donc cos(17π/4) = cos(π/4) = √2/2.

2. Les fonctions sinus et cosinus : définition, parité, périodicité

Périodicité. Une fonction f définie sur ℝ est périodique de période T (T > 0) si f(x + T) = f(x) pour tout réel x. Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques. Graphiquement, la courbe est invariante par la translation de vecteur 2π × vecteur i : il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 2π puis de la reproduire.

Parité. Une fonction définie sur ℝ est paire si f(-x) = f(x) pour tout x (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x (courbe symétrique par rapport à l'origine).

• cos est paire car cos(-x) = cos x ;
• sin est impaire car sin(-x) = -sin x.

Conséquence pratique : grâce à la parité et à la périodicité, l'étude de cos et de sin peut se limiter à l'intervalle [0 ; π], puis on complète par symétrie sur [-π ; π] et par translation sur ℝ.

Période d'une fonction composée. Pour ω > 0, la fonction x ↦ cos(ωx) est périodique de période 2π/ω, car cos(ω(x + 2π/ω)) = cos(ωx + 2π) = cos(ωx). Par exemple sin(3x) a pour période 2π/3 et cos(x/2) a pour période 4π.

3. Dérivées et limite fondamentale

En particulier elles sont continues sur ℝ.

La propriété a une interprétation géométrique : quand x augmente légèrement, le point M(x) se déplace sur le cercle perpendiculairement au rayon, avec une vitesse de norme 1 ; le vecteur vitesse a pour coordonnées (-sin x ; cos x), qui sont les dérivées de cos et de sin.

Limite fondamentale. Le nombre dérivé de sin en 0 vaut cos 0 = 1. Par définition du nombre dérivé, le taux d'accroissement (sin h - sin 0)/h = sin h / h tend vers 1 :

De même, le nombre dérivé de cos en 0 vaut -sin 0 = 0, donc (cos x - 1)/x tend vers 0 quand x tend vers 0.

Interprétation : pour x proche de 0 (en radians), sin x ≈ x. C'est l'approximation des petits angles utilisée en physique pour le pendule. Par exemple sin(0,1) ≈ 0,0998.

Exemple. lim en 0 de sin(5x)/x : on écrit sin(5x)/x = 5 × sin(5x)/(5x). En posant X = 5x, qui tend vers 0, sin X / X tend vers 1, donc la limite vaut 5.

Exemples :

• f(x) = cos(3x - π/4) : f'(x) = -3 sin(3x - π/4) ;
• g(x) = sin²x = (sin x)² : g'(x) = 2 sin x cos x ;
• h(x) = x cos x : h'(x) = cos x - x sin x.

Dérivées secondes : sin'' = -sin et cos'' = -cos. Les fonctions sinus et cosinus vérifient donc y'' = -y, et plus généralement x ↦ cos(ωx) vérifie y'' = -ω² y. C'est l'équation d'un oscillateur harmonique, que l'on rencontre en mécanique et en électricité.

4. Variations et courbes sur une période

Étude de cos sur [0 ; π] : cos'(x) = -sin x, et sin x ≥ 0 sur [0 ; π] (le point M(x) est dans le demi-plan supérieur), nul seulement en 0 et en π. Donc cos est strictement décroissante sur [0 ; π], de 1 à -1. Par parité, cos est strictement croissante sur [-π ; 0].

Étude de sin sur [-π ; π] : sin'(x) = cos x, positif sur [-π/2 ; π/2] et négatif sur [-π ; -π/2] et sur [π/2 ; π].

Les courbes de sin et de cos sont des sinusoïdes. Comme cos x = sin(x + π/2), la courbe de cos est l'image de celle de sin par la translation de vecteur -(π/2) × vecteur i : c'est la même courbe, décalée d'un quart de période.

Remarque : la tangente à la courbe de sin en 0 a pour équation y = x (car sin 0 = 0 et sin'(0) = 1). Pour x ≥ 0, on montre que sin x ≤ x : la fonction x ↦ x - sin x a pour dérivée 1 - cos x ≥ 0, elle est donc croissante et vaut 0 en 0.

5. Équations trigonométriques

Le cercle trigonométrique montre que deux réels ont le même cosinus si et seulement si leurs points sont confondus ou symétriques par rapport à l'axe des abscisses, et le même sinus si et seulement si leurs points sont confondus ou symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemples :

• cos x = 1/2 = cos(π/3) : x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ. Sur ]-π ; π], les solutions sont -π/3 et π/3 ;
• sin x = -1 : un seul point du cercle, x = -π/2 + 2kπ ;
• cos x = 2 : aucune solution, car un cosinus est compris entre -1 et 1 ;
• cos(2x) = 0 = cos(π/2) : 2x = π/2 + 2kπ ou 2x = -π/2 + 2kπ, ce qui se résume en 2x = π/2 + kπ, soit x = π/4 + kπ/2. Attention : on divise aussi la période par 2.

Cas des valeurs non remarquables : pour cos x = 0,3, la calculatrice (touche cos⁻¹ en mode radian) fournit l'unique réel a de [0 ; π] tel que cos a = 0,3, soit a ≈ 1,266 ; les solutions sont alors x = ±a + 2kπ.

Équations se ramenant au second degré : pour 2 sin²x - sin x - 1 = 0, on pose X = sin x, avec -1 ≤ X ≤ 1. L'équation 2X² - X - 1 = 0 se factorise en (2X + 1)(X - 1) = 0, d'où sin x = 1 ou sin x = -1/2.

Inéquations. On les résout sur un intervalle donné à l'aide du cercle : on place les points où l'égalité a lieu, puis on repère l'arc où l'inégalité est vraie.

Exemple. cos x ≥ 1/2 sur ]-π ; π] : les points d'abscisse supérieure ou égale à 1/2 forment l'arc compris entre M(-π/3) et M(π/3), qui contient I. Ensemble des solutions : [-π/3 ; π/3].

Exemple. sin x > 0 sur ]-π ; π] : les points d'ordonnée strictement positive forment le demi-cercle supérieur ouvert, d'où ]0 ; π[.

6. Les fonctions t ↦ A cos(ωt + φ)

En physique, une grandeur sinusoïdale s'écrit

s(t) = A cos(ωt + φ), avec A > 0 et ω > 0, où :

• A est l'amplitude : s(t) varie entre -A et A ;
• ω est la pulsation, en rad·s⁻¹ ;
• T = 2π/ω est la période, en secondes ;
• f = 1/T = ω/(2π) est la fréquence, en hertz (Hz) ;
• φ est la phase à l'origine (en radians) ; ωt + φ est la phase à l'instant t.

Justification de la période : s(t + 2π/ω) = A cos(ωt + 2π + φ) = A cos(ωt + φ) = s(t).

On peut aussi écrire s(t) = A cos(ω(t + φ/ω)) : la courbe de s est celle de A cos(ωt) décalée dans le temps de φ/ω. Une phase à l'origine positive correspond à une avance.

Dérivées :

• s'(t) = -Aω sin(ωt + φ), d'amplitude Aω ;
• s''(t) = -Aω² cos(ωt + φ) = -ω² s(t).

Lorsque s est une position, s' est la vitesse et s'' l'accélération : l'accélération est proportionnelle à la position et de signe opposé. La vitesse est nulle aux extrémités (s = ±A) et maximale en valeur absolue au passage par 0.

Détermination de φ. Connaissant A, ω, la valeur s(0) et le sens de variation à l'instant 0, on trouve φ : cos φ = s(0)/A donne deux valeurs possibles (φ et -φ), et le signe de s'(0) = -Aω sin φ permet de choisir.

Une grandeur qui oscille autour d'une valeur moyenne m s'écrit s(t) = m + A cos(ωt + φ). Elle varie entre m - A et m + A, donc m = (max + min)/2 et A = (max - min)/2.

7. Modélisation de phénomènes périodiques

Tension du secteur. En France, la tension du secteur a une fréquence de 50 Hz et une valeur efficace de 230 V, soit une amplitude de 230 × √2 ≈ 325 V. On la modélise par u(t) = 325 cos(100πt), avec ω = 2π × 50 = 100π rad·s⁻¹ et T = 20 ms.

Oscillateur mécanique. Un solide accroché à un ressort de raideur k, de masse m, écarté de sa position d'équilibre puis lâché, oscille sans frottement selon x(t) = Xₘ cos(ω₀t + φ), avec ω₀ = √(k/m). L'équation x'' = -ω₀² x traduit la deuxième loi de Newton.

Pendule simple. Pour de petites oscillations (sin θ ≈ θ), l'angle suit θ(t) = θₘ cos(ω₀t + φ) avec ω₀ = √(g/L), soit une période T₀ = 2π√(L/g) indépendante de l'amplitude.

Phénomènes naturels et biologiques. La hauteur de la marée, la température au cours d'une journée ou d'une année, la pression dans une artère au cours d'un cycle cardiaque ou le volume pulmonaire lors d'une respiration calme sont approximativement périodiques. Un modèle sinusoïdal en donne une description simple, dont on doit discuter les limites : la vraie courbe n'est pas exactement une sinusoïde, et la période peut varier.

Exemple. Une pression oscille entre 80 et 120 (en mmHg) avec une période de 0,8 s. On prend m = 100, A = 20, ω = 2π/0,8 = 2,5π rad·s⁻¹, et si le maximum a lieu à t = 0 : P(t) = 100 + 20 cos(2,5πt). La fréquence vaut 1/0,8 = 1,25 Hz, soit 75 cycles par minute.

Exemple 1 : étude de x ↦ x - 2 sin x

Énoncé. Soit f définie sur [0 ; 2π] par f(x) = x - 2 sin x. a) Calculer f'(x). b) Résoudre f'(x) = 0 sur [0 ; 2π], puis étudier le signe de f'(x). c) Dresser le tableau de variations de f avec les valeurs exactes des extremums.

Résolution. a) f'(x) = 1 - 2 cos x. b) f'(x) = 0 équivaut à cos x = 1/2 = cos(π/3), soit x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ. Dans [0 ; 2π] : x = π/3 ou x = 5π/3. f'(x) > 0 équivaut à cos x < 1/2. Sur le cercle, les points d'abscisse strictement inférieure à 1/2 correspondent à x dans ]π/3 ; 5π/3[. Donc f'(x) < 0 sur [0 ; π/3[ et sur ]5π/3 ; 2π], f'(x) > 0 sur ]π/3 ; 5π/3[. c) Valeurs : f(0) = 0 ; f(π/3) = π/3 - 2 × (√3/2) = π/3 - √3 ≈ -0,685 ; f(5π/3) = 5π/3 - 2 × (-√3/2) = 5π/3 + √3 ≈ 6,968 ; f(2π) = 2π ≈ 6,283.

Exemple 2 : équations et inéquation

Énoncé. a) Résoudre sin(2x) = √3/2 sur [0 ; 2π[. b) Résoudre 2 sin²x - sin x - 1 = 0 sur [0 ; 2π[. c) Résoudre cos x > -1/2 sur ]-π ; π].

Résolution. a) √3/2 = sin(π/3). L'équation équivaut à 2x = π/3 + 2kπ ou 2x = π - π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ, soit x = π/6 + kπ ou x = π/3 + kπ. Dans [0 ; 2π[ (k = 0 ou k = 1) : S = {π/6 ; π/3 ; 7π/6 ; 4π/3}. On obtient quatre solutions, car sin(2x) parcourt deux périodes quand x parcourt [0 ; 2π[. b) On pose X = sin x : 2X² - X - 1 = 0. Le discriminant vaut 1 + 8 = 9, les racines sont (1 + 3)/4 = 1 et (1 - 3)/4 = -1/2. sin x = 1 donne x = π/2. sin x = -1/2 = sin(-π/6) donne x = -π/6 + 2kπ ou x = π + π/6 + 2kπ, soit, dans [0 ; 2π[, x = 11π/6 ou x = 7π/6. S = {π/2 ; 7π/6 ; 11π/6}. c) cos x = -1/2 pour x = 2π/3 ou x = -2π/3 dans ]-π ; π]. Les points d'abscisse strictement supérieure à -1/2 forment l'arc ouvert de M(-2π/3) à M(2π/3) passant par I. S = ]-2π/3 ; 2π/3[.

Exemple 3 : modéliser une tension sinusoïdale

Énoncé. Un oscilloscope affiche une tension sinusoïdale u(t) = Uₘ cos(ωt + φ), avec φ dans ]-π ; π]. On relève : valeur maximale 12 V, période 20 ms, u(0) = 6,0 V et u décroissante à l'instant 0. a) Déterminer Uₘ, ω et la fréquence. b) Déterminer φ. c) Calculer le premier instant t > 0 où la tension s'annule.

Résolution. a) Uₘ = 12 V. ω = 2π/T = 2π/0,020 = 100π rad·s⁻¹ ≈ 314 rad·s⁻¹, et f = 1/T = 50 Hz. b) u(0) = 12 cos φ = 6, donc cos φ = 1/2, d'où φ = π/3 ou φ = -π/3. La dérivée vaut u'(t) = -12ω sin(ωt + φ), donc u'(0) = -12ω sin φ. Comme u est décroissante en 0, u'(0) < 0, donc sin φ > 0 : φ = π/3. c) u(t) = 0 équivaut à cos(100πt + π/3) = 0, soit 100πt + π/3 = π/2 + kπ. La plus petite valeur positive s'obtient pour k = 0 : 100πt = π/6, t = 1/600 s, soit t ≈ 1,7 ms.

• Règle ta calculatrice en mode radian : cos(π/3) en mode degré ne donne pas 0,5.
• Pour résoudre cos x = c ou sin x = c, écris toujours les deux familles de solutions, puis sélectionne celles de l'intervalle en testant les valeurs de k une par une.
• Dans cos(2x) = c, la période des solutions devient π et non 2π : divise aussi le terme 2kπ.
• Avant de chercher des solutions, vérifie que c est entre -1 et 1 ; sinon, l'ensemble des solutions est vide.
• Pour une inéquation, dessine le cercle, place les points d'égalité, colorie l'arc solution et lis ses extrémités dans le sens direct, en respectant l'intervalle imposé.
• N'oublie pas le facteur intérieur : (cos(ωt + φ))' = -ω sin(ωt + φ), pas -sin(ωt + φ).
• Ne confonds pas pulsation ω (rad·s⁻¹), fréquence f (Hz) et période T (s) : ω = 2πf = 2π/T.
• Pour déterminer φ, cos φ seul ne suffit pas : utilise le sens de variation à l'instant 0 (signe de la dérivée).

En PASS, les fonctions sinusoïdales servent d'abord en physique : oscillations mécaniques et électriques, ondes sonores et ultrasonores (échographie), ondes électromagnétiques, courant alternatif. La notion de fréquence relie ces signaux à l'audition (gamme des fréquences audibles) et à l'imagerie. Le cosinus intervient aussi dans les projections de vecteurs (composantes d'une force, travail d'une force, moment d'une force en biomécanique) et dans le produit scalaire. Enfin, l'idée qu'un signal périodique se décompose en sinusoïdes de fréquences différentes est à la base du traitement des signaux biologiques (électrocardiogramme, électroencéphalogramme) et de l'IRM.

Niveau 1 : s'entraîner

1. Donner la valeur exacte de : cos(2π/3) ; sin(7π/6) ; cos(-π/4) ; sin(11π/3) ; cos(5π/6).

2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes, définies sur ℝ : f(x) = 3 sin x - 2 cos x ; g(x) = cos(3x - π/4) ; h(x) = x sin x ; k(x) = sin²x ; m(x) = cos x / (2 + sin x).

3. a) Montrer que f(x) = cos(2x) est paire et π-périodique. b) Montrer que g(x) = x² cos x est paire. c) Donner la période de x ↦ sin(3x).

4. Résoudre dans ℝ : a) cos x = √2/2 ; b) sin x = -1 ; c) sin x = sin(π/5) ; d) cos(2x) = 0.

5. Déterminer les limites : a) en 0 de sin(3x)/x ; b) en 0 de sin x / (2x) ; c) en +∞ de sin x / x ; d) en +∞ de x + cos x.

Niveau 2 : type bac

6. Soit f définie sur ℝ par f(x) = sin x (1 + cos x).

a) Montrer que f est impaire et 2π-périodique. b) Montrer que f'(x) = (2 cos x - 1)(cos x + 1). c) Étudier les variations de f sur [0 ; π] et donner son maximum exact. d) En déduire l'allure des variations de f sur [-π ; π].

7. Résoudre :

a) 2 sin x + √3 = 0 sur ]-π ; π] ; b) cos(x - π/4) = 1/2 sur [0 ; 2π[ ; c) 2cos²x + 3 cos x + 1 = 0 sur [0 ; 2π[ ; d) sin x ≤ 1/2 sur [0 ; 2π[.

8. Un solide accroché à un ressort oscille horizontalement. Sa position, en mètres, est x(t) = 0,050 cos(10t + π/6), t en secondes.

a) Donner l'amplitude, la pulsation, la période et la fréquence du mouvement. b) Exprimer la vitesse v(t) = x'(t) et donner sa valeur maximale. c) Vérifier que x''(t) + 100 x(t) = 0 pour tout t. d) Déterminer le premier instant t > 0 où le solide passe par la position d'équilibre x = 0.

9. Dans un port, la hauteur d'eau (en mètres) est modélisée par h(t) = 4 + 3 cos(πt/6), t en heures, t = 0 correspondant à une pleine mer.

a) Donner les hauteurs maximale et minimale et la période du phénomène. b) Un bateau ne peut entrer que si h(t) ≥ 5,5 m. Sur [0 ; 12], déterminer les plages horaires d'entrée possibles. c) À quel instant de [0 ; 12] la mer monte-t-elle le plus vite ? Avec quelle vitesse ?

10. La tension du secteur est modélisée par u(t) = 325 cos(100πt), t en secondes, u en volts.

a) Donner l'amplitude, la période et la fréquence. b) Résoudre u(t) = 162,5 sur [0 ; 0,020[. c) Calculer la valeur maximale de |u'(t)|.

Niveau 3 : vers le PASS

11. Vrai ou faux ? Justifier.

a) La fonction t ↦ sin t + sin(2t) est périodique de période 2π. b) L'équation cos x = x admet exactement une solution réelle. c) Pour tout x ≥ 0, sin x ≤ x. d) La limite en 0 de (1 - cos x)/x² vaut 1/2.

12. Un pendule simple de longueur L = 1,00 m oscille avec de petits angles, θ(t) = θₘ cos(ω₀t + φ), où ω₀ = √(g/L), g = 9,81 m·s⁻², θₘ = 0,10 rad et φ dans ]-π ; π].

a) Calculer ω₀ et la période T₀. b) À t = 0, θ(0) = 0,050 rad et l'angle augmente. Déterminer φ. c) Calculer le premier instant t > 0 où θ(t) = θₘ. d) Calculer la valeur maximale de la vitesse angulaire θ'(t).

13. On modélise la pression dans une artère par P(t) = 100 + 20 cos(ωt), t en secondes, P en mmHg, avec une période de 0,80 s.

a) Calculer ω, ainsi que les valeurs extrêmes de P et le nombre de cycles par minute. b) Pendant quelle durée, au cours d'un cycle, a-t-on P(t) ≥ 110 ? c) La fréquence passe à 90 cycles par minute. Donner la nouvelle pulsation. d) La proportion du cycle pendant laquelle P(t) ≥ 110 dépend-elle de la fréquence ? Justifier.

1. cos(2π/3) = cos(π - π/3) = -cos(π/3), cos(2π/3) = -1/2.

sin(7π/6) = sin(π + π/6) = -sin(π/6), sin(7π/6) = -1/2. cos est paire : cos(-π/4) = cos(π/4), cos(-π/4) = √2/2. 11π/3 = 4π - π/3, donc sin(11π/3) = sin(-π/3) = -sin(π/3), sin(11π/3) = -√3/2. cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6), cos(5π/6) = -√3/2.

2. f'(x) = 3 cos x + 2 sin x.

g'(x) = -3 sin(3x - π/4), par la règle (cos u)' = -u' sin u avec u' = 3 : g'(x) = -3 sin(3x - π/4). h = uv avec u = x et v = sin x : h'(x) = sin x + x cos x. k = (sin x)² : k' = 2 × sin'(x) × sin x, k'(x) = 2 sin x cos x. m = u/v avec u = cos x et v = 2 + sin x > 0 (car sin x ≥ -1) : m' = (u'v - uv')/v² = [-sin x(2 + sin x) - cos x × cos x]/(2 + sin x)² = (-2 sin x - sin²x - cos²x)/(2 + sin x)². Comme sin²x + cos²x = 1 : m'(x) = -(2 sin x + 1)/(2 + sin x)².

3. a) f est définie sur ℝ, et f(-x) = cos(-2x) = cos(2x) = f(x) par parité de cos : f est paire. De plus f(x + π) = cos(2x + 2π) = cos(2x) = f(x) : f est π-périodique.

b) g(-x) = (-x)² cos(-x) = x² cos x = g(x) : g est paire. c) sin(3(x + 2π/3)) = sin(3x + 2π) = sin(3x) : la période est 2π/3.

4. a) √2/2 = cos(π/4) : x = π/4 + 2kπ ou x = -π/4 + 2kπ, k entier relatif.

b) Seul le point M(-π/2) a pour ordonnée -1 : x = -π/2 + 2kπ. c) x = π/5 + 2kπ ou x = π - π/5 + 2kπ = 4π/5 + 2kπ. d) cos(2x) = cos(π/2) équivaut à 2x = π/2 + 2kπ ou 2x = -π/2 + 2kπ. Ces deux familles se regroupent en 2x = π/2 + kπ, donc x = π/4 + kπ/2.

5. a) sin(3x)/x = 3 × sin(3x)/(3x). Avec X = 3x qui tend vers 0, sin X / X tend vers 1 : limite 3.

b) sin x / (2x) = (1/2) × sin x / x : limite 1/2. c) Pour x > 0, -1/x ≤ sin x / x ≤ 1/x, et les deux bornes tendent vers 0 : par le théorème des gendarmes, limite 0. d) x + cos x ≥ x - 1, qui tend vers +∞ : par comparaison, limite +∞.

6. a) f(-x) = sin(-x)(1 + cos(-x)) = -sin x (1 + cos x) = -f(x) : f est impaire. f(x + 2π) = f(x) car sin et cos sont 2π-périodiques : f est 2π-périodique.

b) f(x) = sin x + sin x cos x. f'(x) = cos x + (cos x × cos x + sin x × (-sin x)) = cos x + cos²x - sin²x. Avec sin²x = 1 - cos²x : f'(x) = 2cos²x + cos x - 1. Or (2 cos x - 1)(cos x + 1) = 2cos²x + 2 cos x - cos x - 1 = 2cos²x + cos x - 1. D'où f'(x) = (2 cos x - 1)(cos x + 1). c) Sur [0 ; π], cos x + 1 ≥ 0 (nul seulement en π). 2 cos x - 1 > 0 équivaut à cos x > 1/2, soit x dans [0 ; π/3[ ; il est négatif sur ]π/3 ; π]. Donc f est croissante sur [0 ; π/3] et décroissante sur [π/3 ; π]. f(0) = 0, f(π) = 0 × 0 = 0 et f(π/3) = (√3/2)(1 + 1/2) = 3√3/4. Maximum : 3√3/4 ≈ 1,30, atteint en π/3. d) f étant impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine : f est décroissante sur [-π ; -π/3], de 0 à -3√3/4, puis croissante sur [-π/3 ; π/3], de -3√3/4 à 3√3/4, puis décroissante sur [π/3 ; π], de 3√3/4 à 0. Minimum -3√3/4 en -π/3, maximum 3√3/4 en π/3.

7. a) sin x = -√3/2 = sin(-π/3) : x = -π/3 + 2kπ ou x = π + π/3 + 2kπ = 4π/3 + 2kπ. Dans ]-π ; π] : -π/3 et 4π/3 - 2π = -2π/3. S = {-2π/3 ; -π/3}.

b) cos(x - π/4) = cos(π/3) : x - π/4 = π/3 + 2kπ ou x - π/4 = -π/3 + 2kπ, soit x = 7π/12 + 2kπ ou x = -π/12 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[ : 7π/12 et -π/12 + 2π = 23π/12. S = {7π/12 ; 23π/12}. c) X = cos x : 2X² + 3X + 1 = 0, discriminant 9 - 8 = 1, racines (-3 + 1)/4 = -1/2 et (-3 - 1)/4 = -1. cos x = -1/2 donne 2π/3 et 4π/3 ; cos x = -1 donne π. S = {2π/3 ; π ; 4π/3}. d) sin x = 1/2 pour x = π/6 et x = 5π/6 dans [0 ; 2π[. On a sin x > 1/2 sur l'arc supérieur ]π/6 ; 5π/6[. Donc sin x ≤ 1/2 sur le reste : S = [0 ; π/6] ∪ [5π/6 ; 2π[.

8. a) Amplitude Xₘ = 0,050 m = 5,0 cm ; pulsation ω = 10 rad·s⁻¹ ; période T = 2π/10 ≈ 0,63 s ; fréquence f = 1/T = 10/(2π) ≈ 1,6 Hz.

b) v(t) = -0,050 × 10 sin(10t + π/6) = -0,50 sin(10t + π/6). Le sinus valant au plus 1 en valeur absolue, la vitesse maximale vaut 0,50 m·s⁻¹. c) x''(t) = v'(t) = -0,50 × 10 cos(10t + π/6) = -5,0 cos(10t + π/6) = -100 × 0,050 cos(10t + π/6) = -100 x(t). Donc x'' + 100x = 0. d) x(t) = 0 équivaut à cos(10t + π/6) = 0, soit 10t + π/6 = π/2 + kπ. Le plus petit t > 0 est obtenu pour k = 0 : 10t = π/3, t = π/30 ≈ 0,105 s.

9. a) Le cosinus varie entre -1 et 1 : hₘₐₓ = 4 + 3 = 7 m, hₘᵢₙ = 4 - 3 = 1 m. Période T = 2π/(π/6) = 12 h.

b) h(t) ≥ 5,5 équivaut à cos(πt/6) ≥ 1/2. Pour t dans [0 ; 12], X = πt/6 parcourt [0 ; 2π], et cos X ≥ 1/2 pour X dans [0 ; π/3] ∪ [5π/3 ; 2π], soit t dans [0 ; 2] ∪ [10 ; 12]. Entrée possible entre 0 h et 2 h, puis entre 10 h et 12 h (4 h par cycle, centrées sur la pleine mer). c) h'(t) = -3 × (π/6) sin(πt/6) = -(π/2) sin(πt/6). La montée est la plus rapide quand h'(t) est maximal, c'est-à-dire quand sin(πt/6) = -1, soit πt/6 = 3π/2, t = 9 h, à mi-chemin entre la basse mer (6 h) et la pleine mer suivante (12 h). Vitesse : π/2 ≈ 1,6 m·h⁻¹.

10. a) Amplitude 325 V ; ω = 100π, donc T = 2π/(100π) = 0,020 s = 20 ms et f = 50 Hz.

b) 325 cos(100πt) = 162,5 équivaut à cos(100πt) = 1/2. Pour t dans [0 ; 0,020[, X = 100πt parcourt [0 ; 2π[, et cos X = 1/2 pour X = π/3 ou X = 5π/3. Donc t = 1/300 s ou t = 5/300 = 1/60 s. S = {1/300 ; 1/60}, soit environ 3,3 ms et 16,7 ms. c) u'(t) = -325 × 100π sin(100πt). Son maximum en valeur absolue vaut 32 500π ≈ 1,02 × 10⁵ V·s⁻¹, atteint quand la tension passe par 0.

11. a) Vrai. sin(t + 2π) = sin t et sin(2(t + 2π)) = sin(2t + 4π) = sin(2t), donc la somme est inchangée par t ↦ t + 2π.

b) Vrai. Comme -1 ≤ cos x ≤ 1, une solution vérifie -1 ≤ x ≤ 1. Sur [-1 ; 0], cos x > 0 ≥ x (car cos x ≥ cos 1 > 0 sur [-1 ; 1]), donc pas de solution. Sur [0 ; 1], g(x) = cos x - x a pour dérivée -sin x - 1 ≤ -1 < 0 (car sin x ≥ 0 sur [0 ; 1]), g est strictement décroissante et continue, avec g(0) = 1 > 0 et g(1) = cos 1 - 1 < 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), g s'annule exactement une fois (vers x ≈ 0,739). c) Vrai. h(x) = x - sin x a pour dérivée 1 - cos x ≥ 0, donc h est croissante sur [0 ; +∞[ et h(x) ≥ h(0) = 0. d) Vrai. Pour x non nul proche de 0, 1 + cos x ≠ 0 et (1 - cos x)/x² = (1 - cos x)(1 + cos x)/(x²(1 + cos x)) = sin²x / (x²(1 + cos x)) = (sin x / x)² × 1/(1 + cos x). Le premier facteur tend vers 1² = 1, le second vers 1/2 : la limite vaut 1/2.

12. a) ω₀ = √(9,81/1,00) ≈ 3,13 rad·s⁻¹ ; T₀ = 2π/ω₀ ≈ 2,01 s.

b) θ(0) = 0,10 cos φ = 0,050, donc cos φ = 1/2 et φ = ±π/3. θ'(0) = -θₘ ω₀ sin φ > 0 impose sin φ < 0 : φ = -π/3. c) θ(t) = θₘ équivaut à cos(ω₀t - π/3) = 1, soit ω₀t - π/3 = 2kπ. Le premier instant positif correspond à k = 0 : t = π/(3ω₀) = T₀/6 ≈ 0,33 s. d) θ'(t) = -θₘ ω₀ sin(ω₀t - π/3), de valeur maximale θₘ ω₀ = 0,10 × 3,13 ≈ 0,31 rad·s⁻¹, atteinte au passage par la verticale.

13. a) ω = 2π/0,80 = 2,5π rad·s⁻¹ ≈ 7,85 rad·s⁻¹. P varie entre 80 et 120 mmHg. Nombre de cycles par minute : 60/0,80 = 75.

b) P(t) ≥ 110 équivaut à cos(ωt) ≥ 1/2. Sur un cycle, avec X = ωt dans [-π ; π], la condition s'écrit X dans [-π/3 ; π/3], intervalle de longueur 2π/3. La durée correspondante vaut (2π/3)/ω = (2π/3)/(2,5π) = 4/15 s, soit environ 0,27 s par cycle. c) T = 60/90 = 2/3 s, donc ω = 2π/(2/3) = 3π rad·s⁻¹ ≈ 9,4 rad·s⁻¹. d) La durée vaut (2π/3)/ω et la période 2π/ω : leur rapport vaut 1/3 quelle que soit ω. Non : P(t) ≥ 110 pendant un tiers de chaque cycle, quelle que soit la fréquence (dans ce modèle, où seule ω change).

Ce chapitre prépare la partie Vecteurs, projections et trigonométrie du cours Outils mathématiques : fonctions, intégrales et vecteurs (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

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