Suites numériques : généralités, arithmétiques et géométriques

• Calculer des termes d'une suite définie de façon explicite ou par une relation de récurrence.
• Représenter graphiquement une suite par un nuage de points et interpréter ce graphique.
• Étudier le sens de variation d'une suite par le signe de u(n+1) - u(n), par le quotient u(n+1)/u(n) ou par les variations d'une fonction.
• Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, déterminer sa raison et son premier terme.
• Exprimer le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique en fonction de n.
• Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique.
• Modéliser une évolution à accroissements constants (arithmétique) ou à taux constant (géométrique).
• Conjecturer le comportement d'une suite quand n devient grand (limite finie, infinie, absence de limite).
• Écrire et comprendre un algorithme qui calcule un terme, une somme ou un seuil.

1. Définition et modes de génération

Une suite numérique u est une fonction qui, à tout entier naturel n (éventuellement à partir d'un certain rang), associe un nombre réel noté u(n) ou uₙ, appelé terme de rang n ou terme d'indice n. La suite elle-même se note u ou (uₙ). Il ne faut pas confondre la suite (uₙ), qui est un objet entier, et le nombre uₙ, qui est un de ses termes.

Le terme qui suit uₙ est u(n+1) ; celui qui le précède est u(n-1). Attention : u(n+1) n'est pas uₙ + 1. Le premier est le terme suivant, le second est le terme uₙ augmenté de 1.

Il existe deux grands modes de génération au programme.

Mode explicite. On donne uₙ directement en fonction de n : uₙ = f(n) où f est une fonction définie sur [0 ; +∞[. Par exemple uₙ = 3n² - 1. On calcule n'importe quel terme directement : u₁₀ = 3 × 100 - 1 = 299.

Mode par récurrence. On donne le premier terme et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent : u₀ = 2 et u(n+1) = f(uₙ). Par exemple u₀ = 2 et u(n+1) = 3uₙ - 1. On obtient u₁ = 3 × 2 - 1 = 5, u₂ = 3 × 5 - 1 = 14, u₃ = 41. Pour calculer u₁₀₀, il faut en principe calculer tous les termes précédents : c'est là qu'un algorithme devient utile.

Une même suite peut parfois être décrite des deux façons. La suite des nombres pairs vérifie uₙ = 2n (explicite) et aussi u₀ = 0, u(n+1) = uₙ + 2 (récurrence).

Représentation graphique. Dans un repère, une suite se représente par le nuage des points de coordonnées (n ; uₙ). Ce ne sont que des points isolés : on ne les relie pas, puisque la suite n'est pas définie entre deux entiers. Pour une suite u(n+1) = f(uₙ), on peut aussi construire les termes sur l'axe des abscisses en utilisant la courbe de f et la droite d'équation y = x (construction « en escalier » ou « en escargot »), qui permet de conjecturer le comportement de la suite.

2. Sens de variation

Définitions. Une suite (uₙ) est :

• croissante si, pour tout n, u(n+1) ≥ uₙ ;
• strictement croissante si, pour tout n, u(n+1) > uₙ ;
• décroissante si, pour tout n, u(n+1) ≤ uₙ ;
• strictement décroissante si, pour tout n, u(n+1) < uₙ ;
• constante (ou stationnaire) si, pour tout n, u(n+1) = uₙ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante.

Ces propriétés peuvent n'être vraies qu'à partir d'un certain rang : on dit alors « croissante à partir du rang p ». Une suite peut aussi n'être ni croissante ni décroissante, comme uₙ = (-1)ⁿ qui vaut alternativement 1 et -1.

Méthode 1 : signe de la différence. On calcule u(n+1) - uₙ et on étudie son signe. Si elle est positive pour tout n, la suite est croissante ; négative, décroissante. C'est la méthode la plus générale.

Exemple : uₙ = n² - 6n + 1. On a u(n+1) - uₙ = (n + 1)² - 6(n + 1) + 1 - (n² - 6n + 1) = 2n + 1 - 6 = 2n - 5. Cette différence est négative pour n ≤ 2 et positive pour n ≥ 3 : la suite décroît de u₀ à u₃ puis croît à partir du rang 3.

Méthode 2 : quotient. Si tous les termes sont strictement positifs, on compare u(n+1)/uₙ à 1. Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est croissante ; s'il est inférieur ou égal à 1, elle est décroissante. Cette méthode est adaptée aux produits et aux puissances. La condition de positivité est indispensable : pour des termes négatifs, multiplier par uₙ renverserait l'inégalité.

Méthode 3 : fonction associée (suites explicites). Si uₙ = f(n) et si f est monotone sur [0 ; +∞[, alors (uₙ) a le même sens de variation que f. Par exemple uₙ = √(n + 2) est croissante car x ↦ √(x + 2) est croissante. Attention : la réciproque est fausse, et cette méthode ne s'applique pas aux suites définies par récurrence (u(n+1) = f(uₙ) avec f croissante ne donne pas une suite croissante en général).

3. Suites arithmétiques

Définition. Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout n, u(n+1) = uₙ + r. Le réel r est la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule u(n+1) - uₙ et on montre que le résultat est une constante (indépendante de n). Pour démontrer qu'elle ne l'est pas, il suffit de trouver deux écarts consécutifs différents, par exemple u₁ - u₀ ≠ u₂ - u₁.

Terme général. Si (uₙ) est arithmétique de raison r, alors pour tout n :

uₙ = u₀ + nr, et plus généralement uₙ = u(p) + (n - p)r pour tous entiers n et p.

Justification : pour passer de u₀ à uₙ, on ajoute n fois la raison r.

Variations. Puisque u(n+1) - uₙ = r : si r > 0, la suite est strictement croissante ; si r < 0, strictement décroissante ; si r = 0, constante.

Représentation graphique. Les points (n ; u₀ + nr) sont alignés sur la droite d'équation y = rx + u₀. Une suite arithmétique modélise une croissance linéaire : l'augmentation absolue est la même à chaque étape.

Somme des premiers entiers. Pour tout entier n ≥ 1 :

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.

Démonstration : on écrit la somme S deux fois, dans un sens puis dans l'autre, et on additionne terme à terme : S = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n S = n + (n - 1) + ... + 2 + 1 2S = (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) = n(n + 1), car il y a n termes égaux à n + 1.

Par exemple 1 + 2 + ... + 100 = 100 × 101/2 = 5 050.

Somme de termes consécutifs. Pour une suite arithmétique, la même idée donne :

somme = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme)/2.

Ainsi u₀ + u₁ + ... + uₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ)/2. Attention : de u₀ à uₙ, il y a n + 1 termes ; de u(p) à uₙ, il y en a n - p + 1.

4. Suites géométriques

Définition. Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout n, u(n+1) = q × uₙ. Le réel q est la raison. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Pour démontrer qu'une suite à termes non nuls est géométrique, on montre que u(n+1)/uₙ est constant, ou on écrit directement u(n+1) sous la forme q × uₙ. Pour démontrer qu'elle ne l'est pas, on trouve deux quotients consécutifs différents.

Terme général. Si (uₙ) est géométrique de raison q, alors pour tout n :

uₙ = u₀ × qⁿ, et plus généralement uₙ = u(p) × q^{n - p}.

Variations (cas u₀ > 0 et q > 0) :

• si q > 1, la suite est strictement croissante ;
• si 0 < q < 1, elle est strictement décroissante ;
• si q = 1, elle est constante.

Justification : u(n+1) - uₙ = u₀qⁿ(q - 1), du signe de q - 1 lorsque u₀ > 0 et q > 0. Si u₀ < 0, les sens sont inversés. Si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.

Évolutions en pourcentage. Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par 1 + t/100 ; la diminuer de t % revient à la multiplier par 1 - t/100. Une quantité qui évolue chaque année du même pourcentage est donc modélisée par une suite géométrique : c'est la croissance exponentielle (ou décroissance exponentielle). Par exemple, une hausse de 3 % par an correspond à q = 1,03 ; une baisse de 20 % à q = 0,8. Attention : deux hausses successives de 10 % font une hausse de 21 % (1,1 × 1,1 = 1,21), pas de 20 %.

Somme des puissances. Pour tout réel q ≠ 1 et tout entier n :

1 + q + q² + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q).

Démonstration : notons S cette somme. Alors qS = q + q² + ... + qⁿ⁺¹. En soustrayant, presque tous les termes disparaissent : S - qS = 1 - qⁿ⁺¹, soit S(1 - q) = 1 - qⁿ⁺¹, et on divise par 1 - q ≠ 0. Si q = 1, la somme vaut simplement n + 1.

Somme de termes consécutifs. Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1 :

somme = (premier terme) × (1 - q^{nombre de termes})/(1 - q).

Ainsi u₀ + u₁ + ... + uₙ = u₀(1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q).

5. Approche intuitive de la limite

On s'intéresse au comportement des termes quand n devient très grand. En Première, cette étude est intuitive : on conjecture à l'aide d'un tableau de valeurs, d'un graphique ou d'un algorithme.

• On dit que (uₙ) tend vers +∞ si ses termes finissent par dépasser n'importe quel nombre fixé, aussi grand soit-il, et restent au-dessus. Exemple : uₙ = n², ou toute suite arithmétique de raison r > 0.
• On dit que (uₙ) tend vers -∞ si ses termes finissent par devenir inférieurs à n'importe quel nombre fixé.
• On dit que (uₙ) converge vers un réel ℓ si ses termes finissent par être aussi proches de ℓ qu'on le souhaite. Exemple : uₙ = 1/n tend vers 0 ; uₙ = 2 + 1/(n + 1) tend vers 2.
• Une suite peut n'avoir aucune limite : uₙ = (-1)ⁿ oscille entre -1 et 1 sans se stabiliser.

Cas des suites géométriques qⁿ (conjectures admises en Première) :

• si q > 1, qⁿ tend vers +∞ ;
• si q = 1, qⁿ vaut toujours 1 ;
• si -1 < q < 1, qⁿ tend vers 0 ;
• si q ≤ -1, qⁿ n'a pas de limite.

Conséquence : si 0 < q < 1, la somme 1 + q + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) se rapproche de 1/(1 - q). Par exemple 1 + 1/2 + 1/4 + ... se rapproche de 2.

Une suite arithmétique de raison r ≠ 0 tend vers +∞ si r > 0 et vers -∞ si r < 0. Croissance exponentielle et croissance linéaire tendent toutes deux vers +∞, mais la première finit toujours par dépasser la seconde, même si elle part plus bas.

6. Algorithmes : terme, somme et seuil

Les algorithmes sont écrits en langage Python.

Calcul d'un terme d'une suite récurrente. Pour u₀ = 2 et u(n+1) = 3uₙ - 1 :

def terme(n):
    u = 2
    for k in range(n):
        u = 3 * u - 1
    return u

La boucle s'exécute n fois : après le passage k, la variable u contient u(k+1). Ainsi terme(3) renvoie 41.

Calcul d'une somme. Pour obtenir u₀ + u₁ + ... + uₙ :

def somme(n):
    u = 2
    s = u
    for k in range(n):
        u = 3 * u - 1
        s = s + u
    return s

Recherche d'un seuil. On cherche le plus petit rang n tel que uₙ dépasse une valeur A. On ne connaît pas à l'avance le nombre d'étapes : on utilise une boucle « tant que ».

def seuil(A):
    n = 0
    u = 2
    while u <= A:
        n = n + 1
        u = 3 * u - 1
    return n

La condition de la boucle est la négation de ce qu'on cherche : on continue tant que le seuil n'est pas atteint. Il faut aussi être sûr que le seuil sera atteint, sinon la boucle ne s'arrête jamais (par exemple chercher uₙ > 3 pour une suite qui tend vers 2).

Exemple 1 : une suite arithmétique

Énoncé. Soit u₀ = 2 et, pour tout n, u(n+1) = uₙ + 3. a) Quelle est la nature de la suite ? Exprimer uₙ en fonction de n. b) Calculer u₂₀. c) Calculer S = u₀ + u₁ + ... + u₂₀.

Résolution. a) Pour tout n, u(n+1) - uₙ = 3, constante : (uₙ) est arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u₀ = 2. Donc uₙ = u₀ + nr = 2 + 3n. b) u₂₀ = 2 + 3 × 20 = 62. c) De u₀ à u₂₀, il y a 21 termes. S = 21 × (u₀ + u₂₀)/2 = 21 × (2 + 62)/2 = 21 × 32 = 672.

Exemple 2 : une croissance bactérienne

Énoncé. Une culture contient 500 bactéries. Leur nombre augmente de 20 % par heure. On note vₙ le nombre de bactéries au bout de n heures. a) Justifier que (vₙ) est géométrique et exprimer vₙ en fonction de n. b) Calculer v₅ (arrondi à l'unité). c) Déterminer au bout de combien d'heures entières la population dépasse 5 000 bactéries.

Résolution. a) Augmenter de 20 % revient à multiplier par 1 + 20/100 = 1,2. Donc v(n+1) = 1,2 vₙ : la suite est géométrique de raison q = 1,2 et de premier terme v₀ = 500. Ainsi vₙ = 500 × 1,2ⁿ. b) v₅ = 500 × 1,2⁵ = 500 × 2,48832 = 1 244,16, soit environ 1 244 bactéries. c) Comme v₀ > 0 et q > 1, la suite est strictement croissante. On cherche le plus petit n tel que 500 × 1,2ⁿ > 5 000, c'est-à-dire 1,2ⁿ > 10. À la calculatrice : 1,2¹² ≈ 8,916 et 1,2¹³ ≈ 10,699. Donc v₁₂ ≈ 4 458 < 5 000 et v₁₃ ≈ 5 350 > 5 000. La population dépasse 5 000 bactéries au bout de 13 heures. On obtient la même réponse avec l'algorithme de seuil, en initialisant u = 500, en remplaçant la mise à jour par u = 1.2 * u et en appelant seuil(5000).

Exemple 3 : deux études de sens de variation

Énoncé. Étudier le sens de variation des suites définies pour tout n par : a) uₙ = n² - 6n + 1 ; b) wₙ = 2ⁿ/(n + 1).

Résolution. a) u(n+1) - uₙ = (n + 1)² - 6(n + 1) + 1 - n² + 6n - 1 = n² + 2n + 1 - 6n - 6 + 1 - n² + 6n - 1 = 2n - 5. Pour n ∈ {0 ; 1 ; 2}, 2n - 5 < 0 ; pour n ≥ 3, 2n - 5 > 0. Valeurs : u₀ = 1, u₁ = -4, u₂ = -7, u₃ = -8, u₄ = -7. La suite décroît de u₀ à u₃, puis est strictement croissante à partir du rang 3. b) Pour tout n, wₙ > 0 : on peut utiliser le quotient. w(n+1)/wₙ = [2ⁿ⁺¹/(n + 2)] × [(n + 1)/2ⁿ] = 2(n + 1)/(n + 2). Or 2(n + 1)/(n + 2) ≥ 1 ⟺ 2n + 2 ≥ n + 2 (car n + 2 > 0) ⟺ n ≥ 0, ce qui est toujours vrai. La suite (wₙ) est croissante (strictement à partir du rang 1, puisque le quotient vaut 1 pour n = 0 : w₀ = w₁ = 1).

• Pour montrer qu'une suite est arithmétique, calcule u(n+1) - uₙ et obtiens une constante ; pour une suite géométrique, écris u(n+1) = q × uₙ. Des exemples numériques ne suffisent jamais à le prouver, mais un seul contre-exemple suffit à le réfuter.
• Compte bien les termes d'une somme : de u₀ à uₙ, il y a n + 1 termes ; de u₁ à uₙ, il y en a n.
• Ne confonds pas u(n+1) (terme suivant) avec uₙ + 1 (terme augmenté de 1).
• Une évolution de t % se traduit par une multiplication par 1 + t/100, pas par une addition : c'est une suite géométrique, pas arithmétique.
• La méthode du quotient exige des termes strictement positifs ; sinon, utilise la différence.
• Pour une suite explicite uₙ = f(n), les variations de f sur [0 ; +∞[ donnent celles de la suite, mais ce raccourci ne vaut pas pour une suite récurrente.
• Dans un algorithme de seuil, la condition du « tant que » est le contraire de l'objectif : pour chercher uₙ > A, on boucle tant que u ≤ A.
• Pour un seuil, vérifie toujours les deux rangs encadrants (celui qui ne suffit pas et celui qui suffit) et réponds par un entier, avec une phrase dans l'unité du problème.
• Une limite se conjecture en Première : écris « il semble que la suite tende vers... », en t'appuyant sur des valeurs ou un graphique.

Les suites géométriques sont la version discrète de la croissance et de la décroissance exponentielles, omniprésentes en santé : dilutions successives au laboratoire (chaque dilution au dixième multiplie la concentration par 0,1), décroissance radioactive en médecine nucléaire comptée en demi-vies (la quantité est multipliée par 1/2 à chaque période), élimination d'un médicament dont une fraction fixe disparaît à chaque intervalle, croissance d'une population cellulaire. Les doses répétées d'un traitement mènent à des suites de la forme u(n+1) = q uₙ + d, dont l'étude passe par une suite géométrique auxiliaire, et la somme géométrique explique pourquoi la quantité se stabilise vers un plateau.

En PASS, ces modèles sont réécrits avec l'exponentielle et le logarithme, qui permettent de résoudre directement qⁿ > A sans tâtonner, et de passer sans difficulté d'une échelle multiplicative à une échelle additive (pH, décibels, échelles logarithmiques des graphiques).

Niveau 1 : s'entraîner

1. Soit uₙ = 3n - 7 pour tout entier naturel n. Calculer u₀, u₁ et u₁₀, puis montrer que la suite est arithmétique et préciser sa raison.

2. Soit (vₙ) la suite géométrique de premier terme v₀ = 5 et de raison 2. Exprimer vₙ en fonction de n, calculer v₆, puis la somme v₀ + v₁ + ... + v₆.

3. Soit u₀ = 1 et u(n+1) = 2uₙ - 3. Calculer u₁, u₂ et u₃. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?

4. Calculer la somme des entiers de 1 à 100, puis la somme des nombres impairs 1 + 3 + 5 + ... + 99.

5. Le prix d'un appareil est de 200 euros. Il baisse de 5 % chaque année. On note pₙ son prix au bout de n années. Exprimer pₙ en fonction de n et calculer p₃ au centime près.

Niveau 2 : type bac

6. Soit uₙ = n² + n pour tout entier naturel n.

a) Étudier le sens de variation de (uₙ). b) Conjecturer la limite de (uₙ). c) La suite (uₙ) est-elle arithmétique ? Justifier.

7. (uₙ) est une suite arithmétique telle que u₅ = 17 et u₁₂ = 38.

a) Déterminer la raison r et le premier terme u₀. b) Calculer la somme u₀ + u₁ + ... + u₁₂. c) Existe-t-il un rang n tel que uₙ = 101 ? Si oui, lequel ?

8. (vₙ) est une suite géométrique à termes positifs telle que v₂ = 12 et v₅ = 96.

a) Déterminer la raison q et v₀. b) Exprimer vₙ en fonction de n. c) Calculer v₀ + v₁ + ... + v₉.

9. On injecte à un patient une dose de 10 mg d'un médicament. Chaque heure, l'organisme élimine 30 % de la quantité présente. On note dₙ la quantité, en mg, présente au bout de n heures.

a) Exprimer dₙ en fonction de n et calculer d₃. b) Au bout de combien d'heures entières la quantité devient-elle inférieure à 1 mg ? c) Écrire un algorithme en Python qui renvoie ce rang. d) Conjecturer la limite de (dₙ) et l'interpréter.

10. Un salarié a le choix entre deux contrats, avec un salaire mensuel initial de 1 000 euros la première année. Contrat A : augmentation de 50 euros par an. Contrat B : augmentation de 4 % par an. On note aₙ et bₙ les salaires mensuels de l'année n (n = 0 pour la première année).

a) Exprimer aₙ et bₙ en fonction de n. b) Calculer a₁₀ et b₁₀ (b₁₀ au centime près). c) À partir de quelle année le contrat B devient-il plus avantageux ?

Niveau 3 : vers le PASS

11. Un patient reçoit chaque jour une même dose de médicament. On modélise la quantité présente dans le sang juste après chaque prise par u₀ = 10 et u(n+1) = 0,8uₙ + 4 (en mg).

a) Calculer u₁ et u₂. b) On pose vₙ = uₙ - 20. Montrer que (vₙ) est géométrique. c) En déduire uₙ en fonction de n, puis u₅ au millième près. d) Étudier le sens de variation de (uₙ) et conjecturer sa limite. Interpréter.

12. Calculer la somme S = 2 + 6 + 18 + 54 + ... + 1 458, en justifiant le nombre de termes.

13. Pour tout n, on pose Sₙ = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ.

a) Exprimer Sₙ en fonction de n. b) Conjecturer la limite de (Sₙ). c) Déterminer le plus petit entier n tel que Sₙ ≥ 1,999.

14. Un échantillon radioactif a une activité initiale de 8 000 Bq. Son activité est divisée par 2 toutes les 6 heures. On note Aₙ l'activité au bout de n périodes de 6 heures.

a) Exprimer Aₙ en fonction de n et calculer l'activité au bout de 24 heures. b) Quelle proportion des noyaux initiaux s'est désintégrée au bout de 18 heures ? c) Au bout de combien d'heures l'activité devient-elle inférieure à 100 Bq (en nombre entier de périodes) ?

1. u₀ = 3 × 0 - 7 = -7 ; u₁ = 3 - 7 = -4 ; u₁₀ = 30 - 7 = 23. Pour tout n, u(n+1) - uₙ = 3(n + 1) - 7 - (3n - 7) = 3, constante. (uₙ) est arithmétique de raison 3 et de premier terme -7 ; u₁₀ = 23.

2. vₙ = v₀ × qⁿ = 5 × 2ⁿ. v₆ = 5 × 64 = 320. De v₀ à v₆, il y a 7 termes : somme = 5 × (1 - 2⁷)/(1 - 2) = 5 × (1 - 128)/(-1) = 5 × 127 = 635. Contrôle : 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = 635.

3. u₁ = 2 × 1 - 3 = -1 ; u₂ = 2 × (-1) - 3 = -5 ; u₃ = 2 × (-5) - 3 = -13. Les écarts u₁ - u₀ = -2 et u₂ - u₁ = -4 sont différents : la suite n'est pas arithmétique. Les quotients u₁/u₀ = -1 et u₂/u₁ = 5 sont différents : elle n'est pas géométrique.

4. 1 + 2 + ... + 100 = 100 × 101/2 = 5 050. Les impairs de 1 à 99 forment une suite arithmétique de raison 2 ; le k-ième impair est 2k - 1, et 2k - 1 = 99 donne k = 50 : il y a 50 termes. Somme = 50 × (1 + 99)/2 = 2 500.

5. Une baisse de 5 % revient à multiplier par 0,95 : pₙ = 200 × 0,95ⁿ (suite géométrique de raison 0,95). p₃ = 200 × 0,95³ = 200 × 0,857375 = 171,475, soit p₃ ≈ 171,48 euros (arrondi au centime).

6. a) u(n+1) - uₙ = (n + 1)² + (n + 1) - n² - n = n² + 2n + 1 + n + 1 - n² - n = 2n + 2 > 0. La suite est strictement croissante.

b) Les termes u₀ = 0, u₁ = 2, u₂ = 6, u₁₀ = 110, u₁₀₀ = 10 100 grandissent sans borne : il semble que (uₙ) tende vers +∞. c) L'écart u(n+1) - uₙ = 2n + 2 dépend de n (2 puis 4 puis 6) : la suite n'est pas arithmétique.

7. a) u₁₂ = u₅ + 7r, donc 38 = 17 + 7r et r = 3. Puis u₀ = u₅ - 5r = 17 - 15 = 2. Ainsi uₙ = 2 + 3n.

b) 13 termes de u₀ = 2 à u₁₂ = 38 : somme = 13 × (2 + 38)/2 = 13 × 20 = 260. c) 2 + 3n = 101 ⟺ 3n = 99 ⟺ n = 33, entier. Oui : u₃₃ = 101.

8. a) v₅ = v₂ × q³, donc q³ = 96/12 = 8. La suite étant à termes positifs, q > 0 et q = 2. Puis v₂ = v₀ × q², donc v₀ = 12/4 = 3.

b) vₙ = 3 × 2ⁿ. c) 10 termes de v₀ à v₉ : somme = 3 × (1 - 2¹⁰)/(1 - 2) = 3 × 1 023 = 3 069.

9. a) Éliminer 30 % revient à multiplier par 0,7 : dₙ = 10 × 0,7ⁿ. d₃ = 10 × 0,343 = 3,43 mg.

b) On cherche le plus petit n tel que 10 × 0,7ⁿ < 1, soit 0,7ⁿ < 0,1. Or 0,7⁶ = 0,117649 et 0,7⁷ ≈ 0,0824. Donc d₆ ≈ 1,18 mg et d₇ ≈ 0,82 mg. La quantité passe sous 1 mg au bout de 7 heures. c) Un algorithme possible :

def seuil():
    n = 0
    d = 10
    while d >= 1:
        n = n + 1
        d = 0.7 * d
    return n

Il renvoie 7. d) La raison 0,7 est comprise entre 0 et 1, donc 0,7ⁿ tend vers 0. (dₙ) semble tendre vers 0 : le médicament finit par être presque totalement éliminé.

10. a) aₙ = 1 000 + 50n (arithmétique de raison 50) et bₙ = 1 000 × 1,04ⁿ (géométrique de raison 1,04).

b) a₁₀ = 1 000 + 500 = 1 500 euros. b₁₀ = 1 000 × 1,04¹⁰ ≈ 1 000 × 1,480244 ≈ 1 480,24 euros. c) On compare : a₁₁ = 1 550 et b₁₁ ≈ 1 539,45 ; a₁₂ = 1 600 et b₁₂ ≈ 1 601,03. Donc b₁₁ < a₁₁ mais b₁₂ > a₁₂. Le contrat B devient plus avantageux à partir de n = 12, c'est-à-dire la treizième année. On retrouve le fait qu'une croissance exponentielle finit par dépasser une croissance linéaire.

11. a) u₁ = 0,8 × 10 + 4 = 12 ; u₂ = 0,8 × 12 + 4 = 13,6.

b) v(n+1) = u(n+1) - 20 = 0,8uₙ + 4 - 20 = 0,8uₙ - 16 = 0,8(uₙ - 20) = 0,8vₙ. (vₙ) est géométrique de raison 0,8, de premier terme v₀ = 10 - 20 = -10. c) vₙ = -10 × 0,8ⁿ, donc uₙ = vₙ + 20 = 20 - 10 × 0,8ⁿ. Contrôle : u₁ = 20 - 8 = 12. u₅ = 20 - 10 × 0,32768 = 20 - 3,2768 = 16,723 (au millième). d) u(n+1) - uₙ = -10 × 0,8ⁿ⁺¹ + 10 × 0,8ⁿ = 10 × 0,8ⁿ × (1 - 0,8) = 2 × 0,8ⁿ > 0 : (uₙ) est strictement croissante. Comme 0,8ⁿ tend vers 0, uₙ semble tendre vers 20 : la quantité après chaque prise augmente et se stabilise vers un plateau de 20 mg.

12. Les termes sont multipliés par 3 à chaque fois (6/2 = 18/6 = 54/18 = 3) : suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3, de terme 2 × 3ᵏ. 2 × 3ᵏ = 1 458 ⟺ 3ᵏ = 729 = 3⁶, donc k = 6 : les termes vont de k = 0 à k = 6, soit 7 termes. S = 2 × (1 - 3⁷)/(1 - 3) = 2 × (1 - 2 187)/(-2) = 2 186. S = 2 186.

13. a) Somme géométrique de raison 1/2, de n + 1 termes : Sₙ = (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/2) = 2(1 - (1/2)ⁿ⁺¹) = 2 - 1/2ⁿ.

b) (1/2)ⁿ tend vers 0, donc Sₙ semble tendre vers 2. c) Sₙ ≥ 1,999 ⟺ 1/2ⁿ ≤ 0,001 ⟺ 2ⁿ ≥ 1 000. Or 2⁹ = 512 et 2¹⁰ = 1 024. Le plus petit entier est n = 10.

14. a) L'activité est multipliée par 1/2 à chaque période : Aₙ = 8 000 × (1/2)ⁿ. 24 heures correspondent à 4 périodes : A₄ = 8 000/16 = 500 Bq.

b) 18 heures font 3 périodes : il reste (1/2)³ = 1/8 = 12,5 % des noyaux. 87,5 % des noyaux initiaux se sont désintégrés. c) Aₙ < 100 ⟺ 8 000/2ⁿ < 100 ⟺ 2ⁿ > 80. Or 2⁶ = 64 et 2⁷ = 128 : A₆ = 125 Bq et A₇ = 62,5 Bq. Il faut 7 périodes, soit 42 heures.

Ce chapitre prépare la partie Logarithmes, exponentielles et échelles du cours Outils mathématiques : calcul, logarithmes et incertitudes (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre