Fonction exponentielle

• Connaître la définition de la fonction exponentielle comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1.
• Démontrer que la fonction exponentielle ne s'annule pas et que exp(x) × exp(-x) = 1.
• Utiliser les propriétés algébriques (produit, inverse, quotient, puissance) pour simplifier une expression.
• Utiliser la notation eˣ et connaître une valeur approchée du nombre e.
• Connaître le signe, la dérivée et les variations de la fonction exponentielle, et l'allure de sa courbe.
• Résoudre des équations et des inéquations du type e^u = e^v ou e^u < e^v.
• Dériver les fonctions x ↦ e^{ax + b} et des produits ou quotients faisant intervenir l'exponentielle.
• Étudier les fonctions x ↦ e^kx et x ↦ e^-kx (k > 0) et les utiliser pour modéliser une croissance ou une décroissance.
• Faire le lien entre la suite (e^na) et une suite géométrique de raison e^a.

1. Définition de la fonction exponentielle

Théorème (existence admise). Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que

f' = f et f(0) = 1.

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note exp. Ainsi, pour tout réel x, exp'(x) = exp(x), et exp(0) = 1.

L'idée : on cherche une fonction dont la vitesse de variation en chaque point est égale à sa valeur. Plus elle est grande, plus elle augmente vite. C'est exactement le comportement d'une population qui se reproduit sans contrainte : plus il y a d'individus, plus il en naît.

On admet l'existence. On démontre en revanche deux propriétés fondamentales.

Propriété 1. Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. En particulier, exp ne s'annule jamais.

Démonstration. Posons g(x) = exp(x) × exp(-x). La fonction x ↦ exp(-x) est de la forme x ↦ h(ax + b) avec a = -1, donc sa dérivée est x ↦ -exp'(-x) = -exp(-x). Par la formule du produit : g'(x) = exp'(x) × exp(-x) + exp(x) × (-exp(-x)) = exp(x)exp(-x) - exp(x)exp(-x) = 0. La dérivée de g est nulle sur l'intervalle ℝ, donc g est constante, égale à g(0) = exp(0) × exp(0) = 1. Si exp(x) était nul pour un réel x, le produit vaudrait 0 et non 1 : exp ne s'annule donc jamais.

Propriété 2 (unicité). Si h est dérivable sur ℝ avec h' = h et h(0) = 1, alors h = exp.

Démonstration. Comme exp ne s'annule pas, on peut poser k = h/exp. Par la formule du quotient : k' = (h' × exp - h × exp')/exp² = (h × exp - h × exp)/exp² = 0. Donc k est constante, égale à k(0) = h(0)/exp(0) = 1, et h = exp.

2. Propriétés algébriques

Relation fonctionnelle. Pour tous réels a et b :

exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

Démonstration. Fixons b et posons φ(x) = exp(x + b) × exp(-x). Alors φ'(x) = exp(x + b)exp(-x) - exp(x + b)exp(-x) = 0 : φ est constante, égale à φ(0) = exp(b). Donc exp(x + b) × exp(-x) = exp(b). En multipliant les deux membres par exp(x), et puisque exp(-x) × exp(x) = 1, on obtient exp(x + b) = exp(x) × exp(b).

Cette relation transforme une somme en produit : c'est la propriété clé de l'exponentielle.

Conséquences. Pour tous réels a, b et tout entier relatif n :

• exp(-a) = 1/exp(a) ;
• exp(a - b) = exp(a)/exp(b) ;
• exp(na) = (exp(a))ⁿ.

Justifications : la première est la propriété 1. Pour la deuxième, exp(a - b) = exp(a) × exp(-b) = exp(a)/exp(b). Pour la troisième avec n entier naturel, on applique la relation fonctionnelle n fois : exp(a + a + ... + a) = exp(a) × ... × exp(a) ; pour n négatif, on utilise l'inverse.

Le nombre e et la notation eˣ. On note e = exp(1). Sa valeur approchée est e ≈ 2,718. D'après la dernière propriété, pour tout entier n, exp(n) = exp(1 × n) = eⁿ. On étend cette notation à tout réel x en posant :

exp(x) = eˣ.

Les règles de calcul sur les exponentielles sont alors les mêmes que celles des puissances :

Exemple : (e^2x × e^-3)/e^{x - 1} = e^{2x - 3 - (x - 1}) = e^{x - 2}.

Attention : e^{a + b} n'est pas eᵃ + eᵇ. Par exemple e^{1 + 1} = e² ≈ 7,39 alors que e¹ + e¹ ≈ 5,44.

3. Signe, variations et courbe

Signe. Pour tout réel x, eˣ > 0. Démonstration : eˣ = e^{x/2 + x/2} = (e^x/2)², qui est un carré, donc positif ou nul ; et il n'est pas nul, car exp ne s'annule jamais.

Variations. La dérivée de exp est exp elle-même, strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Conséquences pour les équations et inéquations. Pour tous réels a et b :

• eᵃ = eᵇ ⟺ a = b ;
• eᵃ < eᵇ ⟺ a < b ;
• eᵃ ≤ eᵇ ⟺ a ≤ b.

En effet, une fonction strictement croissante conserve l'ordre et prend deux valeurs différentes en deux points différents. En particulier eˣ > 1 ⟺ x > 0 et eˣ < 1 ⟺ x < 0, puisque 1 = e⁰.

Une équation comme eˣ = -2 n'a aucune solution, puisqu'une exponentielle est toujours strictement positive.

Courbe représentative.

• Elle passe par les points (0 ; 1) et (1 ; e).
• Elle est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses.
• Sa tangente au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur exp'(0) = exp(0) = 1, donc pour équation y = x + 1. La courbe est au-dessus de cette tangente : pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1 (démonstration à l'exercice 10).
• Observation graphique : quand x devient grand, eˣ devient très grand, et très vite (e¹⁰ ≈ 22 026) ; quand x devient très négatif, eˣ se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre (e⁻¹⁰ ≈ 0,000045). L'étude précise de ces limites relève de la classe de Terminale.

Valeurs utiles à la calculatrice : e⁻¹ ≈ 0,368 ; e⁰,5 ≈ 1,649 ; e² ≈ 7,389 ; e³ ≈ 20,09.

4. Dérivée de x ↦ e^{ax + b}

D'après la règle de dérivation de x ↦ g(ax + b), avec g = exp :

la dérivée de x ↦ e^(ax + b) est x ↦ a e^(ax + b).

Exemples :

• (e^3x)' = 3e^3x ;
• (e^-x)' = -e^-x ;
• (e^{-0,2x + 5})' = -0,2 e^{-0,2x + 5}.

On combine avec les formules du produit et du quotient. Par exemple, pour f(x) = x eˣ : f'(x) = 1 × eˣ + x × eˣ = (x + 1)eˣ. Comme eˣ > 0, le signe de f'(x) est celui de x + 1 : c'est la méthode à retenir. Dans une dérivée où l'exponentielle apparaît en facteur, on factorise par elle et on étudie le signe de l'autre facteur seulement.

5. Les fonctions x ↦ e^kx

Soit k un réel et f(x) = e^kx.

• f(0) = 1 : toutes ces courbes passent par le point (0 ; 1).
• f'(x) = k e^kx = k f(x) : la fonction vérifie la relation f' = kf. La vitesse de variation est proportionnelle à la valeur.
• Si k > 0, f' est strictement positive : f est strictement croissante ; plus k est grand, plus la croissance est rapide.
• Si k < 0, f est strictement décroissante. En écrivant k = -λ avec λ > 0, on obtient x ↦ e^-λx, décroissante, qui se rapproche de 0 quand x devient grand.
• Si k = 0, f est constante égale à 1.

Plus généralement, pour un réel C, la fonction x ↦ C e^kx vérifie aussi f' = kf, avec f(0) = C.

6. Lien avec les suites géométriques

Soit a un réel et uₙ = e^na pour tout entier naturel n. Alors :

u(n+1) = e^{(n + 1}a) = e^na × eᵃ = eᵃ × uₙ.

La suite (e^(na)) est géométrique de raison q = eᵃ et de premier terme u₀ = 1. Comme eᵃ > 0 : si a > 0, q > 1 et la suite est croissante ; si a < 0, 0 < q < 1 et la suite est décroissante.

Plus généralement, si f(t) = C e^kt, les valeurs prises à intervalles de temps réguliers Δt forment une suite géométrique de raison e^kΔt : f(t + Δt) = e^kΔt × f(t). Une évolution exponentielle continue, observée à pas réguliers, est donc une évolution à pourcentage constant. C'est pour cela que la suite géométrique est le modèle discret et la fonction exponentielle le modèle continu d'un même phénomène.

7. Modèles de croissance et de décroissance

Croissance exponentielle. Une population de bactéries en milieu favorable, un capital placé à taux continu, une épidémie à ses débuts : la quantité N(t) = N₀ e^kt (k > 0) augmente d'un même pourcentage sur des durées égales. Elle double toujours en un même temps T, défini par e^kT = 2, quel que soit l'instant de départ, puisque N(t + T) = e^kT × N(t) = 2N(t).

Décroissance exponentielle. Le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif, la concentration d'un médicament éliminé par l'organisme, la température d'un objet qui se rapproche de celle de la pièce (pour l'écart de température) : N(t) = N₀ e^-λt (λ > 0). La quantité est divisée par 2 sur chaque durée égale à la demi-vie t₁/₂, définie par e^{-λ t₁/₂} = 1/2. Après 2 demi-vies il reste un quart, après 3 un huitième, après n demi-vies une fraction (1/2)ⁿ : on retrouve une suite géométrique.

En Première, sans la fonction logarithme (vue en Terminale), on détermine la durée nécessaire pour atteindre un seuil par tableau de valeurs, par lecture graphique ou par un algorithme de seuil.

Exemple 1 : calcul algébrique, équation et inéquation

Énoncé. a) Simplifier A = (e^3x × e^-x)/e^{x + 1}. b) Résoudre dans ℝ l'équation e^{2x - 1} = e^{x + 3}. c) Résoudre dans ℝ l'inéquation e^x² ≥ e^{4x - 3}.

Résolution. a) A = e^{3x + (-x} - (x + 1)) = e^{3x - x - x - 1} = e^(x - 1). b) Comme eᵃ = eᵇ ⟺ a = b : 2x - 1 = x + 3 ⟺ x = 4. S = {4}. c) La fonction exponentielle étant strictement croissante, e^x² ≥ e^{4x - 3} ⟺ x² ≥ 4x - 3 ⟺ x² - 4x + 3 ≥ 0. Ce trinôme a pour racines 1 et 3 (somme 4, produit 3) et un coefficient a = 1 > 0 : il est positif à l'extérieur de ses racines. S = ]-∞ ; 1] ∪ [3 ; +∞[.

Exemple 2 : étude d'une fonction

Énoncé. Soit f(x) = (x - 1)eˣ sur ℝ. a) Calculer f'(x). b) Étudier les variations de f et préciser son minimum. c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

Résolution. a) Produit de u = x - 1 (u' = 1) et v = eˣ (v' = eˣ) : f'(x) = eˣ + (x - 1)eˣ = x eˣ. b) Comme eˣ > 0, f'(x) a le signe de x : négatif sur ]-∞ ; 0[, positif sur ]0 ; +∞[. f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Son minimum est f(0) = (0 - 1) × 1 = -1. c) f(1) = 0 × e = 0 et f'(1) = 1 × e = e. La tangente a pour équation y = e(x - 1) + 0, soit y = e x - e.

Exemple 3 : élimination d'un médicament

Énoncé. Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est C(t) = 12e^-0,2t, en mg/L, où t est le temps en heures. a) Donner la concentration initiale et étudier les variations de C. b) Calculer C(5) au centième. c) Montrer que les valeurs C(0), C(1), C(2), ... forment une suite géométrique ; donner sa raison au dix-millième et interpréter en pourcentage. d) Au bout de combien d'heures entières la concentration devient-elle inférieure à 1 mg/L ?

Résolution. a) C(0) = 12e⁰ = 12 mg/L. C'(t) = 12 × (-0,2)e^-0,2t = -2,4 e^-0,2t < 0 : C est strictement décroissante sur [0 ; +∞[. b) C(5) = 12e^-1 ≈ 12 × 0,36788 ≈ 4,41 mg/L. c) Posons cₙ = C(n) = 12e^-0,2n. Alors c(n+1) = 12e^{-0,2n - 0,2} = e^-0,2 × cₙ : suite géométrique de raison q = e^(-0,2) ≈ 0,8187. Chaque heure, la concentration est multipliée par 0,8187 environ : elle baisse d'environ 18,1 % par heure. d) On cherche le plus petit entier n tel que 12e^-0,2n < 1. Par calcul : C(12) = 12e^-2,4 ≈ 12 × 0,0907 ≈ 1,09 et C(13) = 12e^-2,6 ≈ 12 × 0,0743 ≈ 0,89. Comme C est décroissante, la concentration passe sous 1 mg/L au bout de 13 heures.

• Pour simplifier, transforme tout en une seule exponentielle en additionnant ou soustrayant les exposants ; ne mélange pas exposants et facteurs.
• e^{a + b} = eᵃ × eᵇ, jamais eᵃ + eᵇ ; et (eᵃ)² = e^2a, pas e^a².
• Pour résoudre eᵘ = eᵛ ou eᵘ < eᵛ, compare directement les exposants : la fonction exponentielle est strictement croissante, l'ordre est conservé.
• Une exponentielle est toujours strictement positive : eˣ = 0 ou eˣ = -2 n'ont pas de solution, et eˣ > -5 est vraie pour tout x.
• Dans une dérivée, factorise par l'exponentielle : son signe est connu (positif), il ne reste qu'à étudier l'autre facteur.
• N'oublie pas le facteur a dans la dérivée de e^{ax + b} : (e^-3x)' = -3e^-3x.
• Une équation du type e^2x + b eˣ + c = 0 se ramène au second degré en posant X = eˣ, en ne gardant que les solutions X > 0.
• Pour un modèle à pas régulier, pense au lien e^{k(t + 1}) = eᵏ × e^kt : la raison de la suite géométrique est eᵏ, et l'évolution en pourcentage est eᵏ - 1.
• Pour un seuil sans logarithme, encadre la réponse entre deux valeurs calculées et justifie par le sens de variation.

L'exponentielle est la fonction la plus utilisée en sciences de la santé. En PASS, elle décrit la décroissance radioactive en médecine nucléaire et en radioprotection (loi N(t) = N₀ e^-λt, demi-vie, activité), l'atténuation d'un faisceau de rayons X qui traverse un tissu (loi exponentielle d'atténuation), l'élimination d'un médicament en pharmacocinétique (cinétique d'ordre 1, demi-vie d'élimination), la charge et la décharge d'un condensateur dans les modèles de membrane cellulaire, ou encore la croissance bactérienne. Toutes ces lois sont des solutions de l'équation f' = kf, qui généralise la définition vue ici.

En PASS, on lui associe immédiatement sa fonction réciproque, le logarithme népérien, qui permet de calculer une demi-vie ou un seuil en une ligne (t₁/₂ = ln 2/λ), et les échelles logarithmiques (pH, décibels, graphiques semi-logarithmiques où une exponentielle devient une droite).

Niveau 1 : s'entraîner

1. Simplifier :

a) e³ × e⁻⁵ ; b) (e²)³ ; c) e^{x + 2}/e^{x - 1} ; d) (eˣ)² × e^-2x.

2. Résoudre dans ℝ :

a) e^3x = e⁶ ; b) e^x² = e ; c) e^{2x + 1} > 1 ; d) eˣ = -2.

3. Calculer la dérivée de chaque fonction définie sur ℝ :

a) f(x) = 3eˣ - x² ; b) g(x) = e^{-4x + 1} ; c) h(x) = x eˣ ; d) k(x) = (2x + 3)e^2x.

4. Donner le sens de variation sur ℝ des fonctions f(x) = e^-0,5x et g(x) = 5e^0,3x, ainsi que leurs valeurs en 0.

5. Soit uₙ = e^0,5n pour tout entier naturel n. Montrer que (uₙ) est géométrique, préciser sa raison (valeur exacte et valeur approchée au millième) et son sens de variation.

Niveau 2 : type bac

6. Soit f(x) = (2 - x)eˣ sur ℝ.

a) Montrer que f'(x) = (1 - x)eˣ. b) Dresser le tableau de variations de f et donner son maximum. c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. d) Résoudre f(x) = 0 et étudier le signe de f(x).

7. a) Vérifier que la fonction f(x) = 3e^2x vérifie f' = 2f et f(0) = 3.

b) Vérifier que la fonction g(t) = 50e^-0,1t vérifie g' = -0,1g et g(0) = 50. Quel est son sens de variation ?

8. Résoudre dans ℝ :

a) e^{x² - 1} ≤ e^{3(x - 1}) ; b) e^2x - (e + 1)eˣ + e = 0 (on pourra poser X = eˣ).

9. Une population de bactéries compte N(t) = 1 000e^0,3t individus au bout de t heures.

a) Calculer N(0) et N(2) (à l'unité). b) Étudier le sens de variation de N. c) Montrer que N(t + 1) = e^0,3 × N(t) et en déduire le pourcentage d'augmentation par heure (à 0,1 % près). d) Au bout de combien d'heures entières la population dépasse-t-elle 10 000 bactéries ?

10. Soit g(x) = eˣ - x - 1 sur ℝ.

a) Calculer g'(x) et étudier son signe. b) En déduire les variations de g et son minimum. c) Conclure que, pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1. Interpréter graphiquement. d) Utiliser l'approximation affine de exp en 0 pour donner une valeur approchée de e⁰,01.

Niveau 3 : vers le PASS

11. L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie de 8 jours. On modélise le nombre de noyaux restants par N(t) = N₀e^-λt, t en jours, avec λ ≈ 0,0866 j⁻¹.

a) Calculer e^-8λ avec cette valeur de λ (au dix-millième) et vérifier qu'il vaut environ 1/2. b) Montrer que, pour tout n, N(8n) = N₀ × (1/2)ⁿ à cette approximation près. Quelle proportion des noyaux reste-t-il au bout de 24 jours ? c) Au bout de combien de demi-vies, puis de jours, reste-t-il moins de 1 % des noyaux initiaux ?

12. Après une prise orale, la concentration d'un médicament est modélisée par C(t) = 10t e^-0,5t, en mg/L, pour t ≥ 0 en heures.

a) Montrer que C'(t) = 5(2 - t)e^-0,5t. b) Déterminer l'instant du pic de concentration et la concentration maximale (au centième). c) Calculer C'(0) et l'interpréter. d) Calculer C(6) au centième et commenter.

13. Pour un réel k, on note fₖ(x) = e^kx et Cₖ sa courbe.

a) Montrer que toutes les courbes Cₖ passent par un même point. b) Déterminer k pour que la tangente à Cₖ en 0 passe par le point B(2 ; 5). c) Montrer que, pour tout x, fₖ(x) × f₋ₖ(x) = 1, et en déduire que les courbes Cₖ et C₋ₖ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

14. Soit g(x) = (eˣ + e^-x)/2 sur ℝ (fonction qui décrit la forme d'un câble suspendu).

a) Calculer g(0) et montrer que g(-x) = g(x) pour tout x. b) Calculer g'(x) et montrer que g'(x) > 0 ⟺ x > 0. c) En déduire les variations et le minimum de g. d) Démontrer que, pour tout x, g(2x) = 2g(x)² - 1.

1. a) e³ × e⁻⁵ = e^{3 - 5} = e⁻².

b) (e²)³ = e^{2 × 3} = e⁶. c) e^{x + 2}/e^{x - 1} = e^{x + 2 - x + 1} = e³. d) (eˣ)² × e^-2x = e^2x × e^-2x = e⁰ = 1.

2. a) e^3x = e⁶ ⟺ 3x = 6 ⟺ x = 2.

b) e^x² = e¹ ⟺ x² = 1 ⟺ x = -1 ou x = 1. c) 1 = e⁰, donc e^{2x + 1} > e⁰ ⟺ 2x + 1 > 0 ⟺ x > -1/2. S = ]-1/2 ; +∞[. d) Une exponentielle est strictement positive : aucune solution, S = ∅.

3. a) f'(x) = 3eˣ - 2x.

b) g'(x) = -4e^(-4x + 1). c) h'(x) = 1 × eˣ + x eˣ = (x + 1)eˣ. d) k'(x) = 2 × e^2x + (2x + 3) × 2e^2x = (2 + 4x + 6)e^2x = (4x + 8)e^(2x).

4. f'(x) = -0,5e^-0,5x < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ, f(0) = 1. g'(x) = 5 × 0,3e^0,3x = 1,5e^0,3x > 0 : g est strictement croissante sur ℝ, g(0) = 5. On retrouve la règle : e^kx décroît si k < 0, croît si k > 0.

5. u(n+1) = e^{0,5(n + 1}) = e^0,5n × e⁰,5 = e⁰,5 × uₙ. (uₙ) est géométrique de raison q = e^0,5 ≈ 1,649, de premier terme u₀ = 1. Comme u₀ > 0 et q > 1, la suite est strictement croissante.

6. a) Produit de u = 2 - x (u' = -1) et v = eˣ : f'(x) = -eˣ + (2 - x)eˣ = (1 - x)eˣ.

b) eˣ > 0, donc f'(x) a le signe de 1 - x : positif sur ]-∞ ; 1[, négatif sur ]1 ; +∞[. f est strictement croissante sur ]-∞ ; 1], strictement décroissante sur [1 ; +∞[ ; son maximum est f(1) = e ≈ 2,718. c) f(0) = 2 et f'(0) = 1. Tangente : y = x + 2. d) f(x) = 0 ⟺ 2 - x = 0 (car eˣ ≠ 0) ⟺ x = 2. Le signe de f(x) est celui de 2 - x : f(x) > 0 sur ]-∞ ; 2[, f(x) < 0 sur ]2 ; +∞[.

7. a) f'(x) = 3 × 2e^2x = 6e^2x = 2 × 3e^2x = 2f(x), et f(0) = 3e⁰ = 3. Les deux conditions sont vérifiées.

b) g'(t) = 50 × (-0,1)e^-0,1t = -0,1 × 50e^-0,1t = -0,1 g(t), et g(0) = 50. Les conditions sont vérifiées. g'(t) = -5e^-0,1t < 0 : g est strictement décroissante.

8. a) Par stricte croissance de exp : x² - 1 ≤ 3x - 3 ⟺ x² - 3x + 2 ≤ 0. Racines 1 et 2 (somme 3, produit 2), coefficient positif : trinôme négatif entre ses racines. S = [1 ; 2].

b) Avec X = eˣ (X > 0), e^2x = X² et l'équation devient X² - (e + 1)X + e = 0. Deux nombres de somme e + 1 et de produit e : 1 et e. Donc X = 1 ou X = e, tous deux strictement positifs. eˣ = 1 ⟺ x = 0 ; eˣ = e ⟺ x = 1. S = {0 ; 1}.

9. a) N(0) = 1 000 × e⁰ = 1 000 bactéries ; N(2) = 1 000e⁰,6 ≈ 1 000 × 1,82212 ≈ 1 822 bactéries.

b) N'(t) = 1 000 × 0,3e^0,3t = 300e^0,3t > 0 : N est strictement croissante. c) N(t + 1) = 1 000e^{0,3t + 0,3} = e⁰,3 × 1 000e^0,3t = e⁰,3 × N(t). Or e⁰,3 ≈ 1,34986 : la population augmente d'environ 35,0 % par heure. d) On cherche le plus petit entier t tel que 1 000e^0,3t > 10 000, soit e^0,3t > 10. N(7) = 1 000e²,1 ≈ 8 166 et N(8) = 1 000e²,4 ≈ 11 023. N étant croissante, la population dépasse 10 000 bactéries au bout de 8 heures.

10. a) g'(x) = eˣ - 1. Or eˣ - 1 > 0 ⟺ eˣ > e⁰ ⟺ x > 0. Donc g'(x) < 0 sur ]-∞ ; 0[, g'(0) = 0, g'(x) > 0 sur ]0 ; +∞[.

b) g est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Son minimum est g(0) = 1 - 0 - 1 = 0. c) Pour tout x, g(x) ≥ 0, donc eˣ ≥ x + 1. Graphiquement, la courbe de l'exponentielle est toujours au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = x + 1, et ne la touche qu'en (0 ; 1). d) Près de 0, eʰ ≈ 1 + h. e^0,01 ≈ 1,01 (valeur calculatrice : 1,01005).

11. a) 8λ ≈ 8 × 0,0866 = 0,6928, et e^-0,6928 ≈ 0,5002, qui vaut bien environ 1/2.

b) N(8n) = N₀e^{-λ × 8n} = N₀(e^-8λ)ⁿ ≈ N₀ × (1/2)ⁿ : les valeurs à chaque demi-vie forment une suite géométrique de raison 1/2. 24 jours = 3 demi-vies : il reste (1/2)³ = 1/8, soit 12,5 % des noyaux. c) On cherche le plus petit n tel que (1/2)ⁿ < 0,01, soit 2ⁿ > 100. Or 2⁶ = 64 et 2⁷ = 128. Il faut 7 demi-vies, soit 56 jours (il reste alors 1/128 ≈ 0,78 %).

12. a) Produit de u = 10t (u' = 10) et v = e^-0,5t (v' = -0,5e^-0,5t) : C'(t) = 10e^-0,5t + 10t × (-0,5)e^-0,5t = (10 - 5t)e^-0,5t = 5(2 - t)e^(-0,5t).

b) e^-0,5t > 0, donc C'(t) a le signe de 2 - t : C est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[. C(2) = 20e^-1 ≈ 20 × 0,36788 ≈ 7,36. Le pic est atteint 2 heures après la prise, avec environ 7,36 mg/L. c) C'(0) = 5 × 2 × 1 = 10 mg·L⁻¹·h⁻¹ : juste après la prise, la concentration augmente à la vitesse de 10 mg/L par heure. d) C(6) = 60e^-3 ≈ 60 × 0,049787 ≈ 2,99 mg/L. Quatre heures après le pic, la concentration est redescendue à environ 41 % de sa valeur maximale (2,99/7,36 ≈ 0,41) : la phase d'élimination domine.

13. a) Pour tout k, fₖ(0) = e⁰ = 1 : toutes les courbes passent par le point (0 ; 1).

b) fₖ'(x) = k e^kx, donc fₖ'(0) = k et la tangente en 0 a pour équation y = k(x - 0) + 1 = kx + 1. Elle passe par B(2 ; 5) si et seulement si 2k + 1 = 5, soit k = 2. c) fₖ(x) × f₋ₖ(x) = e^kx × e^-kx = e⁰ = 1. De plus f₋ₖ(x) = e^-kx = e^{k × (-x}) = fₖ(-x) : le point (x ; y) appartient à C₋ₖ si et seulement si le point (-x ; y) appartient à Cₖ. Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

14. a) g(0) = (1 + 1)/2 = 1. g(-x) = (e^-x + e^x)/2 = g(x) : g est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b) g'(x) = (eˣ - e^(-x))/2. Or g'(x) > 0 ⟺ eˣ > e^-x ⟺ x > -x (stricte croissance de exp) ⟺ x > 0. c) g est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Son minimum est g(0) = 1. d) 2g(x)² - 1 = 2 × (eˣ + e^-x)²/4 - 1 = (e^2x + 2eˣe^-x + e^-2x)/2 - 1 = (e^2x + 2 + e^-2x)/2 - 1 = (e^2x + e^-2x)/2 = g(2x). L'égalité g(2x) = 2g(x)² - 1 est démontrée.

Ce chapitre prépare la partie Logarithmes, exponentielles et échelles du cours Outils mathématiques : calcul, logarithmes et incertitudes (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre