Fonction logarithme népérien

• Définir ln a, pour a > 0, comme l'unique solution de l'équation eˣ = a, et utiliser les égalités e^{ln x} = x et ln(eˣ) = x.
• Utiliser la relation fonctionnelle ln(ab) = ln a + ln b et ses conséquences (inverse, quotient, puissance entière, racine carrée) pour simplifier une expression.
• Calculer la dérivée de ln et celle de ln(u) pour une fonction u strictement positive et dérivable.
• Dresser le tableau de variations de ln, connaître ses limites en 0 et en +∞ et l'allure de sa courbe.
• Utiliser les croissances comparées (ln x / x en +∞, x ln x en 0) pour lever une forme indéterminée.
• Résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir ln ou exp, en commençant par le domaine de validité.
• Déterminer le plus petit entier n tel que qⁿ dépasse ou passe sous un seuil donné.
• Utiliser le logarithme décimal log et ses propriétés.
• Exploiter le logarithme dans des modèles : pH d'une solution, niveau sonore en décibels, demi-vie d'une décroissance exponentielle.

1. Définition comme réciproque de l'exponentielle

On sait que la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, avec une limite égale à 0 en -∞ et à +∞ en +∞. Elle prend toutes les valeurs strictement positives, chacune une seule fois (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone).

Autrement dit, pour x > 0 et y réel : y = ln x équivaut à x = eʸ.

Conséquences immédiates :

• e^(ln x) = x pour tout x > 0 ;
• ln(eˣ) = x pour tout réel x ;
• ln 1 = 0 (car e⁰ = 1) et ln e = 1 (car e¹ = e).

Les fonctions exp et ln sont dites réciproques l'une de l'autre. Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x : le point (a ; b) est sur la courbe de exp si et seulement si le point (b ; a) est sur celle de ln.

Comme exp est strictement croissante, ln l'est aussi. On en déduit, pour a > 0 et b > 0 :

• ln a = ln b équivaut à a = b ;
• ln a < ln b équivaut à a < b.

Justification de la seconde : si a < b avec ln a ≥ ln b, alors, exp étant croissante, e^{ln a} ≥ e^{ln b}, c'est-à-dire a ≥ b, contradiction. La réciproque se traite de la même façon.

Signe du logarithme : en comparant x à 1 et en utilisant ln 1 = 0,

• ln x < 0 pour 0 < x < 1 ;
• ln x = 0 pour x = 1 ;
• ln x > 0 pour x > 1.

Ces équivalences sont l'outil principal de résolution des équations et inéquations : on passe d'une égalité ou d'une inégalité entre logarithmes à une égalité ou une inégalité entre les nombres eux-mêmes, et inversement.

2. Relation fonctionnelle et propriétés algébriques

Démonstration. D'après la propriété de l'exponentielle e^{x + y} = eˣ × eʸ : e^{ln a + ln b} = e^{ln a} × e^{ln b} = a × b = e^ln(ab). Deux réels qui ont la même exponentielle sont égaux (exp est strictement croissante), donc ln a + ln b = ln(ab).

Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est historiquement la raison de son invention, pour simplifier les calculs astronomiques.

Conséquences, pour a > 0, b > 0 et n entier relatif :

• ln(1/a) = -ln a, car ln a + ln(1/a) = ln(a × 1/a) = ln 1 = 0 ;
• ln(a/b) = ln a - ln b, car a/b = a × (1/b) ;
• ln(aⁿ) = n ln a : pour n entier naturel, par récurrence (ln(aⁿ⁺¹) = ln(aⁿ × a) = ln(aⁿ) + ln a), puis pour n négatif grâce à l'inverse ;
• ln(√a) = (1/2) ln a, car (√a)² = a donne 2 ln(√a) = ln a.

Exemple. A = ln 50 - 2 ln 5. On écrit 50 = 2 × 5², donc ln 50 = ln 2 + 2 ln 5 et A = ln 2.

Exemple. B = ln(e²) + ln(1/√e) = 2 - 1/2 = 3/2.

Attention : il n'existe aucune formule pour ln(a + b). Par exemple ln(1 + 1) = ln 2, qui n'est pas égal à ln 1 + ln 1 = 0.

Ces règles exigent que a et b soient strictement positifs. L'expression ln(x²) est définie pour tout x non nul, mais elle vaut 2 ln|x| et non 2 ln x : si x = -3, ln(x²) = ln 9 = 2 ln 3, alors que 2 ln(-3) n'existe pas.

3. Dérivée de ln et de ln(u)

Justification (la dérivabilité étant admise). Pour tout x > 0, e^{ln x} = x. On dérive les deux membres, le premier comme une composée (e^u)' = u' e^u : ln'(x) × e^{ln x} = 1, soit ln'(x) × x = 1, donc ln'(x) = 1/x.

Une autre lecture de ce résultat : le nombre dérivé de ln en 1 vaut 1, ce qui s'écrit, avec le taux d'accroissement,

lim quand h tend vers 0 de ln(1 + h)/h = 1.

Cette limite est très utile : pour h proche de 0, ln(1 + h) est proche de h (approximation affine). Par exemple ln(1,02) ≈ 0,0198, très proche de 0,02.

C'est un cas particulier de la dérivée de x ↦ g(u(x)), égale à u'(x) × g'(u(x)), avec g = ln.

Exemples :

• f(x) = ln(x² + 1) est définie sur ℝ car x² + 1 > 0, et f'(x) = 2x/(x² + 1) ;
• g(x) = ln(3x - 6) est définie sur ]2 ; +∞[, et g'(x) = 3/(3x - 6) = 1/(x - 2) ;
• h(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[ : par la dérivée d'un produit, h'(x) = 1 × ln x + x × (1/x) = ln x + 1.

Remarque : comme u' et u'/u ont le même signe lorsque u > 0, la fonction ln(u) a les mêmes variations que u sur I. C'est cohérent avec la croissance de ln.

Tangente en 1 : ln(1) = 0 et ln'(1) = 1, donc la tangente à la courbe de ln au point d'abscisse 1 a pour équation y = x - 1.

Convexité : la dérivée seconde vaut ln''(x) = -1/x², strictement négative. La fonction ln est donc concave sur ]0 ; +∞[ et sa courbe est située sous chacune de ses tangentes. En particulier :

ln x ≤ x - 1 pour tout x > 0, avec égalité seulement pour x = 1.

4. Variations, limites et courbe

La dérivée 1/x est strictement positive sur ]0 ; +∞[ : ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Justification de la limite en +∞. Soit M un réel quelconque. Dès que x > e^M, la croissance de ln donne ln x > ln(e^M) = M. Donc ln x dépasse tout réel M pour x assez grand.

Justification de la limite en 0. Pour x > 0, ln x = -ln(1/x). Quand x tend vers 0 par valeurs positives, 1/x tend vers +∞, donc ln(1/x) tend vers +∞ et ln x tend vers -∞.

Conséquence graphique : l'axe des ordonnées (droite x = 0) est asymptote verticale à la courbe de ln.

Tableau de variations :

Valeurs utiles : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,099 ; ln 10 ≈ 2,303 ; e ≈ 2,718.

L'allure de la courbe : elle traverse l'axe des abscisses en x = 1, monte très vite près de 0 (pente 1/x grande) puis de plus en plus lentement (pente 1/x proche de 0 pour x grand), sans jamais avoir de limite finie. Pour atteindre ln x = 10, il faut déjà x = e¹⁰ ≈ 22 026.

5. Croissances comparées

Lorsque x tend vers +∞, x et ln x tendent tous deux vers +∞ : le quotient ln x / x est une forme indéterminée. Le résultat suivant la lève.

Démonstration de la première. On pose X = ln x, soit x = e^X. Quand x tend vers +∞, X tend vers +∞, et ln x / x = X / e^X. Or on sait (croissance comparée de l'exponentielle) que e^X / X tend vers +∞, donc X / e^X tend vers 0.

Démonstration de la seconde. On pose t = 1/x, qui tend vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives. Alors x ln x = (1/t) × ln(1/t) = -ln t / t, qui tend vers 0 d'après la première limite.

Pour la généralisation : ln x / xⁿ = (ln x / x) × (1/xⁿ⁻¹), produit d'un terme qui tend vers 0 et d'un terme borné pour x ≥ 1.

On retient l'idée : en +∞, toute puissance de x l'emporte sur ln x ; en 0, toute puissance de x l'emporte aussi sur ln x. Le logarithme croît, mais beaucoup plus lentement que n'importe quelle puissance.

Exemples :

• lim en +∞ de (x - ln x) : on factorise, x - ln x = x(1 - ln x / x). Le facteur entre parenthèses tend vers 1, donc la limite est +∞ ;
• lim en +∞ de ln x / √x : en posant X = √x, ln x = 2 ln X et ln x / √x = 2 ln X / X, qui tend vers 0.

6. Équations, inéquations et seuils

La méthode générale tient en cinq étapes.

Exemples :

• eˣ = 5 équivaut à x = ln 5 ;
• ln(2x - 1) = 3 : domaine 2x - 1 > 0, soit x > 1/2. L'équation équivaut à 2x - 1 = e³, donc x = (e³ + 1)/2, qui vérifie bien x > 1/2 ;
• ln(x - 2) ≤ 1 : domaine x > 2. Comme 1 = ln e, l'inéquation équivaut à x - 2 ≤ e (ln est croissante), soit x ≤ 2 + e. Ensemble des solutions : ]2 ; 2 + e] ;
• e^3x > 2 : ln étant croissante, 3x > ln 2, soit x > (ln 2)/3.

Problème de seuil. On cherche le plus petit entier n tel que 0,8ⁿ < 0,01. Les deux membres sont strictement positifs, et ln est strictement croissante, donc l'inégalité équivaut à ln(0,8ⁿ) < ln(0,01), soit n ln(0,8) < ln(0,01). Comme ln(0,8) < 0 (car 0,8 < 1), la division par ln(0,8) change le sens : n > ln(0,01)/ln(0,8) ≈ 20,64. Le plus petit entier convenable est n = 21. Vérification : 0,8²⁰ ≈ 0,0115 et 0,8²¹ ≈ 0,0092.

Équations de degré 2 déguisées : pour (ln x)² - 3 ln x + 2 = 0, on pose X = ln x. L'équation X² - 3X + 2 = 0 a pour racines 1 et 2, donc ln x = 1 ou ln x = 2, soit x = e ou x = e².

7. Logarithme décimal

Comme ln 10 > 0, log a les mêmes variations et les mêmes propriétés algébriques que ln :

• log(ab) = log a + log b ; log(a/b) = log a - log b ; log(aⁿ) = n log a ;
• log 1 = 0, log 10 = 1, et log(10ⁿ) = n pour tout entier n ;
• y = log x équivaut à x = 10ʸ (on note 10ʸ = e^{y ln 10} pour un réel y quelconque).

Le logarithme décimal mesure l'ordre de grandeur d'un nombre : log(1 000) = 3, log(0,001) = -3. Un nombre entier N ≥ 1 qui s'écrit avec k chiffres vérifie 10ᵏ⁻¹ ≤ N < 10ᵏ, donc k - 1 ≤ log N < k : le nombre de chiffres de N est la partie entière de log N, plus 1.

Une échelle logarithmique remplace une grandeur x par log x : multiplier x par 10 revient à ajouter 1 à log x. Elle sert à représenter des grandeurs qui s'étalent sur plusieurs ordres de grandeur (concentrations, intensités sonores, magnitudes).

8. Applications : pH, décibels, demi-vie

pH d'une solution aqueuse. Pour une solution diluée, on définit pH = -log([H₃O⁺]/c°), avec c° = 1 mol·L⁻¹, ce qui revient à pH = -log[H₃O⁺] avec la concentration exprimée en mol·L⁻¹. Réciproquement, [H₃O⁺] = 10^(-pH) mol·L⁻¹.

Exemple. [H₃O⁺] = 2,5 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ donne pH = -(log 2,5 + log 10⁻⁴) = 4 - log 2,5 ≈ 4 - 0,398 ≈ 3,60.

Conséquence : diviser [H₃O⁺] par 10 augmente le pH d'une unité. Deux solutions dont les pH diffèrent de 2 ont des concentrations en ions oxonium dans un rapport 10² = 100.

Niveau d'intensité sonore. Pour une intensité sonore I (en W·m⁻²), le niveau d'intensité sonore, en décibels (dB), est L = 10 log(I/I₀), avec I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻² (seuil d'audibilité).

Exemple. I = 1,0 × 10⁻⁵ W·m⁻² donne L = 10 log(10⁷) = 70 dB.

Doubler l'intensité ajoute 10 log 2 ≈ 3,0 dB : deux sources identiques et indépendantes de 70 dB donnent environ 73 dB, et non 140 dB. Multiplier l'intensité par 10 ajoute 10 dB.

Demi-vie d'une décroissance exponentielle. Une grandeur qui décroît selon N(t) = N₀ e^-λt, avec λ > 0 (désintégrations radioactives, élimination d'un médicament, refroidissement de l'écart de température), est divisée par 2 au bout d'une durée constante appelée demi-vie t½ : N(t½) = N₀/2 équivaut à e^{-λ t½} = 1/2, soit -λ t½ = ln(1/2) = -ln 2, donc

t½ = ln 2 / λ.

Cette durée ne dépend pas de N₀ ni de l'instant de départ. Au bout de n demi-vies, il reste N₀/2ⁿ.

Exemple (datation). Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans, donc λ = ln 2 / 5 730 ≈ 1,21 × 10⁻⁴ an⁻¹. Un échantillon qui ne contient plus que 30 % de son carbone 14 initial vérifie e^-λt = 0,30, soit t = ln(1/0,30)/λ = 5 730 × ln(10/3)/ln 2 ≈ 9,95 × 10³ ans.

Exemple 1 : étude de la fonction x ↦ ln x / x

Énoncé. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln x / x. a) Calculer les limites de f en 0 et en +∞. b) Étudier les variations de f. c) Résoudre f(x) = 0 et donner le signe de f. d) En déduire la comparaison des nombres e^π et π^e.

Résolution. a) En 0 par valeurs positives : ln x tend vers -∞ et 1/x tend vers +∞, donc le produit ln x × (1/x) tend vers -∞. Il n'y a pas de forme indéterminée. En +∞ : forme indéterminée levée par croissance comparée, lim f(x) = 0. La courbe admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en +∞ et l'axe des ordonnées comme asymptote verticale. b) f est un quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s'annule pas sur ]0 ; +∞[ : f'(x) = [(1/x) × x - ln x × 1]/x² = (1 - ln x)/x². Comme x² > 0, f'(x) a le signe de 1 - ln x. Or 1 - ln x > 0 équivaut à ln x < 1, soit x < e. Donc f est strictement croissante sur ]0 ; e] et strictement décroissante sur [e ; +∞[, avec un maximum f(e) = 1/e ≈ 0,368. c) f(x) = 0 équivaut à ln x = 0, soit x = 1. f est négative sur ]0 ; 1[ et positive sur ]1 ; +∞[ (signe de ln x, puisque x > 0). d) On a e < π, et f est strictement décroissante sur [e ; +∞[, donc f(π) < f(e), c'est-à-dire ln π / π < ln e / e = 1/e. On multiplie par eπ > 0 : e ln π < π, soit ln(π^e) < ln(e^π). La fonction ln étant strictement croissante, π^e < e^π. (Numériquement, π^e ≈ 22,46 et e^π ≈ 23,14.)

Exemple 2 : équation et inéquation

Énoncé. a) Résoudre dans ℝ l'équation ln x + ln(x - 2) = ln 3. b) Résoudre dans ]0 ; +∞[ l'inéquation (ln x)² - ln x - 2 < 0.

Résolution. a) Domaine : il faut x > 0 et x - 2 > 0, donc x > 2. Sur ]2 ; +∞[, ln x + ln(x - 2) = ln(x(x - 2)). L'équation équivaut à ln(x² - 2x) = ln 3, soit x² - 2x - 3 = 0. Le discriminant vaut 4 + 12 = 16, les racines sont (2 + 4)/2 = 3 et (2 - 4)/2 = -1. Seule 3 appartient au domaine : S = {3}. Vérification : ln 3 + ln 1 = ln 3. b) On pose X = ln x. L'inéquation devient X² - X - 2 < 0. Les racines du trinôme sont 2 et -1 (somme 1, produit -2), et un trinôme de coefficient dominant positif est négatif strictement entre ses racines : -1 < X < 2. Donc -1 < ln x < 2, et par croissance de exp, e⁻¹ < x < e². S = ]1/e ; e²[.

Exemple 3 : demi-vie d'un médicament

Énoncé. Après une injection intraveineuse, la concentration plasmatique d'un médicament est modélisée par C(t) = C₀ e^-kt, t en heures, C en mg·L⁻¹. On mesure C₀ = 12 mg·L⁻¹ et, trois heures plus tard, C(3) = 7,5 mg·L⁻¹. a) Déterminer k. b) Calculer la demi-vie d'élimination. c) Au bout de combien de temps la concentration passe-t-elle sous 1,0 mg·L⁻¹ ?

Résolution. a) 12 e^-3k = 7,5 équivaut à e^-3k = 7,5/12 = 0,625, soit -3k = ln 0,625, donc k = -ln(0,625)/3 = ln(1,6)/3 ≈ 0,470/3, k ≈ 0,157 h⁻¹. b) t½ = ln 2 / k = 3 ln 2 / ln 1,6 ≈ 0,6931 × 3/0,4700 ≈ 4,4 h. c) C(t) < 1 équivaut à e^-kt < 1/12, soit -kt < -ln 12 (ln croissante), donc t > ln 12 / k ≈ 2,485/0,1567 ≈ 15,9. La concentration passe sous 1,0 mg·L⁻¹ au bout d'environ 15,9 h.

• Pour toute équation ou inéquation, commence par écrire le domaine de validité : chaque ln doit porter sur une quantité strictement positive. Élimine à la fin les solutions hors domaine.
• Pour passer de ln A < ln B à A < B, invoque explicitement la stricte croissance de ln ; pour passer de A < B à ln A < ln B, vérifie que A et B sont strictement positifs.
• Quand tu divises une inégalité par ln q avec 0 < q < 1, ln q est négatif : le sens de l'inégalité change. C'est l'erreur la plus fréquente dans les problèmes de seuil.
• N'écris jamais ln(a + b) = ln a + ln b, ni ln(a)/ln(b) = ln(a/b), ni ln(a) × ln(b) = ln(ab).
• (ln u)' vaut u'/u, pas 1/u : n'oublie pas le facteur u'.
• Devant une forme indéterminée avec ln, cherche à faire apparaître ln x / x ou x ln x, éventuellement par factorisation ou changement de variable.
• Ne confonds pas ln et log : pH et décibels utilisent log, la demi-vie s'écrit avec ln 2 parce que le modèle est en e^-λt.
• Pour un seuil, donne un entier et vérifie-le en calculant le terme juste avant et juste après.

En PASS, le logarithme est partout où une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur ou décroît de façon exponentielle. En chimie, il sert au calcul du pH des acides et des bases, à la relation de Henderson-Hasselbalch des solutions tampons (pH = pKa + log du rapport base sur acide) et à l'expression de l'enthalpie libre. En biophysique, l'équation de Nernst donne le potentiel d'équilibre d'un ion à partir du logarithme du rapport des concentrations de part et d'autre de la membrane. En pharmacocinétique, on trace ln C en fonction de t pour obtenir une droite dont la pente donne la constante d'élimination, puis la demi-vie et la clairance. En radioactivité, la loi de décroissance et la demi-vie servent en médecine nucléaire et en dosimétrie. Il faut savoir manipuler ces calculs sans calculatrice, avec ln 2 ≈ 0,69, ln 10 ≈ 2,3 et log 2 ≈ 0,30.

Niveau 1 : s'entraîner

1. Simplifier les nombres suivants : A = ln 8 + ln 2 - ln 4 ; B = ln(e³) - ln(1/e) ; C = e^{2 ln 3} ; D = ln(√e).

2. Résoudre dans ℝ : a) eˣ = 7 ; b) ln x = -2 ; c) ln(3x + 1) = 0 ; d) e^{2x - 1} = 1.

3. Calculer la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué : f(x) = x ln x - x sur ]0 ; +∞[ ; g(x) = ln(x² + 3) sur ℝ ; h(x) = (ln x)² sur ]0 ; +∞[ ; k(x) = ln(1 - x) sur ]-∞ ; 1[.

4. Déterminer les limites suivantes : a) lim en +∞ de (ln x - x) ; b) lim en 0⁺ de x² ln x ; c) lim en +∞ de ln x / √x ; d) lim en 0⁺ de (1/x + ln x).

5. a) Calculer le pH d'une solution où [H₃O⁺] = 3,0 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹. b) Calculer [H₃O⁺] dans une solution de pH 8,2.

Niveau 2 : type bac

6. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x² - 2 ln x.

a) Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. b) Étudier les variations de f et en déduire que f(x) > 0 pour tout x > 0. c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse e.

7. Un stock de 500 unités diminue de 8 % chaque mois. On note uₙ le stock au bout de n mois.

a) Exprimer uₙ en fonction de n. b) Déterminer le plus petit entier n tel que uₙ < 50. c) Déterminer la limite de la suite (uₙ).

8. Le seuil d'audibilité vaut I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻² et L = 10 log(I/I₀).

a) Calculer le niveau sonore d'une source d'intensité 1,0 × 10⁻⁵ W·m⁻². b) Quel est le niveau sonore produit par deux sources identiques de ce type fonctionnant ensemble ? c) Quelle intensité correspond à un niveau de 85 dB ? d) Combien de sources de 70 dB faut-il au minimum pour atteindre 85 dB ?

9. Résoudre :

a) ln(2x + 1) ≥ ln(x + 3) ; b) e^2x - 3eˣ + 2 ≤ 0 ; c) ln x + ln(x + 1) ≥ ln 6.

10. L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie de 8,02 jours. Le nombre de noyaux suit N(t) = N₀ e^-λt, t en jours.

a) Calculer λ. b) Quel pourcentage des noyaux initiaux reste-t-il au bout de 30 jours ? c) Au bout de combien de jours l'activité est-elle divisée par 100 ?

Niveau 3 : vers le PASS

11. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

a) Pour tout x > 0, ln x ≤ x - 1. b) Pour tous a > 0 et b > 0, ln(a + b) = ln a + ln b. c) La limite en +∞ de (ln x)³/x vaut 0. d) L'équation ln x = x/e admet exactement une solution sur ]0 ; +∞[.

12. Un médicament a une demi-vie d'élimination de 6 h. Après une injection, la concentration vaut C(t) = C₀ e^-kt, avec C₀ = 8 mg·L⁻¹. Il est efficace tant que C(t) ≥ 2 mg·L⁻¹.

a) Calculer k. b) Pendant combien de temps le médicament est-il efficace ? c) On double la dose, donc C₀ = 16 mg·L⁻¹. De combien de temps la durée d'efficacité augmente-t-elle ? Commenter. d) Montrer que ln C(t) est une fonction affine de t et préciser sa pente.

13. a) Combien de chiffres le nombre 2²⁰²⁶ comporte-t-il en écriture décimale ? On donne log 2 ≈ 0,301030.

b) Déterminer le plus petit entier n tel que 3ⁿ⁻¹ > 2ⁿ.

1. A : ln 8 + ln 2 - ln 4 = ln(8 × 2 / 4) = ln 4 = 2 ln 2, donc A = 2 ln 2.

B : ln(e³) = 3 et ln(1/e) = -1, donc B = 3 - (-1), B = 4. C : 2 ln 3 = ln(3²) = ln 9, donc C = e^{ln 9}, C = 9. D : √e = e^1/2, donc D = 1/2.

2. a) eˣ = 7 équivaut à x = ln 7.

b) ln x = -2 (avec x > 0) équivaut à x = e⁻². c) Domaine : 3x + 1 > 0, soit x > -1/3. ln(3x + 1) = 0 = ln 1 équivaut à 3x + 1 = 1, x = 0, qui est bien dans le domaine. d) e^{2x - 1} = 1 = e⁰ équivaut à 2x - 1 = 0, x = 1/2.

3. f'(x) = (1 × ln x + x × 1/x) - 1 = ln x + 1 - 1, f'(x) = ln x.

g = ln(u) avec u(x) = x² + 3 > 0 et u'(x) = 2x : g'(x) = 2x/(x² + 3). h = u² avec u = ln x : h' = 2u'u, h'(x) = 2 ln x / x. k = ln(u) avec u(x) = 1 - x > 0 et u'(x) = -1 : k'(x) = -1/(1 - x), k'(x) = 1/(x - 1).

4. a) Forme « +∞ - ∞ ». On factorise : ln x - x = x(ln x / x - 1). Par croissance comparée, ln x / x tend vers 0, donc la parenthèse tend vers -1 et x tend vers +∞ : la limite est -∞.

b) x² ln x = x × (x ln x). Or x ln x tend vers 0 en 0⁺ et x aussi : la limite est 0. c) On pose X = √x, qui tend vers +∞. Alors ln x = ln(X²) = 2 ln X et ln x / √x = 2 ln X / X, qui tend vers 0 : la limite est 0. d) Forme « +∞ - ∞ ». On écrit 1/x + ln x = (1 + x ln x)/x. Le numérateur tend vers 1 + 0 = 1 et le dénominateur vers 0 par valeurs positives : la limite est +∞.

5. a) pH = -log(3,0 × 10⁻⁵) = -(log 3,0 + log 10⁻⁵) = 5 - log 3,0 ≈ 5 - 0,477, pH ≈ 4,52.

b) [H₃O⁺] = 10^-8,2 = 10^0,8 × 10⁻⁹ ≈ 6,3 × 10⁻⁹, [H₃O⁺] ≈ 6,3 × 10⁻⁹ mol·L⁻¹.

6. a) En 0⁺ : x² tend vers 0 et -2 ln x tend vers +∞, donc lim f = +∞.

En +∞ : forme indéterminée « +∞ - ∞ ». On factorise f(x) = x²(1 - 2 ln x / x²). Par croissance comparée, ln x / x² tend vers 0, la parenthèse tend vers 1, donc lim f = +∞. b) f'(x) = 2x - 2/x = 2(x² - 1)/x = 2(x - 1)(x + 1)/x. Sur ]0 ; +∞[, x + 1 > 0 et x > 0, donc f'(x) a le signe de x - 1 : négatif sur ]0 ; 1[, positif sur ]1 ; +∞[. f est décroissante sur ]0 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[, de minimum f(1) = 1 - 0 = 1. Ainsi f(x) ≥ 1 > 0 pour tout x > 0 : f est strictement positive. c) f(e) = e² - 2 et f'(e) = 2e - 2/e. Tangente : y = (2e - 2/e)(x - e) + e² - 2. En développant, (2e - 2/e) × e = 2e² - 2, d'où y = (2e - 2/e)x - 2e² + 2 + e² - 2, soit y = (2e - 2/e)x - e².

7. a) Diminuer de 8 % revient à multiplier par 0,92. La suite est géométrique de premier terme 500 et de raison 0,92 : uₙ = 500 × 0,92ⁿ.

b) uₙ < 50 équivaut à 0,92ⁿ < 0,1, soit (ln croissante, deux membres positifs) n ln 0,92 < ln 0,1. Comme ln 0,92 < 0, n > ln 0,1 / ln 0,92 ≈ (-2,3026)/(-0,0834) ≈ 27,6. Le plus petit entier est n = 28. Vérification : u₂₇ ≈ 52,6 et u₂₈ ≈ 48,4. c) Comme 0 < 0,92 < 1, 0,92ⁿ tend vers 0 : la suite tend vers 0.

8. a) I/I₀ = 10⁻⁵/10⁻¹² = 10⁷, donc L = 10 × 7, L = 70 dB.

b) L'intensité double : L = 10 log(2 × 10⁷) = 10(log 2 + 7) ≈ 10 × 7,301, L ≈ 73 dB. c) 85 = 10 log(I/I₀) équivaut à I/I₀ = 10⁸,5, donc I = 10⁻¹² × 10⁸,5 = 10^-3,5, I ≈ 3,2 × 10⁻⁴ W·m⁻². d) N sources donnent N fois l'intensité, soit L = 70 + 10 log N. On veut 70 + 10 log N ≥ 85, soit log N ≥ 1,5, N ≥ 10¹,5 ≈ 31,6. Il faut au moins 32 sources.

9. a) Domaine : 2x + 1 > 0 et x + 3 > 0, soit x > -1/2. ln étant strictement croissante, l'inéquation équivaut à 2x + 1 ≥ x + 3, soit x ≥ 2. Avec le domaine : S = [2 ; +∞[.

b) On pose X = eˣ > 0 : X² - 3X + 2 ≤ 0, soit (X - 1)(X - 2) ≤ 0, donc 1 ≤ X ≤ 2. Ainsi 1 ≤ eˣ ≤ 2, soit, par croissance de ln, 0 ≤ x ≤ ln 2. S = [0 ; ln 2]. c) Domaine : x > 0 et x + 1 > 0, soit x > 0. L'inéquation s'écrit ln(x(x + 1)) ≥ ln 6, soit x² + x - 6 ≥ 0, c'est-à-dire (x + 3)(x - 2) ≥ 0, vrai pour x ≤ -3 ou x ≥ 2. Avec x > 0 : S = [2 ; +∞[.

10. a) λ = ln 2 / t½ = 0,6931/8,02, λ ≈ 8,64 × 10⁻² j⁻¹.

b) N(30)/N₀ = e^-30λ = e^{-30 ln 2 / 8,02} = 2^-30/8,02 ≈ 2^-3,741 ≈ e^-2,593 ≈ 0,075. Il reste environ 7,5 % des noyaux. c) L'activité est proportionnelle à N. e^-λt = 1/100 équivaut à t = ln 100 / λ = 8,02 × ln 100 / ln 2 ≈ 8,02 × 6,644, t ≈ 53,3 jours.

11. a) Vrai. Soit g(x) = x - 1 - ln x sur ]0 ; +∞[. g'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x, négatif sur ]0 ; 1[ et positif sur ]1 ; +∞[. Le minimum est g(1) = 0, donc g(x) ≥ 0, c'est-à-dire ln x ≤ x - 1. (C'est aussi la position de la courbe concave de ln sous sa tangente en 1.)

b) Faux. Contre-exemple : a = b = 1 donne ln 2 ≈ 0,693 à gauche et 0 à droite. c) Vrai. On pose x = e^X avec X tendant vers +∞ : (ln x)³/x = X³/e^X. Par croissance comparée de l'exponentielle et des puissances, X³/e^X tend vers 0. d) Vrai. La tangente à la courbe de ln en e a pour équation y = (1/e)(x - e) + 1 = x/e. La fonction ln étant concave, sa courbe est sous cette tangente : ln x ≤ x/e pour tout x > 0. L'égalité a lieu en x = e (ln e = 1 = e/e). Pour montrer qu'elle n'a lieu qu'en e, on étudie h(x) = x/e - ln x : h'(x) = 1/e - 1/x, négatif sur ]0 ; e[, positif sur ]e ; +∞[, donc h est strictement décroissante puis strictement croissante, de minimum h(e) = 0, et h(x) > 0 pour x ≠ e. Une seule solution : x = e.

12. a) k = ln 2 / t½ = ln 2 / 6, k ≈ 0,116 h⁻¹.

b) C(t) ≥ 2 équivaut à e^-kt ≥ 2/8 = 1/4, soit -kt ≥ -ln 4, t ≤ ln 4 / k = 2 ln 2 × 6 / ln 2 = 12. Le médicament est efficace pendant 12 h (deux demi-vies : 8 → 4 → 2). c) Avec C₀ = 16 : e^-kt ≥ 2/16 = 1/8, t ≤ ln 8 / k = 3 ln 2 × 6/ln 2 = 18 h. La durée augmente de 6 h seulement, soit une demi-vie : doubler la dose ne double pas la durée d'action, elle ajoute une demi-vie. Pour prolonger l'effet, on répète plutôt les prises. d) ln C(t) = ln C₀ + ln(e^-kt) = ln C₀ - kt. C'est une fonction affine de t, de pente -k ≈ -0,116 h⁻¹ et d'ordonnée à l'origine ln C₀. En pratique, on trace ln C en fonction de t et la pente de la droite donne k.

13. a) log(2²⁰²⁶) = 2026 × log 2 ≈ 2026 × 0,301030 ≈ 609,89. Donc 10⁶⁰⁹ ≤ 2²⁰²⁶ < 10⁶¹⁰, et le nombre de chiffres vaut 609 + 1, 610 chiffres.

b) Les deux membres sont positifs : 3ⁿ⁻¹ > 2ⁿ équivaut à (n - 1) ln 3 > n ln 2, soit n(ln 3 - ln 2) > ln 3. Comme ln 3 - ln 2 = ln(3/2) > 0, n > ln 3 / ln(3/2) ≈ 1,0986/0,4055 ≈ 2,71. Le plus petit entier est n = 3. Vérification : pour n = 2, 3¹ = 3 < 4 = 2² ; pour n = 3, 3² = 9 > 8 = 2³.

Ce chapitre prépare la partie Logarithmes, exponentielles et échelles du cours Outils mathématiques : calcul, logarithmes et incertitudes (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre