Vecteurs, droites et plans de l'espace

• Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace et les simplifier avec la relation de Chasles.
• Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires et en déduire un alignement de points ou un parallélisme de droites.
• Démontrer que trois vecteurs sont coplanaires, ou que quatre points sont coplanaires, par une décomposition vectorielle.
• Reconnaître une base de l'espace et décomposer un vecteur dans cette base.
• Choisir un repère adapté à une figure (cube, pavé, tétraèdre) et calculer les coordonnées de points, de vecteurs et de milieux.
• Écrire une représentation paramétrique d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur, ou de deux points.
• Tester l'appartenance d'un point à une droite ou à un plan défini par un point et deux vecteurs.
• Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans, et calculer leur intersection éventuelle.
• Utiliser les théorèmes d'incidence (théorème du toit, parallélisme d'une droite et d'un plan, de deux plans).

1. Vecteurs de l'espace

La notion de vecteur vue dans le plan s'étend sans changement à l'espace. À tout couple de points (A, B) on associe le vecteur AB→, caractérisé par une direction (celle de la droite (AB)), un sens (de A vers B) et une longueur (la distance AB). Le vecteur AB→ est associé à la translation qui envoie A sur B. Deux couples (A, B) et (C, D) définissent le même vecteur si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Le vecteur nul, noté 0→, est le vecteur AA→ pour n'importe quel point A.

Pour tout point O et tout vecteur u→, il existe un unique point M tel que OM→ = u→. Cette propriété permet de « placer » un vecteur à partir de n'importe quel point.

Les opérations sont les mêmes que dans le plan :

• Somme : u→ + v→ se construit en mettant les vecteurs bout à bout. La relation de Chasles s'écrit, pour tous points A, B, C : AB→ + BC→ = AC→.
• Produit par un réel : pour k réel, k·u→ a la même direction que u→, le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0, et une longueur multipliée par |k|.
• Opposé : -AB→ = BA→.

Les règles de calcul habituelles s'appliquent : k(u→ + v→) = ku→ + kv→, (k + k')u→ = ku→ + k'u→, k(k'u→) = (kk')u→.

Une combinaison linéaire de vecteurs u→, v→, w→ est un vecteur de la forme a·u→ + b·v→ + c·w→ avec a, b, c réels.

Un point clé : le milieu I de [AB] est caractérisé par IA→ + IB→ = 0→, ou encore AI→ = (1/2)AB→. Pour tout point M, on a alors MA→ + MB→ = 2MI→. Cette égalité, obtenue en écrivant MA→ = MI→ + IA→ et MB→ = MI→ + IB→, est souvent la clé des démonstrations dans les solides.

2. Colinéarité, droites de l'espace

Deux vecteurs u→ et v→ sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v→ = k·u→ ou u→ = k·v→. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Conséquences directes :

• Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB→ et AC→ sont colinéaires.
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB→ et CD→ sont colinéaires.

Une droite de l'espace est déterminée par un point A et un vecteur non nul u→, appelé vecteur directeur. On note d(A ; u→) la droite formée des points M tels que AM→ = t·u→, t décrivant ℝ. Tout vecteur non nul colinéaire à u→ est aussi un vecteur directeur de la même droite : une droite a une infinité de vecteurs directeurs.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Attention : dans l'espace, deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles (voir la partie 6).

3. Plans de l'espace et coplanarité

Caractérisation vectorielle d'un plan. Soient A un point et u→, v→ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points M tels que

AM→ = s·u→ + t·v→, avec s et t réels,

est un plan, noté P(A ; u→, v→). On dit que le couple (u→, v→) dirige le plan, ou que u→ et v→ sont des vecteurs directeurs du plan. Un plan contenant trois points non alignés A, B, C est dirigé par AB→ et AC→ : c'est le plan (ABC).

Pourquoi faut-il deux vecteurs non colinéaires ? Si u→ et v→ étaient colinéaires, les points M obtenus resteraient sur une droite. Deux directions indépendantes « ouvrent » une surface plane.

Vecteurs coplanaires. Trois vecteurs u→, v→, w→ sont coplanaires si, en les plaçant à partir d'un même point O (OA→ = u→, OB→ = v→, OC→ = w→), les points O, A, B, C sont dans un même plan.

Justification : si w→ = a·u→ + b·v→, alors OC→ = a·OA→ + b·OB→, donc C appartient au plan P(O ; u→, v→), qui contient aussi O, A, B. Réciproquement, si les quatre points sont dans ce plan, la caractérisation vectorielle donne l'écriture de OC→.

Une formulation équivalente, symétrique : u→, v→, w→ sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels a, b, c non tous nuls tels que a·u→ + b·v→ + c·w→ = 0→.

Points coplanaires. Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB→, AC→, AD→ sont coplanaires. Lorsque A, B, C ne sont pas alignés, cela revient à trouver a et b tels que AD→ = a·AB→ + b·AC→.

Direction d'un plan. Deux plans dirigés par des couples de vecteurs qui engendrent les mêmes combinaisons linéaires ont la même direction : ils sont parallèles. Concrètement, deux plans P(A ; u→, v→) et P'(A' ; u'→, v'→) sont parallèles si et seulement si u'→ et v'→ sont tous deux combinaisons linéaires de u→ et v→.

4. Bases et repères de l'espace

Une base de l'espace est un triplet (i→, j→, k→) de vecteurs non coplanaires.

Démonstration de l'unicité : si u→ = x·i→ + y·j→ + z·k→ = x'·i→ + y'·j→ + z'·k→, alors (x - x')i→ + (y - y')j→ + (z - z')k→ = 0→. Si l'un des coefficients, par exemple z - z', était non nul, on pourrait écrire k→ comme combinaison de i→ et j→, et les trois vecteurs seraient coplanaires, ce qui est exclu. Donc x = x', y = y', z = z'.

Existence (idée) : on place u→ = OM→. La droite passant par M et dirigée par k→ coupe le plan P(O ; i→, j→) en un point M' (elle ne lui est pas parallèle puisque k→ n'est pas dans la direction de ce plan). Alors OM'→ = x·i→ + y·j→ et M'M→ = z·k→.

Les réels (x, y, z) sont les coordonnées de u→ dans la base. On écrit u→(x ; y ; z).

Un repère de l'espace est un quadruplet (O ; i→, j→, k→) formé d'un point O, l'origine, et d'une base. Les coordonnées d'un point M sont celles du vecteur OM→. La première est l'abscisse, la deuxième l'ordonnée, la troisième la cote.

Le repère est orthonormé lorsque i→, j→, k→ sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. Seul ce cas permet de calculer des longueurs avec la formule AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²). Dans un repère quelconque (par exemple (A ; AB→, AD→, AE→) dans un pavé non cubique), cette formule est fausse.

Formules en coordonnées (valables dans tout repère) : pour A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB),

• AB→(xB - xA ; yB - yA ; zB - zA) ;
• le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ; (zA + zB)/2) ;
• si u→(x ; y ; z) et v→(x' ; y' ; z'), alors u→ + v→(x + x' ; y + y' ; z + z') et k·u→(kx ; ky ; kz).

Colinéarité en coordonnées. u→(x ; y ; z) et v→(x' ; y' ; z') sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. En pratique, on cherche k avec une coordonnée non nulle, puis on vérifie les deux autres. Une autre façon : les trois « produits en croix » xy' - x'y, xz' - x'z, yz' - y'z sont tous nuls. Contrairement au plan, une seule égalité ne suffit pas.

Choisir un repère dans un cube. Pour le cube ABCDEFGH (face ABCD en bas, E au-dessus de A, F au-dessus de B, etc.), le repère (A ; AB→, AD→, AE→) donne : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1). Pour un cube, ce repère est orthonormé si l'on prend l'arête comme unité.

5. Représentations paramétriques d'une droite

Dans un repère, soit d la droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u→(a ; b ; c), non nul. Un point M(x ; y ; z) appartient à d si et seulement s'il existe un réel t tel que AM→ = t·u→, c'est-à-dire :

x = xA + t·a y = yA + t·b z = zA + t·c, avec t ∈ ℝ.

Ce système est une représentation paramétrique de d ; t est le paramètre. À chaque valeur de t correspond un point de d, et à chaque point de d une unique valeur de t.

Remarques importantes :

• Une droite possède une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point de départ et de vecteur directeur. Deux systèmes d'apparence différente peuvent décrire la même droite.
• On lit directement un point (prendre t = 0) et un vecteur directeur (les coefficients de t).
• Le segment [AB] correspond à t ∈ [0 ; 1] dans la représentation de point A et de vecteur AB→ ; la demi-droite [AB) à t ≥ 0.

Tester l'appartenance d'un point. Pour savoir si C(xC ; yC ; zC) est sur d, on résout l'une des équations pour trouver t (si son coefficient est non nul), puis on vérifie les deux autres avec cette valeur. Si une seule équation échoue, le point n'est pas sur la droite.

Représentation paramétrique d'un plan. De la même façon, le plan P(A ; u→, v→) avec u→(a ; b ; c) et v→(a' ; b' ; c') est l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que x = xA + s·a + t·a', y = yA + s·b + t·b', z = zA + s·c + t·c', avec s et t réels. Il y a deux paramètres, car un plan a deux directions indépendantes. Cette écriture sert surtout à tester l'appartenance d'un point ou à calculer une intersection ; l'équation cartésienne d'un plan, plus maniable, sera vue avec le produit scalaire.

6. Positions relatives de droites et de plans

Deux droites. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires.

• Coplanaires : elles sont parallèles (strictement parallèles ou confondues) ou sécantes en un point.
• Non coplanaires : elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.

En pratique, pour d : M = A + t·u→ et d' : M = B + s·v→, on écrit l'égalité des coordonnées avec deux paramètres distincts t et s, puis on résout le système de trois équations à deux inconnues : on tire t et s de deux équations, puis on teste la troisième.

Une droite et un plan. Une droite d et un plan P sont :

• sécants en un point unique ;
• parallèles : soit d est incluse dans P, soit d et P n'ont aucun point commun (strictement parallèles).

Deux plans. Deux plans distincts sont soit parallèles (aucun point commun), soit sécants selon une droite. Deux plans ne peuvent pas avoir un seul point commun.

Justification du théorème du toit : soit u→ un vecteur directeur commun à d₁ et d₂. Il est un vecteur de la direction de P₁ et de celle de P₂. Si Δ n'était pas dirigée par u→, la direction de P₁ serait engendrée par u→ et un vecteur directeur w→ de Δ, et de même pour P₂ : les deux plans auraient la même direction tout en contenant Δ, ils seraient confondus, ce qui contredit le fait qu'ils sont sécants selon une droite.

Le théorème du toit est l'outil principal pour construire la section d'un solide par un plan : quand le plan de coupe rencontre deux faces parallèles d'un cube, il les coupe selon deux segments parallèles.

Méthode générale par le calcul. Toutes ces positions se décident avec des systèmes : on égale les coordonnées des points génériques (avec des paramètres distincts) et on étudie le nombre de solutions. Aucune solution : objets disjoints. Une solution unique : un point commun. Une infinité : inclusion ou intersection selon une droite.

Exemple 1 : une relation vectorielle dans un tétraèdre

Énoncé. ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB] et J celui de [CD]. Montrer que IJ→ = (1/2)(AD→ + BC→). En déduire que les vecteurs IJ→, AD→ et BC→ sont coplanaires.

Résolution.

On décompose IJ→ de deux façons avec la relation de Chasles, en passant par des chemins qui utilisent AD→ et BC→ :

IJ→ = IA→ + AD→ + DJ→ IJ→ = IB→ + BC→ + CJ→

En additionnant membre à membre :

2IJ→ = (IA→ + IB→) + AD→ + BC→ + (DJ→ + CJ→).

Comme I est le milieu de [AB], IA→ + IB→ = 0→. Comme J est le milieu de [CD], JC→ + JD→ = 0→, donc DJ→ + CJ→ = -(JD→ + JC→) = 0→.

Il reste 2IJ→ = AD→ + BC→, soit IJ→ = (1/2)AD→ + (1/2)BC→.

Conclusion : IJ→ s'écrit comme combinaison linéaire de AD→ et BC→. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (sinon (AD) et (BC) seraient parallèles et A, B, C, D seraient coplanaires, ce qui est exclu pour un tétraèdre). D'après la caractérisation, IJ→, AD→, BC→ sont coplanaires.

Exemple 2 : quatre points sont-ils coplanaires ?

Énoncé. Dans un repère de l'espace, on donne A(1 ; 2 ; -1), B(3 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 2), D(2 ; -1 ; 3) et E(0 ; 1 ; 1). a) Montrer que A, B, C ne sont pas alignés. b) Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? c) Même question pour A, B, C, E.

Résolution.

a) AB→(3 - 1 ; 1 - 2 ; 0 - (-1)) = (2 ; -1 ; 1) et AC→(0 - 1 ; 0 - 2 ; 2 - (-1)) = (-1 ; -2 ; 3). S'ils étaient colinéaires, on aurait AC→ = k·AB→ ; la première coordonnée impose k = -1/2, et la deuxième donnerait -2 = (-1/2)(-1) = 1/2, ce qui est faux. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : A, B, C ne sont pas alignés et définissent le plan (ABC).

b) AD→(1 ; -3 ; 4). On cherche a et b tels que AD→ = a·AB→ + b·AC→ :

2a - b = 1 -a - 2b = -3 a + 3b = 4

La première équation donne b = 2a - 1. En remplaçant dans la deuxième : -a - 2(2a - 1) = -3, soit -5a + 2 = -3, donc a = 1 et b = 1. Vérification dans la troisième : 1 + 3 × 1 = 4. Elle est satisfaite. Donc AD→ = AB→ + AC→ et A, B, C, D sont coplanaires (ABDC est même un parallélogramme).

c) AE→(-1 ; -1 ; 2). On résout 2a - b = -1, -a - 2b = -1. La première donne b = 2a + 1, puis -a - 4a - 2 = -1, soit a = -1/5 et b = 3/5. Troisième équation : a + 3b = -1/5 + 9/5 = 8/5, alors qu'il faudrait 2. Le système n'a pas de solution : A, B, C, E ne sont pas coplanaires.

Exemple 3 : position de deux droites, intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé. On considère les droites d : x = 1 + 2t, y = t, z = 2 - t (t ∈ ℝ) et d' : x = s, y = 3 - s, z = 1 + s (s ∈ ℝ). Soit P le plan passant par O(0 ; 0 ; 0) et dirigé par w₁→(1 ; 0 ; 1) et w₂→(0 ; 1 ; 1). a) Étudier la position relative de d et d'. b) Déterminer l'intersection de d et de P.

Résolution.

a) Vecteurs directeurs : u→(2 ; 1 ; -1) pour d et v→(1 ; -1 ; 1) pour d'. Le rapport des premières coordonnées vaut 2, celui des deuxièmes vaut -1 : ils ne sont pas proportionnels, donc d et d' ne sont pas parallèles. On cherche un point commun, avec deux paramètres distincts :

1 + 2t = s t = 3 - s 2 - t = 1 + s

On remplace s = 1 + 2t dans la deuxième : t = 3 - 1 - 2t, donc 3t = 2, t = 2/3 et s = 1 + 4/3 = 7/3. Troisième équation : 2 - 2/3 = 4/3 d'un côté, 1 + 7/3 = 10/3 de l'autre. Contradiction. Les droites n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : d et d' sont non coplanaires.

b) Un point de P s'écrit OM→ = a·w₁→ + b·w₂→, soit M(a ; b ; a + b). Un point de d appartient à P si et seulement s'il existe a, b tels que :

1 + 2t = a t = b 2 - t = a + b

En remplaçant : 2 - t = 1 + 2t + t, donc 1 = 4t et t = 1/4. Le point d'intersection a pour coordonnées x = 1 + 1/2 = 3/2, y = 1/4, z = 2 - 1/4 = 7/4. Vérification : a = 3/2, b = 1/4, a + b = 7/4. d et P sont sécants au point K(3/2 ; 1/4 ; 7/4).

• Pour démontrer une égalité vectorielle dans un solide, pars du vecteur cherché et décompose-le avec Chasles en passant par les points qui interviennent dans le résultat ; fais apparaître des sommes du type IA→ + IB→ qui s'annulent.
• Pour prouver une colinéarité en coordonnées, trouve k sur une coordonnée non nulle puis vérifie les deux autres : une seule vérification ne suffit jamais dans l'espace.
• Pour la coplanarité de quatre points, vérifie d'abord que trois d'entre eux ne sont pas alignés, puis cherche a et b sur deux équations et teste la troisième.
• Quand tu cherches l'intersection de deux droites données par des représentations paramétriques, utilise deux paramètres différents (t et s). Garder la même lettre revient à imposer le même « instant » et fait conclure à tort qu'il n'y a pas d'intersection.
• Deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles : dans l'espace elles peuvent être non coplanaires. Vérifie toujours la colinéarité des vecteurs directeurs.
• Deux représentations paramétriques différentes peuvent décrire la même droite : compare les vecteurs directeurs puis teste un point avant de conclure.
• La formule de distance √(Δx² + Δy² + Δz²) n'est valable que dans un repère orthonormé.
• Trois vecteurs deux à deux non colinéaires ne forment pas forcément une base : i→, j→ et i→ + j→ sont coplanaires.
• Pour construire une section de solide, utilise le théorème du toit et le fait qu'un plan coupe deux faces parallèles selon des segments parallèles.

En PASS, les vecteurs de l'espace sont l'outil de base de la biophysique et de la mécanique : décomposition d'une force sur des axes, description de la position d'un point dans un repère, géométrie des molécules (positions des atomes, axes de symétrie). Les représentations paramétriques réapparaissent dans la description de trajectoires rectilignes, et la recherche d'intersections se ramène presque toujours à la résolution d'un système linéaire de plusieurs équations à plusieurs inconnues. Savoir reconnaître rapidement qu'un système n'a pas de solution, en a une seule ou une infinité, et interpréter ce résultat géométriquement, fait gagner un temps précieux sur les QCM de calcul.

Niveau 1 : s'entraîner

1. A, B, C, D sont quatre points de l'espace. Simplifie les vecteurs u→ = AB→ - AC→ + BD→ et v→ = AB→ + CD→ + BC→ + DA→.

2. Dans un repère, on donne u→(2 ; -4 ; 6), v→(-1 ; 2 ; -3) et w→(3 ; -6 ; 8). Les vecteurs u→ et v→ sont-ils colinéaires ? Et u→ et w→ ?

3. On donne A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 5 ; 4).

a) Écris une représentation paramétrique de la droite (AB). b) Les points C(7 ; 11 ; 6) et D(5 ; 8 ; 6) appartiennent-ils à (AB) ?

4. On donne A(2 ; -1 ; 4), B(0 ; 3 ; -2) et D(1 ; 0 ; 0).

a) Calcule les coordonnées du milieu I de [AB] et du vecteur AB→. b) Détermine les coordonnées du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.

5. ABCDEFGH est un cube (ABCD est la face du bas, E, F, G, H sont respectivement au-dessus de A, B, C, D). Donne, sans calcul et en justifiant, la position relative de :

a) les droites (AB) et (GH) ; b) les droites (AB) et (CG) ; c) la droite (AE) et le plan (BCG) ; d) les plans (ABC) et (EFG) ; e) les plans (ABF) et (BCG).

Niveau 2 : type bac

6. ABCD est un tétraèdre. I, J, K sont les milieux respectifs de [AB], [AC] et [AD].

a) Exprime IJ→ en fonction de BC→. b) Exprime IK→ en fonction de BD→. c) Démontre que les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles.

7. Dans un repère (O ; i→, j→, k→), on donne A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) et D(1 ; 1 ; 1).

a) Démontre que A, B, C ne sont pas alignés. b) Le point D appartient-il au plan (ABC) ? c) Détermine les coordonnées du point d'intersection de la droite (OD) et du plan (ABC).

8. On considère les droites d : x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t (t ∈ ℝ) et d' : x = 2 + s, y = 2 - 2s, z = 4 + s (s ∈ ℝ).

a) Montre que d et d' ne sont pas parallèles. b) Démontre qu'elles sont sécantes et donne leur point d'intersection. c) Soit d'' la droite passant par E(5 ; 0 ; 1) de vecteur directeur w→(-2 ; 2 ; -4). Quelle est la position relative de d et d'' ?

9. On note P le plan passant par A(1 ; 1 ; 0) et dirigé par u→(1 ; 0 ; 1) et v→(0 ; 1 ; 2). On considère la droite Δ : x = t, y = 2t, z = 1 + t (t ∈ ℝ).

a) Démontre que Δ et P sont sécants et calcule les coordonnées de leur point commun. b) Soit Δ' la droite passant par O(0 ; 0 ; 0) et dirigée par w→(1 ; 1 ; 3). Montre que Δ' est strictement parallèle à P.

Niveau 3 : vers le PASS

10. Dans un repère, on donne v→(0 ; 1 ; 1), w→(2 ; 1 ; 1) et, pour un réel m, u→(1 ; 2 ; m). Détermine la valeur de m pour laquelle u→, v→, w→ sont coplanaires. Pour les autres valeurs, que forment-ils ?

11. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse (démonstration ou contre-exemple).

a) Deux droites de l'espace sans point commun sont parallèles. b) Trois vecteurs deux à deux non colinéaires forment une base de l'espace. c) Si une droite d est parallèle à deux plans sécants P₁ et P₂, alors d est parallèle à leur droite d'intersection. d) Deux plans parallèles à une même droite sont parallèles entre eux.

12. Pour tout réel m, on note d_m la droite passant par A(1 ; 0 ; 0) et dirigée par u→(1 ; m ; 1), et d la droite x = s, y = 1 + s, z = 2s (s ∈ ℝ). Discute, selon m, la position relative de d_m et d.

13. ABCD est un tétraèdre. On note G le point tel que GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ et I le point tel que IB→ + IC→ + ID→ = 0→ (centre de gravité du triangle BCD).

a) Démontre que AG→ = (1/4)(AB→ + AC→ + AD→). b) Démontre que AI→ = (1/3)(AB→ + AC→ + AD→). c) En déduire que A, G, I sont alignés et préciser la position de G sur [AI].

1. Pour u→ : AB→ - AC→ = AB→ + CA→ = CA→ + AB→ = CB→ (Chasles). Donc u→ = CB→ + BD→ = CD→.

Pour v→ : on réordonne la somme pour enchaîner les points : v→ = AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = AC→ + CD→ + DA→ = AD→ + DA→ = AA→ = 0→.

2. Pour u→ et v→ : la première coordonnée donne k = -1/2 si v→ = k·u→. Vérification : (-1/2) × (-4) = 2 et (-1/2) × 6 = -3. Les trois coordonnées concordent, donc v→ = (-1/2)u→ : u→ et v→ sont colinéaires.

Pour u→ et w→ : la première coordonnée donne k = 3/2, la deuxième (3/2) × (-4) = -6 convient, mais la troisième donne (3/2) × 6 = 9 ≠ 8. u→ et w→ ne sont pas colinéaires.

3. a) AB→(3 - 1 ; 5 - 2 ; 4 - 3) = (2 ; 3 ; 1), non nul. Une représentation paramétrique de (AB) est x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + t, t ∈ ℝ.

b) Pour C : 1 + 2t = 7 donne t = 3 ; alors y = 2 + 9 = 11 et z = 3 + 3 = 6, ce qui correspond à C. C ∈ (AB). Pour D : 1 + 2t = 5 donne t = 2 ; y = 2 + 6 = 8 convient, mais z = 3 + 2 = 5 ≠ 6. D ∉ (AB).

4. a) I((2 + 0)/2 ; (-1 + 3)/2 ; (4 - 2)/2), donc I(1 ; 1 ; 1). AB→(0 - 2 ; 3 - (-1) ; -2 - 4), donc AB→(-2 ; 4 ; -6).

b) ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→ = DC→. En notant C(x ; y ; z) : x - 1 = -2, y - 0 = 4, z - 0 = -6. Donc C(-1 ; 4 ; -6).

5. a) ABGH est un rectangle (AB→ = HG→), donc (AB) et (GH) sont parallèles (strictement, car distinctes).

b) (AB) est dans le plan de la face du bas ; (CG) coupe ce plan uniquement en C, qui n'est pas sur (AB). Elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles (AB→ horizontal, CG→ vertical) : non coplanaires. c) (AE) est parallèle à (BF), qui est contenue dans le plan (BCG). Donc (AE) est parallèle au plan (BCG) ; comme A n'appartient pas à ce plan, (AE) est strictement parallèle à (BCG). d) Ce sont les plans de deux faces opposées du cube : parallèles (strictement). Par exemple (AB) ∥ (EF) et (AD) ∥ (EH), deux droites sécantes de (ABC) parallèles à deux droites de (EFG). e) Ces plans contiennent tous les deux B et F et sont distincts : ils sont sécants selon la droite (BF).

6. a) I et J sont les milieux de [AB] et [AC]. IJ→ = IA→ + AJ→ = (1/2)BA→ + (1/2)AC→ = (1/2)(BA→ + AC→) = (1/2)BC→.

b) De même, IK→ = IA→ + AK→ = (1/2)BA→ + (1/2)AD→ = (1/2)BD→. c) D'après a) et b), la droite (IJ) est parallèle à (BC) et la droite (IK) est parallèle à (BD). Les droites (IJ) et (IK) sont sécantes en I et contenues dans le plan (IJK) ; (BC) et (BD) sont contenues dans (BCD). Deux droites sécantes de (IJK) sont parallèles à deux droites de (BCD) : les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles.

7. a) AB→(-1 ; 2 ; 0) et AC→(-1 ; 0 ; 3). Si AC→ = k·AB→, la première coordonnée impose k = 1, mais alors la deuxième donnerait 0 = 2 : impossible. A, B, C ne sont pas alignés.

b) AD→(0 ; 1 ; 1). On cherche a, b tels que AD→ = a·AB→ + b·AC→ : -a - b = 0 ; 2a = 1 ; 3b = 1. Les deux dernières donnent a = 1/2, b = 1/3, et alors -a - b = -5/6 ≠ 0. Pas de solution : D n'appartient pas au plan (ABC). c) La droite (OD) est l'ensemble des points M(k ; k ; k), k réel. Un point du plan (ABC) s'écrit A + a·AB→ + b·AC→ = (1 - a - b ; 2a ; 3b). On veut 1 - a - b = k, 2a = k, 3b = k. Donc a = k/2, b = k/3, puis 1 - k/2 - k/3 = k, soit 1 = k(1 + 1/2 + 1/3) = 11k/6, d'où k = 6/11. Le point d'intersection est M(6/11 ; 6/11 ; 6/11).

8. a) Vecteurs directeurs u→(1 ; -1 ; 2) et v→(1 ; -2 ; 1). La première coordonnée imposerait k = 1, mais -2 ≠ -1. Ils ne sont pas colinéaires : d et d' ne sont pas parallèles.

b) On résout 2 + t = 2 + s, 1 - t = 2 - 2s, 3 + 2t = 4 + s. La première donne t = s ; la deuxième devient 1 - s = 2 - 2s, donc s = 1 et t = 1. Troisième : 3 + 2 = 5 et 4 + 1 = 5, vérifiée. d et d' sont sécantes au point (3 ; 0 ; 5). c) w→(-2 ; 2 ; -4) = -2·u→, donc d'' est parallèle à d. Le point E(5 ; 0 ; 1) est-il sur d ? 2 + t = 5 donne t = 3, puis y = 1 - 3 = -2 ≠ 0. E ∉ d, donc d et d'' sont strictement parallèles.

9. a) Un point de P s'écrit (1 + a ; 1 + b ; a + 2b). Un point de Δ est dans P s'il existe a, b avec t = 1 + a, 2t = 1 + b, 1 + t = a + 2b. On obtient a = t - 1 et b = 2t - 1, puis a + 2b = t - 1 + 4t - 2 = 5t - 3. L'équation 5t - 3 = 1 + t donne t = 1, valeur unique. Δ et P sont sécants au point (1 ; 2 ; 2) (avec a = 0, b = 1 : on retrouve bien (1 ; 2 ; 2)).

b) w→(1 ; 1 ; 3) = u→ + v→ = (1 + 0 ; 0 + 1 ; 1 + 2) : w→ est combinaison linéaire des vecteurs directeurs de P, donc Δ' est parallèle à P. Pour savoir si Δ' est incluse, on teste O : (1 + a ; 1 + b ; a + 2b) = (0 ; 0 ; 0) impose a = -1, b = -1, puis a + 2b = -3 ≠ 0. O ∉ P, donc Δ' est strictement parallèle à P.

10. v→ et w→ ne sont pas colinéaires (première coordonnée 0 pour v→, 2 pour w→, alors que v→ est non nul). u→, v→, w→ sont coplanaires si et seulement s'il existe a, b tels que u→ = a·v→ + b·w→ :

1 = 2b ; 2 = a + b ; m = a + b. Donc b = 1/2, a = 3/2, et m = a + b = 2. Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si m = 2. Pour m ≠ 2, ils ne sont pas coplanaires : (u→, v→, w→) est une base de l'espace.

11. a) Faux. Dans un cube, (AB) et (CG) n'ont aucun point commun mais ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires.

b) Faux. i→, j→ et i→ + j→ sont deux à deux non colinéaires mais coplanaires (le troisième est combinaison des deux premiers) : ils ne forment pas une base. c) Vrai. Soit u→ un vecteur directeur de d et Δ la droite d'intersection de P₁ et P₂. Par un point M de Δ, la droite d₁ dirigée par u→ est contenue dans P₁ (car d ∥ P₁) et dans P₂ (car d ∥ P₂). Elle est donc contenue dans P₁ ∩ P₂ = Δ, d'où d₁ = Δ. Ainsi Δ est dirigée par u→ et est parallèle à d. d) Faux. Dans le cube, les plans (ABF) et (BCG) contiennent tous les deux la droite (BF) ; ils sont donc tous les deux parallèles à la droite (DH), qui est parallèle à (BF) et n'est contenue dans aucun des deux. Pourtant ils sont sécants selon (BF).

12. Vecteurs directeurs u→(1 ; m ; 1) et v→(1 ; 1 ; 2). Pour que u→ = k·v→, il faudrait k = 1 (première coordonnée) et k = 1/2 (troisième) : impossible. Les droites ne sont jamais parallèles, quel que soit m.

On cherche un point commun : 1 + t = s, m·t = 1 + s, t = 2s. Les équations 1 et 3 donnent 1 + 2s = s, donc s = -1 et t = -2. La deuxième devient -2m = 1 + (-1) = 0, donc m = 0. Conclusion : si m = 0, d₀ et d sont sécantes au point (-1 ; 0 ; -2) (vérification sur d avec s = -1 : (-1 ; 0 ; -2)) ; si m ≠ 0, d_m et d sont non coplanaires.

13. a) On introduit A dans chaque vecteur : GA→ + (GA→ + AB→) + (GA→ + AC→) + (GA→ + AD→) = 0→, soit 4GA→ + AB→ + AC→ + AD→ = 0→. Donc 4AG→ = AB→ + AC→ + AD→ et AG→ = (1/4)(AB→ + AC→ + AD→).

b) De même : (IA→ + AB→) + (IA→ + AC→) + (IA→ + AD→) = 0→, soit 3IA→ + AB→ + AC→ + AD→ = 0→, donc AI→ = (1/3)(AB→ + AC→ + AD→). c) D'après a) et b), AB→ + AC→ + AD→ = 3AI→, donc AG→ = (3/4)AI→. Les vecteurs AG→ et AI→ sont colinéaires : A, G, I sont alignés, et G est sur le segment [AI], aux trois quarts de A vers I (AG = (3/4)AI).

Ce chapitre prépare la partie Systèmes linéaires et calcul numérique du cours Outils mathématiques : calcul, logarithmes et incertitudes (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre