Raisonnement par récurrence et limites de suites

• Rédiger une démonstration par récurrence complète : initialisation, hérédité, conclusion.
• Démontrer l'inégalité de Bernoulli et l'utiliser pour minorer une puissance.
• Reconnaître une suite convergente, divergente vers l'infini ou sans limite, à partir des définitions.
• Calculer une limite à l'aide des opérations sur les limites et lever une forme indéterminée.
• Utiliser les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes.
• Établir qu'une suite monotone et bornée converge, puis déterminer sa limite.
• Déterminer la limite d'une suite géométrique (qⁿ) selon la valeur de q.
• Calculer la somme des termes d'une suite géométrique et sa limite.
• Combiner récurrence, monotonie et limites dans l'étude d'une suite définie par récurrence.

1. Le principe de récurrence

Beaucoup de propriétés portent sur tous les entiers naturels : « pour tout n, uₙ ≤ 5 », « pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 ». On ne peut pas les vérifier une par une, il y en a une infinité. Le raisonnement par récurrence permet de les établir en deux étapes seulement.

Principe de récurrence. Soit P(n) une propriété qui dépend d'un entier naturel n, et n₀ un entier. Si :

• initialisation : P(n₀) est vraie ;
• hérédité : pour tout entier n ≥ n₀, si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie ;

alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

L'image habituelle est celle des dominos : le premier tombe (initialisation), et chaque domino qui tombe fait tomber le suivant (hérédité). Tous les dominos finissent par tomber. Ce principe est un axiome de la construction des entiers : on ne le démontre pas, on l'utilise.

Dans l'hérédité, la phrase « supposons P(n) vraie » s'appelle l'hypothèse de récurrence. On ne suppose pas que la propriété est vraie pour tout n (ce serait supposer ce qu'on veut démontrer) : on fixe un entier n quelconque pour lequel elle est vraie, et on montre qu'elle se transmet au rang suivant.

Exemple. Montrons que pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2.

• Initialisation : pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et celui de droite 1 × 2/2 = 1. P(1) est vraie.
• Hérédité : soit n ≥ 1 tel que 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2. Alors 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n/2 + 1) = (n + 1)(n + 2)/2. C'est exactement P(n + 1).
• Conclusion : la propriété est vraie pour tout n ≥ 1.

Exemple avec une suite définie par récurrence. Soit u₀ = 0 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1. On conjecture uₙ = 2ⁿ - 1 (u₁ = 1, u₂ = 3, u₃ = 7). Initialisation : 2⁰ - 1 = 0 = u₀. Hérédité : si uₙ = 2ⁿ - 1, alors uₙ₊₁ = 2(2ⁿ - 1) + 1 = 2ⁿ⁺¹ - 1. La formule est donc vraie pour tout n.

La récurrence sert à démontrer des égalités (formules explicites, sommes), des inégalités (encadrements, minorations) et des propriétés de monotonie (uₙ ≤ uₙ₊₁ pour tout n).

2. L'inégalité de Bernoulli

Propriété (inégalité de Bernoulli). Pour tout réel a > 0 et tout entier naturel n : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.

Démonstration par récurrence. Fixons a > 0 et notons P(n) : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.

• Initialisation : (1 + a)⁰ = 1 et 1 + 0 × a = 1, donc P(0) est vraie.
• Hérédité : supposons (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour un entier n. Comme 1 + a > 0, on peut multiplier les deux membres par 1 + a sans changer le sens : (1 + a)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na² = 1 + (n + 1)a + na². Or na² ≥ 0, donc (1 + a)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)a. P(n + 1) est vraie.
• Conclusion : P(n) est vraie pour tout n.

Le point clé est le signe de 1 + a : multiplier une inégalité par un nombre négatif en change le sens. L'inégalité reste d'ailleurs vraie pour -1 ≤ a ≤ 0 avec la même preuve, puisque 1 + a ≥ 0.

L'intérêt de Bernoulli est de comparer une croissance géométrique, difficile à manipuler, à une croissance affine, facile : 1,01ⁿ ≥ 1 + 0,01n, et le membre de droite dépasse n'importe quel nombre pour n assez grand. C'est l'outil qui permet de démontrer que qⁿ tend vers +∞ quand q > 1 (partie 7).

3. Limite d'une suite

On s'intéresse au comportement des termes uₙ quand n devient très grand.

Limite finie. On dit que la suite (uₙ) converge vers le réel ℓ (ou admet ℓ pour limite) si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes uₙ à partir d'un certain rang. On note lim uₙ = ℓ (sous-entendu quand n tend vers +∞).

Autrement dit, aussi petite que soit la marge ε > 0 choisie, on a ℓ - ε < uₙ < ℓ + ε dès que n est assez grand. Le rang à partir duquel cela se produit dépend en général de ε.

Propriété. Si une suite converge, sa limite est unique. (Deux intervalles ouverts disjoints autour de deux limites différentes ne peuvent pas contenir tous deux tous les termes à partir d'un certain rang.)

Limite infinie. La suite (uₙ) tend vers +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes uₙ à partir d'un certain rang : les termes finissent par dépasser définitivement n'importe quel seuil A. De même, (uₙ) tend vers -∞ si tout intervalle ]-∞ ; A[ contient tous les termes à partir d'un certain rang.

Exemple. uₙ = n². Pour A > 0 donné, n² > A dès que n > √A. Donc lim n² = +∞.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Il y a deux cas bien distincts : la suite tend vers +∞ ou -∞, ou bien elle n'a pas de limite du tout. Ainsi uₙ = (-1)ⁿ prend alternativement les valeurs 1 et -1 : aucun intervalle de largeur inférieure à 2 ne contient tous ses termes à partir d'un rang, et elle ne tend pas vers l'infini. Elle n'a pas de limite.

Suites de référence (à connaître) :

Propriété. Une suite convergente est bornée. En effet, à partir d'un rang N, tous les termes sont dans ]ℓ - 1 ; ℓ + 1[, et il ne reste qu'un nombre fini de termes avant N : le plus grand et le plus petit d'entre eux complètent l'encadrement. La réciproque est fausse : (-1)ⁿ est bornée mais diverge.

4. Opérations sur les limites

Les règles suivantes s'appliquent à deux suites (uₙ) et (vₙ) ayant chacune une limite (finie ou infinie). ℓ et ℓ' désignent des réels. « FI » signifie forme indéterminée : les règles ne permettent pas de conclure directement, il faut transformer l'expression.

Somme.

Produit.

Quotient.

Les quatre formes indéterminées sont donc : ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0. Elles ne signifient pas que la limite n'existe pas : elles signifient que le résultat dépend de la façon dont chaque terme tend vers sa limite. Par exemple n² - n et n - n² sont toutes deux de la forme ∞ - ∞, mais la première tend vers +∞ et la seconde vers -∞.

Lever une indétermination. Trois techniques couvrent la plupart des cas.

• Factoriser par le terme dominant. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en n, on met en facteur la plus grande puissance. Exemple : uₙ = n² - 5n = n²(1 - 5/n). Comme 1 - 5/n tend vers 1 et n² vers +∞, lim uₙ = +∞. Pour un quotient, vₙ = (2n + 1)/(3n - 4) = n(2 + 1/n) / (n(3 - 4/n)) = (2 + 1/n)/(3 - 4/n), qui tend vers 2/3.
• Multiplier par la quantité conjuguée quand des racines carrées créent un ∞ - ∞ : √(n + 1) - √n = ((n + 1) - n) / (√(n + 1) + √n) = 1/(√(n + 1) + √n), qui tend vers 0.
• Simplifier une expression avant de passer à la limite (développer, réduire au même dénominateur).

Pour un polynôme en n, la limite en +∞ est celle de son terme de plus haut degré ; pour un quotient de polynômes, c'est la limite du quotient des termes de plus haut degré. Ce raccourci se justifie toujours par la factorisation précédente, qu'il faut écrire sur une copie.

5. Théorèmes de comparaison et des gendarmes

Quand une suite n'est pas une simple combinaison de suites de référence (présence de (-1)ⁿ, de sinus, de cosinus), on l'encadre.

Théorème de comparaison (limites infinies). Soient (uₙ) et (vₙ) deux suites telles que uₙ ≥ vₙ à partir d'un certain rang.

• Si lim vₙ = +∞, alors lim uₙ = +∞.
• Si lim uₙ = -∞, alors lim vₙ = -∞.

Démonstration du premier point. Soit A un réel. Comme vₙ tend vers +∞, il existe un rang N₁ à partir duquel vₙ > A. Par hypothèse, il existe un rang N₂ à partir duquel uₙ ≥ vₙ. Pour n supérieur à N₁ et N₂, on a uₙ ≥ vₙ > A. Tout intervalle ]A ; +∞[ contient donc tous les termes uₙ à partir d'un certain rang : uₙ tend vers +∞.

Théorème des gendarmes (admis). Soient (uₙ), (vₙ), (wₙ) trois suites telles que vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir d'un certain rang. Si (vₙ) et (wₙ) convergent vers la même limite ℓ, alors (uₙ) converge vers ℓ.

Exemple. uₙ = (-1)ⁿ/n pour n ≥ 1. On a -1/n ≤ uₙ ≤ 1/n, et les deux suites qui encadrent tendent vers 0. Donc lim uₙ = 0.

Passage à la limite dans une inégalité. Si uₙ ≤ vₙ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors lim uₙ ≤ lim vₙ. Attention : une inégalité stricte devient large à la limite. Par exemple 1/n > 0 pour tout n ≥ 1, mais lim 1/n = 0.

6. Suites monotones bornées

Rappels : (uₙ) est majorée s'il existe un réel M tel que uₙ ≤ M pour tout n ; minorée s'il existe m tel que uₙ ≥ m pour tout n ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème de convergence monotone (admis).

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème assure l'existence d'une limite sans la donner. On la détermine ensuite par un autre moyen (formule explicite, équation vérifiée par la limite). Il ne dit pas non plus que la limite est égale au majorant trouvé : la suite 1 - 1/n est croissante, majorée par 5, mais converge vers 1.

Propriété. Si (uₙ) est croissante et converge vers ℓ, alors uₙ ≤ ℓ pour tout n. En effet, si un terme u_p dépassait ℓ, tous les termes suivants seraient supérieurs ou égaux à u_p > ℓ, et l'intervalle ouvert ]ℓ - 1 ; u_p[ ne contiendrait aucun terme à partir du rang p : contradiction.

Théorème. Une suite croissante non majorée tend vers +∞. Démonstration : soit A un réel. La suite n'étant pas majorée, A n'est pas un majorant : il existe un rang N tel que u_N > A. La suite étant croissante, pour tout n ≥ N, uₙ ≥ u_N > A. Donc lim uₙ = +∞. De même, une suite décroissante non minorée tend vers -∞.

Déterminer la limite d'une suite uₙ₊₁ = f(uₙ). Lorsque (uₙ) converge vers ℓ et que l'expression f(uₙ) se traite par les opérations sur les limites, on passe à la limite des deux côtés de l'égalité uₙ₊₁ = f(uₙ). Comme (uₙ₊₁) a la même limite que (uₙ), on obtient une équation dont ℓ est solution. Par exemple, si uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3 et si (uₙ) converge vers ℓ, alors 0,5uₙ + 3 tend vers 0,5ℓ + 3 et l'unicité de la limite donne ℓ = 0,5ℓ + 3, d'où ℓ = 6. Le chapitre sur la continuité généralise cette méthode.

7. Limites des suites géométriques

Théorème. Soit q un réel.

• Si q > 1, lim qⁿ = +∞.
• Si q = 1, qⁿ = 1 pour tout n, donc lim qⁿ = 1.
• Si -1 < q < 1, lim qⁿ = 0.
• Si q ≤ -1, la suite (qⁿ) n'a pas de limite.

Démonstration du cas q > 1. Posons a = q - 1 > 0. Par l'inégalité de Bernoulli, qⁿ = (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na. Or lim (1 + na) = +∞ car a > 0. Par le théorème de comparaison, lim qⁿ = +∞.

Justification du cas -1 < q < 1. Si q = 0, c'est immédiat. Sinon, posons Q = 1/|q| > 1. Alors |q|ⁿ = 1/Qⁿ et Qⁿ tend vers +∞, donc |q|ⁿ tend vers 0. Comme -|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ, les gendarmes donnent lim qⁿ = 0.

Cas q ≤ -1. Les termes alternent de signe : q²ᵏ ≥ 1 et q²ᵏ⁺¹ ≤ -1. Aucun intervalle de longueur inférieure à 2 ne peut contenir tous les termes à partir d'un rang, et la suite ne tend pas vers l'infini.

Conséquence pour une suite géométrique uₙ = u₀ × qⁿ (avec u₀ ≠ 0) : elle tend vers 0 si |q| < 1 ; elle tend vers +∞ ou -∞ (selon le signe de u₀) si q > 1.

Somme des termes. Pour q ≠ 1 et tout entier n : 1 + q + q² + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q).

Démonstration : si S = 1 + q + ... + qⁿ, alors qS = q + q² + ... + qⁿ⁺¹, et S - qS = 1 - qⁿ⁺¹, d'où S(1 - q) = 1 - qⁿ⁺¹.

Limite de la somme. Si -1 < q < 1, qⁿ⁺¹ tend vers 0, donc 1 + q + ... + qⁿ tend vers 1/(1 - q). Exemple : 1 + 1/2 + 1/4 + ... + (1/2)ⁿ tend vers 1/(1 - 1/2) = 2. Si q ≥ 1, la somme tend vers +∞.

Exemple 1 : une suite arithmético-géométrique étudiée de deux façons

Soit (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3.

a) Montrer par récurrence que pour tout n, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6. b) En déduire que (uₙ) converge et déterminer sa limite. c) On pose vₙ = uₙ - 6. Montrer que (vₙ) est géométrique et retrouver la limite.

Résolution.

a) Notons P(n) : 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6. Initialisation : u₀ = 1 et u₁ = 0,5 × 1 + 3 = 3,5. On a bien 0 ≤ 1 ≤ 3,5 ≤ 6. Hérédité : supposons 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6 pour un entier n. En multipliant par 0,5 > 0 : 0 ≤ 0,5uₙ ≤ 0,5uₙ₊₁ ≤ 3. En ajoutant 3 : 3 ≤ 0,5uₙ + 3 ≤ 0,5uₙ₊₁ + 3 ≤ 6, c'est-à-dire 3 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 6. A fortiori 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 6 : P(n + 1) est vraie. Conclusion : pour tout n, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6.

b) La suite est croissante (uₙ ≤ uₙ₊₁) et majorée par 6, donc elle converge vers un réel ℓ. Comme uₙ₊₁ tend vers ℓ et 0,5uₙ + 3 vers 0,5ℓ + 3, l'unicité de la limite donne ℓ = 0,5ℓ + 3, soit 0,5ℓ = 3 et ℓ = 6.

c) vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 6 = 0,5uₙ + 3 - 6 = 0,5uₙ - 3 = 0,5(uₙ - 6) = 0,5vₙ. La suite (vₙ) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v₀ = 1 - 6 = -5. Donc vₙ = -5 × 0,5ⁿ et uₙ = 6 - 5 × 0,5ⁿ. Comme -1 < 0,5 < 1, 0,5ⁿ tend vers 0, et uₙ tend vers 6. Les deux méthodes concordent.

Exemple 2 : lever des formes indéterminées

Déterminer la limite de aₙ = (3n² - 5n + 1)/(2n² + 7), puis celle de bₙ = √(n + 1) - √n et de cₙ = 2ⁿ - 3ⁿ.

Résolution.

aₙ est de la forme ∞/∞. Pour n ≥ 1, on factorise par n² : aₙ = n²(3 - 5/n + 1/n²) / (n²(2 + 7/n²)) = (3 - 5/n + 1/n²)/(2 + 7/n²). Le numérateur tend vers 3, le dénominateur vers 2, donc lim aₙ = 3/2.

bₙ est de la forme ∞ - ∞. On multiplie et divise par la quantité conjuguée : bₙ = ((n + 1) - n)/(√(n + 1) + √n) = 1/(√(n + 1) + √n). Le dénominateur tend vers +∞, donc lim bₙ = 0.

cₙ est de la forme ∞ - ∞. On factorise par le terme qui croît le plus vite : cₙ = 3ⁿ((2/3)ⁿ - 1). Comme 0 < 2/3 < 1, (2/3)ⁿ tend vers 0, donc (2/3)ⁿ - 1 tend vers -1. Et 3ⁿ tend vers +∞ car 3 > 1. Par produit, lim cₙ = -∞.

Exemple 3 : gendarmes, comparaison et somme géométrique

a) Déterminer la limite de uₙ = (3n + sin n)/(n + 2). b) Déterminer la limite de wₙ = n² + (-1)ⁿ n. c) Déterminer la limite de Sₙ = 1 + 1/3 + 1/3² + ... + 1/3ⁿ.

Résolution.

a) Pour tout n, -1 ≤ sin n ≤ 1, donc 3n - 1 ≤ 3n + sin n ≤ 3n + 1. En divisant par n + 2 > 0 : (3n - 1)/(n + 2) ≤ uₙ ≤ (3n + 1)/(n + 2). Par factorisation par n, les deux suites qui encadrent tendent vers 3/1 = 3. D'après le théorème des gendarmes, lim uₙ = 3.

b) Pour tout n, (-1)ⁿ n ≥ -n, donc wₙ ≥ n² - n = n(n - 1). Or n(n - 1) tend vers +∞ (produit de deux suites qui tendent vers +∞). Par comparaison, lim wₙ = +∞.

c) Sₙ est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme 1. Donc Sₙ = (1 - (1/3)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/3) = (3/2)(1 - (1/3)ⁿ⁺¹). Comme -1 < 1/3 < 1, (1/3)ⁿ⁺¹ tend vers 0, et lim Sₙ = 3/2.

• Pour une récurrence, écris toujours la propriété P(n) en toutes lettres, puis les trois parties avec leur titre. Dans l'hérédité, pars de l'hypothèse P(n) et arrive à P(n + 1), jamais l'inverse.
• Ne suppose jamais « P(n) vraie pour tout n » dans l'hérédité : tu fixes UN entier n.
• Quand tu multiplies une inégalité dans une hérédité, vérifie le signe du facteur. C'est exactement l'argument 1 + a > 0 de Bernoulli.
• Pour montrer qu'une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ) est monotone, une récurrence sur « uₙ ≤ uₙ₊₁ » est souvent plus simple que le calcul de uₙ₊₁ - uₙ.
• Avant d'appliquer une règle d'opération, identifie la forme. Si c'est une forme indéterminée, transforme : terme dominant, quantité conjuguée, simplification.
• Avec (-1)ⁿ, sin n ou cos n, pense encadrement : gendarmes pour une limite finie, comparaison pour une limite infinie.
• « Croissante et majorée par M » donne une convergence, pas une limite égale à M. Tu dois calculer la limite autrement.
• Une inégalité stricte devient large en passant à la limite : uₙ < 2 pour tout n donne seulement lim uₙ ≤ 2.
• Pour qⁿ, regarde d'abord q : supérieur à 1, entre -1 et 1, ou inférieur ou égal à -1. Ne confonds pas qⁿ avec nq.
• Pour une somme géométrique, compte bien les termes : 1 + q + ... + qⁿ en contient n + 1, d'où l'exposant n + 1 dans la formule.

En PASS, les suites géométriques et les sommes géométriques réapparaissent dès qu'un phénomène se répète à intervalles réguliers avec une proportion constante : élimination d'un médicament administré à doses répétées (la quantité présente dans l'organisme tend vers un plateau, exactement la limite d'une suite arithmético-géométrique), décroissance radioactive observée à pas de temps fixe, croissance d'une population bactérienne par divisions successives. Le passage du discret au continu conduit à l'exponentielle et au logarithme, qui servent à lire des demi-vies et des échelles logarithmiques (pH, décibels). Le raisonnement par récurrence, lui, entraîne à la rigueur logique attendue dans les QCM de type « vrai ou faux » où une seule hypothèse oubliée rend une affirmation fausse.

Niveau 1 : s'entraîner

1. Démontre par récurrence que pour tout entier n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n².

2. Détermine la limite de chacune des suites suivantes : a) uₙ = 2n² - 3n + 1 ; b) vₙ = (5 - 2n)/(n + 3) ; c) wₙ = 3 + 2/√n (n ≥ 1) ; d) zₙ = n - √n.

3. Détermine la limite de : a) aₙ = 4 × 0,7ⁿ ; b) bₙ = -2 × 1,05ⁿ ; c) cₙ = (4ⁿ - 1)/(4ⁿ + 2) ; d) dₙ = (-0,9)ⁿ + 5.

4. a) Détermine la limite de uₙ = (cos n)/n pour n ≥ 1. b) Détermine la limite de vₙ = n + (-1)ⁿ.

5. a) À l'aide de l'inégalité de Bernoulli, montre que pour tout entier n, 1,01ⁿ ≥ 1 + 0,01n. b) En déduire que 1,01ⁿ ≥ 100 pour tout n ≥ 9 900.

Niveau 2 : type bac

6. Soit (uₙ) définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 2.

a) Montre par récurrence que pour tout n, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 10. b) Justifie que (uₙ) converge. c) On pose vₙ = uₙ - 10. Montre que (vₙ) est géométrique, puis exprime uₙ en fonction de n et donne la limite de (uₙ). d) À l'aide de la calculatrice, détermine le plus petit entier n tel que uₙ > 9,9.

7. a) Démontre par récurrence que pour tout entier n ≥ 4, 2ⁿ ≥ n².

b) En déduire que pour n ≥ 4, 0 < n/2ⁿ ≤ 1/n, puis la limite de n/2ⁿ.

8. Pour n ≥ 1, on pose Sₙ = 1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/n².

a) Montre que (Sₙ) est croissante. b) Démontre par récurrence que pour tout n ≥ 1, Sₙ ≤ 2 - 1/n. c) En déduire que (Sₙ) converge et donne un majorant de sa limite.

9. Soit (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ/(1 + uₙ).

a) Montre par récurrence que uₙ > 0 pour tout n. b) Montre que (uₙ) est décroissante. c) En déduire que (uₙ) converge, puis que sa limite ℓ vérifie ℓ = ℓ/(1 + ℓ). Détermine ℓ. d) Démontre par récurrence que uₙ = 1/(n + 1) pour tout n, et vérifie la cohérence avec c).

Niveau 3 : vers le PASS

10. Un patient reçoit chaque jour à heure fixe une injection de 2 mg d'un médicament. En 24 heures, l'organisme élimine 30 % de la quantité présente. On note qₙ la quantité (en mg) présente juste après la n-ième injection, avec q₁ = 2.

a) Justifie que qₙ₊₁ = 0,7qₙ + 2. b) Montre que qₙ = 2(1 + 0,7 + 0,7² + ... + 0,7ⁿ⁻¹), puis que qₙ = (20/3)(1 - 0,7ⁿ). c) Détermine la limite de (qₙ) et interprète-la. d) À partir de quelle injection la quantité présente juste après l'injection dépasse-t-elle 6 mg ?

11. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie (démonstration ou contre-exemple).

a) Une suite croissante tend vers +∞. b) Une suite bornée est convergente. c) Une suite qui tend vers +∞ est croissante à partir d'un certain rang. d) Une suite convergente est bornée. e) Si 0 < uₙ < 1/n pour tout n ≥ 1, alors (uₙ) converge vers 0.

12. a) Soit q > 1. Rappelle comment l'inégalité de Bernoulli prouve que qⁿ tend vers +∞.

b) Avec q = 1,02, trouve à l'aide de Bernoulli un entier N tel que 1,02ⁿ ≥ 1 000 pour tout n ≥ N. c) Le plus petit entier n tel que 1,02ⁿ ≥ 1 000 vaut 349 (calculatrice). Compare avec b) et commente.

13. a) Démontre par récurrence que pour tout n ≥ 1, 1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n + 1)/2)².

b) On note Tₙ cette somme. Détermine la limite de Tₙ/n⁴.

1. Notons P(n) : 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n².

Initialisation : pour n = 1, le membre de gauche se réduit à 1 et 1² = 1. P(1) est vraie. Hérédité : soit n ≥ 1 tel que 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n². Le terme suivant de la somme est 2(n + 1) - 1 = 2n + 1. Donc 1 + 3 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n² + 2n + 1 = (n + 1)². P(n + 1) est vraie. Conclusion : pour tout n ≥ 1, la somme des n premiers nombres impairs vaut n².

2. a) Forme ∞ - ∞. uₙ = n²(2 - 3/n + 1/n²) pour n ≥ 1 ; la parenthèse tend vers 2 et n² vers +∞, donc lim uₙ = +∞.

b) Forme ∞/∞. vₙ = n(5/n - 2)/(n(1 + 3/n)) = (5/n - 2)/(1 + 3/n), qui tend vers -2/1. lim vₙ = -2. c) √n tend vers +∞, donc 2/√n tend vers 0 et lim wₙ = 3. d) Forme ∞ - ∞. Pour n ≥ 1, zₙ = n(1 - 1/√n). La parenthèse tend vers 1, n tend vers +∞, donc lim zₙ = +∞.

3. a) -1 < 0,7 < 1, donc 0,7ⁿ tend vers 0 et lim aₙ = 0.

b) 1,05 > 1, donc 1,05ⁿ tend vers +∞ ; multiplié par -2 < 0 : lim bₙ = -∞. c) Forme ∞/∞. On divise numérateur et dénominateur par 4ⁿ : cₙ = (1 - (1/4)ⁿ)/(1 + 2(1/4)ⁿ). Comme (1/4)ⁿ tend vers 0, lim cₙ = 1. d) -1 < -0,9 < 1, donc (-0,9)ⁿ tend vers 0 et lim dₙ = 5.

4. a) Pour n ≥ 1, -1 ≤ cos n ≤ 1, donc -1/n ≤ uₙ ≤ 1/n. Les deux suites qui encadrent tendent vers 0 ; par le théorème des gendarmes, lim uₙ = 0.

b) Pour tout n, (-1)ⁿ ≥ -1, donc vₙ ≥ n - 1. Or n - 1 tend vers +∞. Par comparaison, lim vₙ = +∞.

5. a) L'inégalité de Bernoulli (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na, valable pour a > 0, appliquée à a = 0,01 donne 1,01ⁿ ≥ 1 + 0,01n.

b) Pour n ≥ 9 900, 0,01n ≥ 99, donc 1 + 0,01n ≥ 100. Avec a) : 1,01ⁿ ≥ 100 pour tout n ≥ 9 900. (Ce rang n'est pas le plus petit possible, mais il suffit.)

6. a) P(n) : 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 10.

Initialisation : u₀ = 0, u₁ = 0,8 × 0 + 2 = 2 ; 0 ≤ 0 ≤ 2 ≤ 10. Vrai. Hérédité : si 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 10, en multipliant par 0,8 > 0 : 0 ≤ 0,8uₙ ≤ 0,8uₙ₊₁ ≤ 8, puis en ajoutant 2 : 2 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 10, donc 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 10. P(n + 1) est vraie. Conclusion : pour tout n, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 10. b) (uₙ) est croissante et majorée par 10 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge. c) vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - 10 = 0,8uₙ - 8 = 0,8(uₙ - 10) = 0,8vₙ : (vₙ) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme v₀ = -10. Donc vₙ = -10 × 0,8ⁿ et uₙ = 10 - 10 × 0,8ⁿ. Comme -1 < 0,8 < 1, 0,8ⁿ tend vers 0 et lim uₙ = 10. d) uₙ > 9,9 équivaut à 10 × 0,8ⁿ < 0,1, soit 0,8ⁿ < 0,01. La calculatrice donne 0,8²⁰ ≈ 0,0115 (trop grand) et 0,8²¹ ≈ 0,0092. La suite (0,8ⁿ) étant décroissante, le plus petit entier est n = 21.

7. a) P(n) : 2ⁿ ≥ n², pour n ≥ 4.

Initialisation : 2⁴ = 16 et 4² = 16. Vrai. Hérédité : soit n ≥ 4 avec 2ⁿ ≥ n². Alors 2ⁿ⁺¹ = 2 × 2ⁿ ≥ 2n². Il suffit de montrer 2n² ≥ (n + 1)², c'est-à-dire n² - 2n - 1 ≥ 0, soit (n - 1)² ≥ 2. Pour n ≥ 4, (n - 1)² ≥ 9 ≥ 2. Donc 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 1)². P(n + 1) est vraie. Conclusion : pour tout n ≥ 4, 2ⁿ ≥ n². b) Pour n ≥ 4, 2ⁿ ≥ n² > 0, donc 0 < 1/2ⁿ ≤ 1/n², et en multipliant par n > 0 : 0 < n/2ⁿ ≤ n/n² = 1/n. Comme 1/n tend vers 0, le théorème des gendarmes donne lim n/2ⁿ = 0.

8. a) Sₙ₊₁ - Sₙ = 1/(n + 1)² > 0, donc (Sₙ) est croissante.

b) P(n) : Sₙ ≤ 2 - 1/n. Initialisation : S₁ = 1 et 2 - 1/1 = 1. Vrai. Hérédité : si Sₙ ≤ 2 - 1/n, alors Sₙ₊₁ = Sₙ + 1/(n + 1)² ≤ 2 - 1/n + 1/(n + 1)². Il reste à montrer que 2 - 1/n + 1/(n + 1)² ≤ 2 - 1/(n + 1), c'est-à-dire 1/(n + 1)² ≤ 1/n - 1/(n + 1) = 1/(n(n + 1)). Or n(n + 1) < (n + 1)², donc 1/(n(n + 1)) > 1/(n + 1)². L'inégalité est vraie, donc Sₙ₊₁ ≤ 2 - 1/(n + 1). Conclusion : pour tout n ≥ 1, Sₙ ≤ 2 - 1/n. c) Pour tout n ≥ 1, Sₙ ≤ 2 - 1/n < 2 : (Sₙ) est croissante et majorée par 2, donc elle converge, vers une limite inférieure ou égale à 2 (passage à la limite dans une inégalité).

9. a) P(n) : uₙ > 0. Initialisation : u₀ = 1 > 0. Hérédité : si uₙ > 0, alors 1 + uₙ > 0 et uₙ₊₁ = uₙ/(1 + uₙ) est le quotient de deux nombres strictement positifs, donc uₙ₊₁ > 0. Pour tout n, uₙ > 0.

b) uₙ₊₁ - uₙ = uₙ/(1 + uₙ) - uₙ = (uₙ - uₙ - uₙ²)/(1 + uₙ) = -uₙ²/(1 + uₙ). Comme uₙ > 0, ce nombre est strictement négatif : (uₙ) est décroissante. c) (uₙ) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers un réel ℓ ≥ 0. Comme 1 + ℓ ≠ 0, les opérations sur les limites donnent uₙ/(1 + uₙ) → ℓ/(1 + ℓ), et l'unicité de la limite donne ℓ = ℓ/(1 + ℓ). Alors ℓ(1 + ℓ) = ℓ, soit ℓ² = 0. ℓ = 0. d) P(n) : uₙ = 1/(n + 1). Initialisation : u₀ = 1 = 1/1. Hérédité : si uₙ = 1/(n + 1), alors uₙ₊₁ = (1/(n + 1)) / (1 + 1/(n + 1)) = (1/(n + 1)) / ((n + 2)/(n + 1)) = 1/(n + 2). Donc uₙ = 1/(n + 1) pour tout n, et cette suite tend bien vers 0.

10. a) Juste avant la (n + 1)-ième injection, il reste 70 % de qₙ, soit 0,7qₙ ; l'injection ajoute 2 mg. Donc qₙ₊₁ = 0,7qₙ + 2.

b) Récurrence sur n ≥ 1. Pour n = 1 : 2 × 1 = 2 = q₁. Si qₙ = 2(1 + 0,7 + ... + 0,7ⁿ⁻¹), alors qₙ₊₁ = 0,7 × 2(1 + ... + 0,7ⁿ⁻¹) + 2 = 2(0,7 + ... + 0,7ⁿ) + 2 = 2(1 + 0,7 + ... + 0,7ⁿ). La formule est héréditaire. La somme entre parenthèses compte n termes de raison 0,7 : elle vaut (1 - 0,7ⁿ)/(1 - 0,7) = (1 - 0,7ⁿ)/0,3. Donc qₙ = (2/0,3)(1 - 0,7ⁿ) = (20/3)(1 - 0,7ⁿ). c) 0,7ⁿ tend vers 0, donc lim qₙ = 20/3 ≈ 6,67 mg. La quantité juste après injection se stabilise vers un plateau d'environ 6,67 mg : l'élimination quotidienne (30 % de 20/3, soit 2 mg) compense alors exactement la dose injectée. d) qₙ ≥ 6 équivaut à 1 - 0,7ⁿ ≥ 0,9, soit 0,7ⁿ ≤ 0,1. La calculatrice donne 0,7⁶ ≈ 0,118 et 0,7⁷ ≈ 0,082. C'est à partir de la 7e injection (q₇ ≈ 6,12 mg).

11. a) Faux. uₙ = 1 - 1/(n + 1) est croissante mais tend vers 1.

b) Faux. uₙ = (-1)ⁿ est bornée par -1 et 1 mais n'a pas de limite. c) Faux. uₙ = n + 2(-1)ⁿ vérifie uₙ ≥ n - 2, donc tend vers +∞ par comparaison, mais u₂ₖ = 2k + 2 et u₂ₖ₊₁ = 2k - 1 : on a u₂ₖ₊₁ < u₂ₖ pour tout k, la suite n'est croissante à partir d'aucun rang. d) Vrai. Si uₙ tend vers ℓ, à partir d'un rang N tous les termes sont dans ]ℓ - 1 ; ℓ + 1[ ; les termes u₀, ..., u_(N-1) sont en nombre fini, donc la suite entière est encadrée par le plus petit et le plus grand de ces nombres et de ℓ - 1, ℓ + 1. e) Vrai. 0 et 1/n tendent vers 0 ; le théorème des gendarmes donne lim uₙ = 0.

12. a) On écrit q = 1 + a avec a = q - 1 > 0. Bernoulli donne qⁿ ≥ 1 + na, et 1 + na tend vers +∞ ; par comparaison, qⁿ tend vers +∞.

b) Avec a = 0,02 : 1,02ⁿ ≥ 1 + 0,02n. On a 1 + 0,02n ≥ 1 000 dès que 0,02n ≥ 999, soit n ≥ 49 950. N = 49 950 convient. c) Le rang exact, 349, est environ 143 fois plus petit. Bernoulli remplace une croissance géométrique par une croissance affine, beaucoup plus lente : la minoration est juste mais très grossière. Elle sert à prouver l'existence d'un rang, pas à trouver le plus petit.

13. a) P(n) : Tₙ = (n(n + 1)/2)².

Initialisation : T₁ = 1 et (1 × 2/2)² = 1. Vrai. Hérédité : si Tₙ = n²(n + 1)²/4, alors Tₙ₊₁ = n²(n + 1)²/4 + (n + 1)³ = (n + 1)²(n²/4 + n + 1) = (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4 = (n + 1)²(n + 2)²/4 = ((n + 1)(n + 2)/2)². P(n + 1) est vraie. Conclusion : pour tout n ≥ 1, 1³ + ... + n³ = (n(n + 1)/2)². b) Tₙ/n⁴ = n²(n + 1)²/(4n⁴) = (1/4) × ((n + 1)/n)² = (1/4)(1 + 1/n)². Comme 1 + 1/n tend vers 1, lim Tₙ/n⁴ = 1/4.

Ce chapitre prépare la partie Logarithmes, exponentielles et échelles du cours Outils mathématiques : calcul, logarithmes et incertitudes (UE 9 · Outils mathématiques). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre