L'essentiel
- Le point M(x) du cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos x ; sin x), avec x en radians.
- Pour tout réel x, cos²x + sin²x = 1, et cos x et sin x sont compris entre -1 et 1.
- Les fonctions cos et sin sont définies sur ℝ et 2π-périodiques : on les étudie sur un intervalle de longueur 2π.
- La fonction cos est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), la fonction sin est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
- Les fonctions sin et cos sont dérivables sur ℝ avec sin' = cos et cos' = -sin.
- Pour une fonction u dérivable, (sin u)' = u' cos u et (cos u)' = -u' sin u.
- Le nombre dérivé de sin en 0 vaut 1, d'où la limite fondamentale : sin x / x tend vers 1 quand x tend vers 0.
- cos est décroissante sur [0 ; π] et croissante sur [-π ; 0] ; sin est croissante sur [-π/2 ; π/2] et décroissante sur [π/2 ; π].
- La courbe de cos est celle de sin décalée de π/2 vers la gauche, car cos x = sin(x + π/2).
- cos x = cos a équivaut à x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ ; sin x = sin a équivaut à x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ.
- Une inéquation trigonométrique se résout sur un intervalle en repérant un arc sur le cercle.
- Dans s(t) = A cos(ωt + φ), A est l'amplitude, ω la pulsation, φ la phase à l'origine, T = 2π/ω la période et f = 1/T la fréquence.
- La fonction s(t) = A cos(ωt + φ) vérifie s'' = -ω² s : c'est le modèle de l'oscillateur harmonique.
- Pour une grandeur oscillant entre un minimum et un maximum, la valeur moyenne vaut (max + min)/2 et l'amplitude (max - min)/2.
Formules et définitions à connaître
| Notion | Formule | Remarque |
|---|---|---|
| Relation fondamentale | cos²x + sin²x = 1 | pour tout x |
| Parité | cos(-x) = cos x ; sin(-x) = -sin x | |
| Angles associés | cos(π - x) = -cos x ; sin(π - x) = sin x | |
| Quart de tour | cos(π/2 - x) = sin x ; sin(π/2 - x) = cos x | |
| Dérivées | sin' = cos ; cos' = -sin | x en radians |
| Composées | (sin(ax + b))' = a cos(ax + b) ; (cos(ax + b))' = -a sin(ax + b) | |
| Limite | sin x / x → 1 quand x → 0 | |
| Équation en cos | x = ±a + 2kπ | k entier relatif |
| Équation en sin | x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ | k entier relatif |
| Signal sinusoïdal | s(t) = A cos(ωt + φ) | A > 0, ω > 0 |
| Période, fréquence | T = 2π/ω ; f = 1/T = ω/(2π) | T en s, f en Hz |
Pièges à éviter
- Calculer en mode degré alors que le cours travaille en radians.
- N'écrire qu'une seule famille de solutions pour cos x = c ou sin x = c.
- Dans cos(2x) = c, oublier de diviser aussi 2kπ par 2.
- Chercher des solutions à cos x = 1,5 : il n'y en a aucune.
- Oublier le facteur ω en dérivant cos(ωt + φ).
- Déterminer φ avec cos φ seul, sans utiliser le sens de variation à l'instant 0.
Je me teste
1. Valeur exacte de sin(5π/6) ? → 1/2.
2. Dérivée de cos(4x) ? → -4 sin(4x).
3. Période de x ↦ cos(3x) ? → 2π/3.
4. Limite de sin(2x)/x en 0 ? → 2.
5. Solutions de cos x = 0 sur ℝ ? → x = π/2 + kπ.
6. Solutions de sin x = 1/2 sur [0 ; 2π[ ? → π/6 et 5π/6.
7. Solutions de cos x ≥ 0 sur ]-π ; π] ? → [-π/2 ; π/2].
8. Pulsation d'un signal de fréquence 50 Hz ? → 100π rad·s⁻¹.
9. Amplitude et valeur moyenne de 4 + 3 cos t ? → amplitude 3, moyenne 4.
10. Équation vérifiée par s(t) = A cos(ωt + φ) ? → s'' = -ω² s.