L'essentiel
- Pour tout a > 0, ln a est l'unique réel x tel que eˣ = a : ln est la fonction réciproque de exp, définie sur ]0 ; +∞[.
- Pour tout x > 0, eln x = x, et pour tout réel x, ln(eˣ) = x.
- ln 1 = 0 et ln e = 1 ; ln x est négatif sur ]0 ; 1[ et positif sur ]1 ; +∞[.
- Les courbes de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite y = x.
- Le logarithme transforme les produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b pour a > 0 et b > 0.
- La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ avec ln'(x) = 1/x ; elle est strictement croissante.
- Si u est dérivable et strictement positive, (ln u)' = u'/u, et ln(u) a les mêmes variations que u.
- ln tend vers -∞ en 0 (asymptote verticale x = 0) et vers +∞ en +∞, mais très lentement.
- La fonction ln est concave : sa courbe est sous ses tangentes, d'où ln x ≤ x - 1 pour tout x > 0.
- Croissances comparées : ln x / x tend vers 0 en +∞ et x ln x tend vers 0 en 0 ; toute puissance de x l'emporte sur ln x.
- Pour résoudre une équation ou une inéquation, on écrit le domaine, on se ramène à ln A = ln B ou A < B par stricte croissance, puis on garde les solutions du domaine.
- Le logarithme décimal log x = ln x / ln 10 vérifie log(10ⁿ) = n ; il mesure l'ordre de grandeur d'un nombre.
- pH = -log[H₃O⁺] (en mol·L⁻¹) et [H₃O⁺] = 10-pH ; diviser [H₃O⁺] par 10 augmente le pH de 1.
- Le niveau sonore vaut L = 10 log(I/I₀) avec I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻² ; doubler l'intensité ajoute environ 3 dB.
- Pour une décroissance N₀ e-λt, la demi-vie vaut t½ = ln 2 / λ et ne dépend pas de N₀.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Définition | y = ln x équivaut à x = eʸ | x > 0 |
| Produit | ln(ab) = ln a + ln b | a > 0, b > 0 |
| Inverse, quotient | ln(1/a) = -ln a ; ln(a/b) = ln a - ln b | a > 0, b > 0 |
| Puissance, racine | ln(aⁿ) = n ln a ; ln(√a) = (1/2) ln a | a > 0, n entier |
| Dérivées | ln'(x) = 1/x ; (ln u)' = u'/u | x > 0 ; u > 0 |
| Limites | ln x tend vers -∞ en 0⁺ et +∞ en +∞ | |
| Croissances comparées | ln x / x → 0 en +∞ ; x ln x → 0 en 0⁺ | |
| Taux en 1 | ln(1 + h)/h → 1 quand h → 0 | |
| Logarithme décimal | log x = ln x / ln 10 ; log(10ⁿ) = n | x > 0 |
| pH | pH = -log[H₃O⁺] | solution diluée, c en mol·L⁻¹ |
| Décibels | L = 10 log(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W·m⁻² | L en dB |
| Demi-vie | t½ = ln 2 / λ | modèle N₀ e-λt |
Pièges à éviter
- Oublier le domaine de validité : chaque ln doit porter sur une quantité strictement positive.
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : cette formule est fausse.
- Diviser par ln q avec 0 < q < 1 sans changer le sens de l'inégalité, alors que ln q est négatif.
- Écrire (ln u)' = 1/u en oubliant le facteur u'.
- Écrire ln(x²) = 2 ln x pour x négatif : en réalité ln(x²) = 2 ln|x|.
- Confondre ln et log : pH et décibels utilisent log.
Je me teste
1. Que vaut eln 5 ? → 5.
2. Simplifier ln 12 - ln 3. → ln 4, soit 2 ln 2.
3. Dérivée de ln(x² + 1) ? → 2x/(x² + 1).
4. Limite de ln x / x en +∞ ? → 0 (croissance comparée).
5. Limite de x ln x en 0⁺ ? → 0.
6. Solution de ln(x - 1) = 0 ? → x = 2.
7. Plus petit entier n tel que 0,5ⁿ < 0,01 ? → n = 7 (0,5⁷ ≈ 0,0078).
8. pH si [H₃O⁺] = 10⁻³ mol·L⁻¹ ? → pH = 3.
9. Gain en dB quand l'intensité est multipliée par 10 ? → 10 dB.
10. Demi-vie si λ = 0,1 h⁻¹ ? → t½ = ln 2 / 0,1 ≈ 6,9 h.