L'essentiel
- Une récurrence comporte trois parties : initialisation (P(n₀) vraie), hérédité (si P(n) est vraie pour un n ≥ n₀, alors P(n + 1) est vraie), conclusion.
- Dans l'hérédité, on fixe un entier n pour lequel P(n) est vraie : on ne suppose jamais la propriété vraie pour tout n.
- L'inégalité de Bernoulli affirme que (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour tout a > 0 et tout entier n ; sa preuve par récurrence repose sur 1 + a > 0.
- Une suite converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous ses termes à partir d'un certain rang ; cette limite est unique.
- Une suite tend vers +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous ses termes à partir d'un certain rang.
- Une suite divergente tend vers ±∞ ou n'a pas de limite, comme (-1)ⁿ.
- Une suite convergente est bornée, mais une suite bornée ne converge pas forcément.
- Les formes indéterminées sont ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0 ; on les lève par factorisation du terme dominant, quantité conjuguée ou simplification.
- Si uₙ ≥ vₙ à partir d'un rang et vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞ (comparaison).
- Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir d'un rang et vₙ, wₙ tendent vers ℓ, alors uₙ tend vers ℓ (gendarmes).
- Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers +∞.
- Si une suite croissante converge vers ℓ, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à ℓ.
- Pour uₙ₊₁ = f(uₙ) convergente, on passe à la limite des deux côtés pour obtenir une équation vérifiée par ℓ.
- Une suite arithmético-géométrique uₙ₊₁ = auₙ + b se ramène à une suite géométrique vₙ = uₙ - ℓ avec ℓ = aℓ + b.
Formules et définitions à connaître
| Objet | Résultat | Condition |
|---|---|---|
| Bernoulli | (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na | a > 0 (vrai aussi pour a ≥ -1), n entier naturel |
| Limite de qⁿ | +∞ | q > 1 |
| Limite de qⁿ | 1 | q = 1 |
| Limite de qⁿ | 0 | -1 < q < 1 |
| Limite de qⁿ | pas de limite | q ≤ -1 |
| Somme géométrique | 1 + q + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) | q ≠ 1, n + 1 termes |
| Limite de la somme | 1/(1 - q) | -1 < q < 1 |
| Suites de référence | n, n², √n tendent vers +∞ ; 1/n, 1/n², 1/√n tendent vers 0 | n ≥ 1 pour les inverses |
| Somme des entiers | 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 | n ≥ 1 |
Pièges à éviter
- Oublier l'initialisation : une propriété héréditaire peut être fausse partout (« 3 divise 4ⁿ + 1 »).
- Multiplier une inégalité par un facteur sans vérifier qu'il est positif.
- Conclure qu'une suite croissante et majorée par M tend vers M : elle converge, mais sa limite peut être plus petite.
- Garder une inégalité stricte à la limite : uₙ < 2 donne seulement lim uₙ ≤ 2.
- Appliquer une règle d'opération à une forme indéterminée au lieu de transformer l'expression.
- Se tromper sur le nombre de termes d'une somme géométrique, donc sur l'exposant n + 1.
Je me teste
1. Quelles sont les deux étapes d'une récurrence avant la conclusion ? → L'initialisation et l'hérédité.
2. Énonce l'inégalité de Bernoulli. → Pour a > 0 et n entier, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.
3. Limite de 0,99ⁿ ? → 0, car -1 < 0,99 < 1.
4. Limite de (-2)ⁿ ? → Aucune limite, car -2 ≤ -1.
5. Limite de (2n² + 1)/(5n² - n) ? → 2/5, en factorisant par n².
6. Limite de √(n + 1) - √n ? → 0, par la quantité conjuguée.
7. Limite de (sin n)/n ? → 0, par les gendarmes avec -1/n et 1/n.
8. Une suite décroissante minorée par 0 tend-elle vers 0 ? → Elle converge, mais pas forcément vers 0.
9. Valeur de 1 + 1/2 + ... + (1/2)ⁿ quand n tend vers +∞ ? → Elle tend vers 2.
10. Si uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3 converge, quelle est sa limite ? → 6, solution de ℓ = 0,5ℓ + 3.