L'essentiel
- Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers.
- {X = a} désigne l'événement formé des issues dont l'image par X vaut a ; on définit de même {X ≤ a} ou {X > a}.
- La loi de probabilité de X donne P(X = xᵢ) pour chaque valeur xᵢ, et la somme de ces probabilités vaut 1.
- L'espérance E(X) est la moyenne des valeurs de X pondérée par leurs probabilités.
- L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne de X sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience.
- Un jeu est équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle, favorable si elle est positive, défavorable si elle est négative.
- La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance ; elle est positive ou nulle.
- L'écart type est la racine carrée de la variance et s'exprime dans la même unité que X.
- La formule de König-Huygens donne V(X) = E(X²) - (E(X))².
- Ajouter une constante décale l'espérance sans changer la dispersion.
- Multiplier X par a multiplie l'espérance par a, la variance par a² et l'écart type par la valeur absolue de a.
- La variable centrée réduite (X - E(X))/σ(X) a pour espérance 0 et pour écart type 1.
- Une variable de Bernoulli de paramètre p vaut 1 avec la probabilité p et 0 sinon ; son espérance est p et sa variance p(1 - p).
- Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois l'expérience de façon indépendante ; sa moyenne fluctue d'un échantillon à l'autre.
- Pour n assez grand, environ 95 % des moyennes d'échantillons sont à une distance au plus 2σ/√n de l'espérance μ.
- Pour diviser par 2 la largeur de l'intervalle de fluctuation, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Unité | Condition |
|---|---|---|---|
| Loi | p₁ + p₂ + ... + pₙ = 1 | sans unité | toujours |
| Espérance | E(X) = Σ pᵢxᵢ | celle de X | toujours |
| Variance | V(X) = Σ pᵢ(xᵢ - μ)² = E(X²) - μ² | carré de celle de X | μ = E(X) |
| Écart type | σ(X) = √V(X) | celle de X | toujours |
| Affine (espérance) | E(aX + b) = aE(X) + b | celle de X | a, b réels |
| Affine (variance) | V(aX + b) = a²V(X) | carré de celle de X | a, b réels |
| Bernoulli | E(X) = p, V(X) = p(1 - p) | sans unité | X vaut 0 ou 1 |
| Fluctuation | intervalle μ ± 2σ/√n | celle de X | n assez grand, environ 95 % |
- Écart type d'une transformation affine : σ(aX + b) = (valeur absolue de a) × σ(X).
Pièges à éviter
- Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
- Oublier de retrancher la mise dans un gain algébrique.
- Confondre E(X²) et (E(X))².
- Écrire V(aX + b) = aV(X) + b : la constante disparaît et a est élevé au carré.
- Donner un écart type négatif : on prend la valeur absolue de a.
- Confondre la taille n d'un échantillon et le nombre d'échantillons simulés.
Je me teste
1. Que vaut la somme des probabilités d'une loi ? → 1.
2. Espérance d'un dé équilibré ? → 3,5.
3. Variance d'un dé équilibré ? → 35/12, environ 2,92.
4. Formule de König-Huygens ? → V(X) = E(X²) - (E(X))².
5. E(X) = 5 et V(X) = 4 : V(3X - 2) ? → 36.
6. Même X : σ(-X + 10) ? → 2.
7. Espérance et variance d'une Bernoulli de paramètre p ? → p et p(1 - p).
8. Quand un jeu est-il équitable ? → Quand l'espérance du gain algébrique est nulle.
9. Pour p = 0,5 et n = 100, que vaut 2σ/√n ? → 0,1.
10. Unité de la variance d'un gain en euros ? → Des euros au carré.