L'essentiel
- Les vecteurs de l'espace se manipulent comme dans le plan : relation de Chasles, produit par un réel, combinaisons linéaires.
- Si I est le milieu de [AB], alors IA→ + IB→ = 0→ et, pour tout point M, MA→ + MB→ = 2MI→.
- Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre ; trois points sont alignés quand deux vecteurs qu'ils forment sont colinéaires.
- Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur non nul ; elle a une infinité de vecteurs directeurs.
- Un plan est déterminé par un point A et deux vecteurs non colinéaires u→, v→ : M ∈ P si et seulement si AM→ = s·u→ + t·v→.
- Si u→ et v→ ne sont pas colinéaires, u→, v→, w→ sont coplanaires si et seulement si w→ = a·u→ + b·v→.
- Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si AB→, AC→, AD→ sont coplanaires.
- Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'y décompose de façon unique.
- Les coordonnées d'un point M dans un repère (O ; i→, j→, k→) sont celles du vecteur OM→.
- La formule de distance n'est valable que dans un repère orthonormé.
- Deux droites de l'espace sont coplanaires (parallèles ou sécantes) ou non coplanaires.
- Une droite et un plan sont sécants en un point, ou parallèles (droite incluse ou strictement parallèle).
- Deux plans distincts sont parallèles ou sécants selon une droite.
- Théorème du toit : si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur droite d'intersection est parallèle à ces deux droites.
- Toutes les positions relatives se décident par un système : aucune solution, une solution ou une infinité.
Formules et définitions à connaître
| Objet | Formule ou caractérisation | Condition |
|---|---|---|
| Vecteur AB→ | (xB - xA ; yB - yA ; zB - zA) | tout repère |
| Milieu I de [AB] | ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ; (zA + zB)/2) | tout repère |
| Distance AB | √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²) | repère orthonormé seulement |
| Colinéarité | coordonnées proportionnelles (trois vérifications) | tout repère |
| Droite d(A ; u→(a ; b ; c)) | x = xA + ta, y = yA + tb, z = zA + tc, t ∈ ℝ | u→ non nul |
| Plan P(A ; u→, v→) | AM→ = s·u→ + t·v→, s et t réels | u→, v→ non colinéaires |
| Coplanarité de 4 points | AD→ = a·AB→ + b·AC→ | A, B, C non alignés |
| Droite parallèle à un plan | vecteur directeur combinaison des vecteurs directeurs du plan |
Pièges à éviter
- Deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires.
- Pour l'intersection de deux droites paramétrées, prends deux paramètres différents (t et s).
- Dans l'espace, une seule égalité de produits en croix ne prouve pas la colinéarité : vérifie les trois coordonnées.
- Trois vecteurs deux à deux non colinéaires peuvent être coplanaires et donc ne pas former une base.
- Ne calcule pas de longueur avec la formule de distance dans un repère non orthonormé.
- Deux représentations paramétriques différentes peuvent décrire la même droite.
Je me teste
1. Que vaut AB→ + BC→ + CA→ ? → Le vecteur nul.
2. u→(1 ; 2 ; 3) et v→(2 ; 4 ; 5) sont-ils colinéaires ? → Non, car 2 × 3 = 6 ≠ 5.
3. Combien de vecteurs non colinéaires faut-il pour diriger un plan ? → Deux.
4. Que faut-il pour que trois vecteurs forment une base ? → Qu'ils soient non coplanaires.
5. Un point et un vecteur directeur de x = 1 + 2t, y = -t, z = 3 ? → Le point (1 ; 0 ; 3) et le vecteur (2 ; -1 ; 0).
6. Quelles positions possibles pour deux droites de l'espace ? → Parallèles, sécantes ou non coplanaires.
7. Deux plans distincts peuvent-ils avoir un seul point commun ? → Non, ils sont parallèles ou sécants selon une droite.
8. Comment savoir si D est dans le plan (ABC) ? → Chercher a et b tels que AD→ = a·AB→ + b·AC→.
9. Que dit le théorème du toit ? → La droite d'intersection de deux plans contenant deux droites parallèles est parallèle à ces droites.
10. Quel segment correspond à t ∈ [0 ; 1] dans la droite A + t·AB→ ? → Le segment [AB].