L'essentiel
- Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur.
- Pour deux vecteurs non nuls, u→·v→ = ‖u→‖ × ‖v→‖ × cos(u→, v→) ; si l'un est nul, le produit scalaire vaut 0.
- Le signe du produit scalaire indique la nature de l'angle : positif si aigu, nul si droit, négatif si obtus.
- Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors AB→·AC→ = AB→·AH→, qui vaut AB × AH ou -AB × AH selon le sens.
- Dans un repère orthonormé, u→(x ; y)·v→(x' ; y') = xx' + yy'.
- Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme : AB→·AB→ = AB².
- Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, ce qui donne des identités remarquables, mais on ne simplifie jamais par un vecteur.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
- La formule d'Al-Kashi généralise Pythagore à tout triangle et permet de calculer un côté ou un angle.
- L'ensemble des points M tels que MA→·MB→ = 0 est le cercle de diamètre [AB].
- La droite de vecteur normal n→(a ; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0, et u→(-b ; a) la dirige.
- Le projeté orthogonal H de A sur une droite se trouve en suivant le vecteur normal depuis A ; AH est la distance de A à la droite.
- Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x - a)² + (y - b)² = r².
- Une équation x² + y² + αx + βy + γ = 0 se met sous forme canonique : cercle, point unique ou ensemble vide selon le signe du second membre.
- La tangente à un cercle en A est perpendiculaire au rayon : ΩA→ en est un vecteur normal.
- La parabole y = ax² + bx + c a pour sommet S(α ; f(α)) avec α = -b/(2a), et pour axe de symétrie la droite x = α.
Formules et définitions à connaître
| Situation | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Normes et angle | u→·v→ = ‖u→‖ × ‖v→‖ × cos(u→, v→) | vecteurs non nuls |
| Projeté orthogonal | AB→·AC→ = AB→·AH→ = ±AB × AH | H projeté de C sur (AB) |
| Coordonnées | u→·v→ = xx' + yy' | repère orthonormé |
| Polarisation | u→·v→ = (1/2)(‖u→ + v→‖² - ‖u→‖² - ‖v→‖²) | toujours |
| Trois longueurs | AB→·AC→ = (1/2)(AB² + AC² - BC²) | toujours |
| Al-Kashi | a² = b² + c² - 2bc cos  | a côté opposé à  |
| Médiane | MA→·MB→ = MI² - AB²/4 | I milieu de [AB] |
| Droite | ax + by + c = 0, n→(a ; b), u→(-b ; a) | repère orthonormé |
| Cercle | (x - a)² + (y - b)² = r² | r > 0 |
| Parabole | sommet en x = -b/(2a) | a ≠ 0 |
- Identités : ‖u→ ± v→‖² = ‖u→‖² ± 2u→·v→ + ‖v→‖² et (u→ + v→)·(u→ - v→) = ‖u→‖² - ‖v→‖².
Pièges à éviter
- Mettre une flèche sur le résultat d'un produit scalaire.
- Utiliser xx' + yy' dans un repère qui n'est pas orthonormé.
- Oublier le signe moins quand le projeté H est du côté opposé à B par rapport à A.
- Déduire v→ = w→ de u→·v→ = u→·w→.
- Prendre le mauvais côté dans Al-Kashi : le côté isolé est celui opposé à l'angle.
- Confondre vecteur normal (a ; b) et vecteur directeur (-b ; a) d'une droite.
- Conclure qu'une équation est un cercle sans vérifier que le second membre de la forme canonique est strictement positif.
Je me teste
1. ‖u→‖ = 3, ‖v→‖ = 4, angle π/3 : u→·v→ ? → 6.
2. u→(2 ; -3)·v→(4 ; 1) ? → 5.
3. ABCD carré de côté 4 : AB→·AC→ ? → 16.
4. Condition d'orthogonalité de (x ; y) et (x' ; y') en repère orthonormé ? → xx' + yy' = 0.
5. Al-Kashi avec AB = 5, AC = 4, Â = 60° : BC² ? → 21.
6. Vecteur normal de la droite 2x - y + 7 = 0 ? → (2 ; -1).
7. Centre et rayon de (x - 2)² + (y + 3)² = 25 ? → Ω(2 ; -3), rayon 5.
8. Ensemble des M tels que MA→·MB→ = 0 ? → Le cercle de diamètre [AB].
9. Sommet de la parabole y = -x² + 4x - 3 ? → S(2 ; 1).
10. Que représente x² + y² = -4 ? → L'ensemble vide.