L'essentiel
- La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1.
- Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1, donc l'exponentielle ne s'annule jamais.
- La relation fonctionnelle exp(a + b) = exp(a) × exp(b) transforme une somme en produit.
- On note e = exp(1) ≈ 2,718 et exp(x) = eˣ ; les règles de calcul sont celles des puissances.
- Pour tout réel x, eˣ > 0, car eˣ est le carré de ex/2 et n'est pas nul.
- La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, puisque sa dérivée est elle-même, strictement positive.
- On a eᵃ = eᵇ si et seulement si a = b, et eᵃ < eᵇ si et seulement si a < b.
- La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e), et sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1.
- Pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1 : la courbe est au-dessus de sa tangente en 0.
- La dérivée de x ↦ eax + b est x ↦ a eax + b.
- Dans une dérivée contenant eˣ en facteur, le signe est celui de l'autre facteur.
- La fonction x ↦ ekx vérifie f' = kf et f(0) = 1 ; elle est croissante si k > 0 et décroissante si k < 0.
- La suite (ena) est géométrique de raison eᵃ : une exponentielle observée à pas réguliers évolue à pourcentage constant.
- Un modèle N₀ekt avec k > 0 a un temps de doublement constant ; un modèle N₀e-λt a une demi-vie constante.
Formules et définitions à connaître
| Propriété | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Définition | exp' = exp, exp(0) = 1 | sur ℝ |
| Produit | ea+b = eᵃ × eᵇ | a, b réels |
| Inverse | e⁻ᵃ = 1/eᵃ | a réel |
| Quotient | ea-b = eᵃ/eᵇ | a, b réels |
| Puissance | ena = (eᵃ)ⁿ | n entier relatif |
| Dérivée | (eax+b)' = a eax+b | sur ℝ |
| Équation | eᵃ = eᵇ ⟺ a = b | a, b réels |
| Inéquation | eᵃ < eᵇ ⟺ a < b | a, b réels |
| Suite associée | uₙ = ena, raison q = eᵃ | n entier naturel |
| Demi-vie | e-λ t₁/₂ = 1/2 | λ > 0 |
Pièges à éviter
- Écrire ea + b = eᵃ + eᵇ : c'est un produit, pas une somme.
- Confondre (eᵃ)² = e2a avec ea².
- Chercher des solutions à eˣ = 0 ou eˣ = -2 : il n'y en a aucune.
- Oublier le facteur a dans la dérivée de eax + b.
- Garder une solution X ≤ 0 après le changement de variable X = eˣ.
- Étudier le signe de l'exponentielle dans une dérivée : il est toujours positif, seul l'autre facteur compte.
Je me teste
1. Valeur de e⁰ ? → 1.
2. Valeur approchée de e ? → 2,718.
3. Simplifier e3x × e-x/ex + 1 ? → ex - 1.
4. Dérivée de e-4x + 1 ? → -4e-4x + 1.
5. Dérivée de x eˣ ? → (x + 1)eˣ.
6. Solutions de ex² ≥ e4x - 3 ? → ]-∞ ; 1] ∪ [3 ; +∞[.
7. Équation de la tangente à exp en 0 ? → y = x + 1.
8. Raison de la suite uₙ = e0,5n ? → e0,5 ≈ 1,649.
9. Baisse horaire de C(t) = 12e-0,2t ? → Environ 18,1 % par heure, car e-0,2 ≈ 0,8187.
10. Proportion restante après 3 demi-vies ? → 1/8, soit 12,5 %.