L'essentiel
- Une suite associe à chaque entier naturel n un réel uₙ ; on la représente par des points isolés (n ; uₙ).
- Une suite est explicite si uₙ = f(n), et récurrente si l'on donne u₀ et une relation u(n+1) = f(uₙ).
- Le terme u(n+1) est le terme suivant uₙ, à ne pas confondre avec uₙ + 1.
- Le sens de variation s'étudie par le signe de u(n+1) - uₙ, méthode valable dans tous les cas.
- Pour des termes strictement positifs, on peut comparer le quotient u(n+1)/uₙ à 1.
- Pour une suite explicite uₙ = f(n), les variations de f sur [0 ; +∞[ donnent celles de la suite.
- Une suite arithmétique vérifie u(n+1) = uₙ + r et son terme général est uₙ = u₀ + nr.
- Une suite arithmétique est croissante si r > 0 et décroissante si r < 0 ; ses points sont alignés.
- Une suite géométrique vérifie u(n+1) = q × uₙ et son terme général est uₙ = u₀ × qⁿ.
- Une évolution de t % par période correspond à une suite géométrique de raison 1 + t/100.
- Avec u₀ > 0, une suite géométrique est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1.
- La somme 1 + 2 + ... + n vaut n(n + 1)/2 et la somme 1 + q + ... + qⁿ vaut (1 - qn+1)/(1 - q) pour q ≠ 1.
- La suite qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si -1 < q < 1, et n'a pas de limite si q ≤ -1.
- Un algorithme de seuil utilise une boucle « tant que » dont la condition est le contraire de l'objectif.
Formules et définitions à connaître
| Notion | Arithmétique (raison r) | Géométrique (raison q) |
|---|---|---|
| Récurrence | u(n+1) = uₙ + r | u(n+1) = q × uₙ |
| Terme général | uₙ = u₀ + nr | uₙ = u₀ × qⁿ |
| Entre deux rangs | uₙ = u(p) + (n - p)r | uₙ = u(p) × qn - p |
| Somme de termes consécutifs | nombre de termes × (premier + dernier)/2 | premier × (1 - qnombre de termes)/(1 - q), q ≠ 1 |
| Somme de référence | 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 | 1 + q + ... + qⁿ = (1 - qn+1)/(1 - q) |
| Prouver la nature | u(n+1) - uₙ constant | u(n+1) = q × uₙ |
Pièges à éviter
- Compter n termes au lieu de n + 1 dans une somme de u₀ à uₙ.
- Modéliser un pourcentage constant par une suite arithmétique au lieu d'une suite géométrique.
- Additionner des pourcentages successifs : deux hausses de 10 % font 21 %, pas 20 %.
- Utiliser la méthode du quotient alors que des termes sont négatifs ou nuls.
- Croire que u(n+1) = f(uₙ) avec f croissante donne une suite croissante.
- Écrire dans une boucle de seuil la condition de l'objectif au lieu de son contraire.
Je me teste
1. Terme général d'une suite arithmétique ? → uₙ = u₀ + nr.
2. Terme général d'une suite géométrique ? → uₙ = u₀ × qⁿ.
3. Raison d'une baisse de 30 % par heure ? → q = 0,7.
4. Somme 1 + 2 + ... + 100 ? → 5 050.
5. Nombre de termes de u₀ à u₂₀ ? → 21.
6. Somme 5 + 10 + 20 + ... + 320 ? → 635.
7. Limite de 0,8ⁿ ? → 0.
8. Sens de variation de uₙ = n² + n ? → Strictement croissante, car u(n+1) - uₙ = 2n + 2 > 0.
9. Plus petit n tel que 2ⁿ ≥ 1 000 ? → n = 10.
10. Limite de 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ ? → 2.