Effet photoélectrique et interactions lumière-matière

• Décrire l'effet photoélectrique, ses caractéristiques expérimentales et son importance historique.
• Expliquer pourquoi le modèle ondulatoire de la lumière ne rend pas compte de l'effet photoélectrique, et l'interpréter à l'aide du modèle du photon.
• Calculer l'énergie d'un photon à partir de sa fréquence ou de sa longueur d'onde, en joules et en électronvolts.
• Établir, par un bilan d'énergie, la relation Ec,max = hν − W entre l'énergie cinétique maximale des électrons émis et la fréquence de la lumière.
• Déterminer une fréquence seuil ou une longueur d'onde seuil à partir du travail d'extraction, et exploiter le graphique de Ec,max en fonction de ν.
• Calculer un nombre de photons par seconde à partir d'une puissance lumineuse.
• Décrire les processus d'absorption et d'émission d'un photon par un atome à l'aide d'un diagramme de niveaux d'énergie.
• Exploiter la caractéristique d'une cellule photovoltaïque et calculer son rendement.
• Citer et expliquer des applications de l'interaction photon-matière : photodiode, cellule photovoltaïque, diode électroluminescente, capteurs d'images, spectroscopies.

1. Le photon : rappels

La lumière présente une dualité onde-particule. Elle se comporte comme une onde (diffraction, interférences) et, dans ses échanges d'énergie avec la matière, comme un ensemble de particules appelées photons. Le photon a une masse nulle, se déplace à la célérité c dans le vide et transporte un quantum d'énergie :

E = h·ν = h·c / λ

• E : énergie du photon, en joules (J) ;
• h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s : constante de Planck ;
• ν : fréquence de la radiation, en hertz (Hz) ;
• c = 3,00 × 10⁸ m·s⁻¹ : célérité de la lumière dans le vide ;
• λ : longueur d'onde dans le vide, en mètres.

Les énergies en jeu à l'échelle atomique sont très petites ; on utilise souvent l'électronvolt : 1 eV = 1,60 × 10⁻¹⁹ J, énergie acquise par un électron accéléré sous une tension de 1 V. Un calcul utile : h·c = 6,63 × 10⁻³⁴ × 3,00 × 10⁸ = 1,99 × 10⁻²⁵ J·m, soit environ 1,24 × 10⁻⁶ eV·m. Avec λ en nanomètres, E (en eV) ≈ 1 240 / λ (en nm). Un photon de lumière visible porte donc entre 1,6 eV environ (rouge, 780 nm) et 3,1 eV (violet, 400 nm) ; un photon ultraviolet porte davantage, un photon infrarouge moins.

Flux de photons. Une source monochromatique de puissance P émet N photons par seconde, chacun d'énergie h·ν :

N = P / (h·ν)

Un pointeur laser de 1,0 mW à 650 nm émet des photons de 3,06 × 10⁻¹⁹ J, donc 1,0 × 10⁻³ / 3,06 × 10⁻¹⁹ = 3,3 × 10¹⁵ photons par seconde. Le nombre est si grand que la lumière paraît continue à notre échelle.

2. L'effet photoélectrique : les faits expérimentaux

En 1887, Heinrich Hertz constate qu'une étincelle éclate plus facilement entre deux électrodes éclairées par de l'ultraviolet. Peu après, on montre qu'une plaque de zinc fraîchement décapée, fixée sur un électroscope chargé négativement, se décharge lorsqu'on l'éclaire avec une lampe à vapeur de mercure riche en ultraviolet. Interposer une plaque de verre, qui absorbe l'ultraviolet, arrête la décharge. Si l'électroscope est chargé positivement, rien ne se passe.

On appelle effet photoélectrique l'émission d'électrons par un métal sous l'effet d'un rayonnement électromagnétique. L'interprétation de l'expérience est que la lumière arrache des électrons au zinc : la plaque chargée négativement les perd et se décharge ; chargée positivement, elle rappelle les électrons arrachés.

Les expériences précises, menées notamment avec une cellule photoélectrique (cathode métallique et anode dans une ampoule vide), établissent trois faits :

• Existence d'un seuil. L'émission n'a lieu que si la fréquence ν de la lumière est supérieure à une fréquence seuil ν₀ propre au métal (ou si λ est inférieure à une longueur d'onde seuil λ₀). En dessous du seuil, aucun électron n'est émis, quelle que soit l'intensité de la lumière. Au-dessus, l'émission a lieu même avec une lumière très faible.
• Énergie indépendante de l'intensité. L'énergie cinétique maximale des électrons émis augmente avec la fréquence de la lumière, mais ne dépend pas de son intensité. Augmenter l'intensité augmente seulement le nombre d'électrons émis par seconde, donc l'intensité du courant.
• Instantanéité. L'émission commence sans délai mesurable dès que la lumière arrive, même très faible.

3. L'échec du modèle ondulatoire et l'interprétation d'Einstein

Dans le modèle ondulatoire, l'énergie d'une onde lumineuse est répartie continûment et est proportionnelle à son intensité. Une lumière intense, même de basse fréquence, devrait finir par fournir assez d'énergie à un électron pour l'extraire ; une lumière très faible devrait mettre un certain temps à accumuler cette énergie. Les trois faits expérimentaux contredisent ces prévisions.

En 1905, Albert Einstein propose que la lumière échange son énergie avec la matière par quanta indivisibles, les photons, d'énergie h·ν. L'effet photoélectrique est alors une interaction entre un photon et un électron :

• un photon est absorbé en totalité par un seul électron, ou pas du tout ;
• l'électron ne peut sortir du métal que si l'énergie reçue dépasse l'énergie minimale nécessaire pour l'extraire ;
• l'intensité lumineuse fixe le nombre de photons, donc le nombre d'électrons émis, pas l'énergie de chacun ;
• l'interaction étant individuelle, il n'y a aucun temps d'accumulation.

Ce travail, confirmé par les mesures de Robert Millikan en 1914 à 1916, vaut à Einstein le prix Nobel de physique en 1921. L'effet photoélectrique est historiquement la première preuve convaincante de l'aspect corpusculaire de la lumière et l'un des fondements de la physique quantique.

4. Travail d'extraction et bilan d'énergie

Les électrons de conduction d'un métal sont libres de se déplacer à l'intérieur du métal, mais ils y sont retenus. On appelle travail d'extraction W (ou W₀) l'énergie minimale qu'il faut fournir pour extraire un électron du métal. Il dépend du métal :

(Ces valeurs varient légèrement selon l'état de surface du métal.)

Bilan d'énergie. L'électron qui absorbe un photon reçoit l'énergie h·ν. Il en dépense au moins W pour quitter le métal ; le reste se retrouve sous forme d'énergie cinétique. Les électrons les moins liés, qui ne dépensent que W, sortent avec l'énergie cinétique maximale :

Ec,max = h·ν − W

Les autres électrons, plus profonds dans le métal, perdent davantage d'énergie et sortent avec une énergie cinétique plus faible.

Seuil. L'émission n'est possible que si Ec,max ≥ 0, donc h·ν ≥ W. La fréquence seuil et la longueur d'onde seuil valent :

ν₀ = W / h et λ₀ = h·c / W

Il y a émission si ν > ν₀, c'est-à-dire si λ < λ₀. Pour le zinc (W = 4,3 eV = 6,88 × 10⁻¹⁹ J), λ₀ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 6,88 × 10⁻¹⁹ = 2,89 × 10⁻⁷ m = 289 nm : seul l'ultraviolet extrait des électrons, ce qui explique le rôle de la plaque de verre dans l'expérience de Hertz. Pour le césium, λ₀ ≈ 650 nm : la lumière visible suffit, c'est pourquoi les métaux alcalins ont servi à fabriquer les premières cellules photoélectriques.

Vitesse des électrons émis. De Ec,max = ½·m·v², on tire v = √(2·Ec,max / m), avec m = 9,11 × 10⁻³¹ kg, masse de l'électron, et Ec en joules.

Représentation graphique. La courbe de Ec,max en fonction de ν est une droite de coefficient directeur h, qui coupe l'axe des abscisses en ν₀ et dont le prolongement coupe l'axe des ordonnées en −W. Le coefficient directeur est le même pour tous les métaux : c'est ainsi que Millikan a mesuré h avec précision. Seule l'abscisse à l'origine change d'un métal à l'autre.

5. Absorption et émission de photons par un atome

L'énergie d'un atome est quantifiée : elle ne peut prendre que certaines valeurs, appelées niveaux d'énergie, représentés sur un diagramme vertical. Le niveau le plus bas est l'état fondamental, les autres sont des états excités. Par convention, l'énergie de l'atome ionisé au repos est prise nulle : les niveaux liés ont des énergies négatives. Pour l'atome d'hydrogène, Eₙ = −13,6 / n² (en eV), n entier non nul.

Absorption. Un atome dans un état d'énergie Eₙ peut absorber un photon et passer à un niveau supérieur Eₚ seulement si l'énergie du photon est exactement égale à l'écart entre les niveaux :

h·ν = Eₚ − Eₙ

Un photon d'énergie différente traverse l'atome sans être absorbé. C'est l'origine des raies noires d'un spectre d'absorption. Exception : si l'énergie du photon dépasse l'énergie d'ionisation, l'atome perd un électron, qui emporte l'excédent sous forme d'énergie cinétique ; cette ionisation n'exige pas une énergie précise, c'est l'analogue atomique de l'effet photoélectrique.

Émission spontanée. Un atome excité revient spontanément vers un niveau inférieur en émettant un photon d'énergie égale à l'écart entre les niveaux : h·ν = Eₚ − Eₙ. C'est l'origine des raies colorées des spectres d'émission (lampes à vapeur de sodium, de mercure, néons). Un même atome absorbe et émet donc les mêmes longueurs d'onde : les spectres de raies sont la signature d'un élément chimique.

Émission stimulée. Un troisième processus existe : un photon d'énergie égale à Eₚ − Eₙ peut provoquer la désexcitation d'un atome déjà excité, qui émet alors un photon identique (même énergie, même direction, même phase). Ce processus est à la base du fonctionnement du laser.

Dans les molécules et les solides, les niveaux sont plus nombreux et peuvent former des bandes. Dans les molécules, l'absorption d'ultraviolet ou de visible correspond à des transitions électroniques (spectroscopie UV-visible, couleur des espèces chimiques), l'absorption d'infrarouge à des transitions de vibration des liaisons (spectroscopie infrarouge).

6. Semi-conducteurs : photodiode, cellule photovoltaïque, DEL

Dans un semi-conducteur comme le silicium, les électrons ne peuvent occuper que deux bandes d'énergie séparées par une bande interdite de largeur Eg (le « gap ») : 1,12 eV pour le silicium. Un électron qui reçoit au moins Eg passe de la bande inférieure à la bande supérieure : il devient libre de se déplacer et laisse derrière lui un « trou », place vacante qui se comporte comme une charge positive mobile.

Absorption par un semi-conducteur : photodétection. Un photon d'énergie h·ν ≥ Eg peut créer une paire électron-trou. Un photon d'énergie inférieure à Eg n'est pas absorbé. La longueur d'onde maximale détectée vaut donc λmax = h·c / Eg : pour le silicium, λmax ≈ 1 240 / 1,12 ≈ 1 100 nm, dans l'infrarouge proche. Le silicium détecte ainsi tout le visible et le proche infrarouge.

• Dans une photodiode, les paires créées produisent un courant proportionnel au nombre de photons reçus par seconde, donc à la puissance lumineuse : c'est un capteur de lumière (télécommandes, lecteurs de codes, mesures d'éclairement).
• Les capteurs d'images des appareils photo et des téléphones sont des matrices de millions de photodiodes, les pixels.

Cellule photovoltaïque. C'est une photodiode utilisée comme générateur : les paires électron-trou créées par la lumière sont séparées par le champ électrique interne de la jonction, ce qui fait circuler un courant dans un circuit extérieur. Elle convertit l'énergie lumineuse en énergie électrique.

Sa caractéristique I(U) sous un éclairement donné part de l'intensité de court-circuit Icc (pour U = 0), reste presque constante, puis chute jusqu'à zéro à la tension à vide U₀ (environ 0,6 V pour une cellule au silicium). La puissance électrique fournie P = U·I est nulle aux deux extrémités et passe par un maximum Pmax pour un point de fonctionnement particulier, que l'on obtient en choisissant convenablement la résistance de charge (R = U/I en ce point). Les panneaux solaires associent de nombreuses cellules en série et en parallèle.

Le rendement d'une cellule photovoltaïque est le rapport de la puissance électrique fournie à la puissance lumineuse reçue :

η = Pélec / Plum = U·I / (E·S)

avec E l'éclairement (puissance lumineuse reçue par unité de surface, en W·m⁻²) et S la surface de la cellule (m²). Le rendement est sans unité, souvent exprimé en pourcentage : de 15 % à 22 % environ pour les panneaux au silicium du commerce. Il est limité notamment parce que les photons d'énergie inférieure à Eg ne sont pas absorbés, et que l'excédent d'énergie des photons d'énergie supérieure à Eg est perdu en chaleur.

Diode électroluminescente (DEL). C'est le processus inverse : un courant injecte des électrons et des trous qui se recombinent en émettant un photon d'énergie voisine de Eg. La couleur d'une DEL est donc fixée par le matériau : λ ≈ h·c / Eg. Un gap de 1,9 eV donne du rouge (environ 650 nm), un gap de 2,7 eV du bleu (environ 460 nm). Les DEL blanches associent une DEL bleue à une couche luminescente qui réémet du jaune. Comme l'énergie électrique est convertie directement en photons, sans passer par l'échauffement d'un filament, le rendement lumineux d'une DEL est bien supérieur à celui d'une lampe à incandescence.

Exemple 1 : électrons arrachés au potassium

Énoncé. Une cathode de potassium (W = 2,30 eV) est éclairée par une radiation de longueur d'onde λ = 400 nm. a) Calculer l'énergie d'un photon en joules et en électronvolts. b) Y a-t-il émission d'électrons ? c) Calculer l'énergie cinétique maximale des électrons émis et leur vitesse maximale. d) Calculer la longueur d'onde seuil du potassium. Données : h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s ; c = 3,00 × 10⁸ m·s⁻¹ ; 1 eV = 1,60 × 10⁻¹⁹ J ; m = 9,11 × 10⁻³¹ kg.

Résolution. a) E = h·c/λ = 6,63 × 10⁻³⁴ × 3,00 × 10⁸ / 400 × 10⁻⁹ = 4,97 × 10⁻¹⁹ J. En eV : 4,97 × 10⁻¹⁹ / 1,60 × 10⁻¹⁹ = 3,11 eV. b) E = 3,11 eV > W = 2,30 eV : il y a émission d'électrons. c) Ec,max = E − W = 3,11 − 2,30 = 0,81 eV = 0,81 × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 1,3 × 10⁻¹⁹ J. v = √(2·Ec,max/m) = √(2 × 1,29 × 10⁻¹⁹ / 9,11 × 10⁻³¹) = √(2,83 × 10¹¹) = 5,3 × 10⁵ m·s⁻¹. d) λ₀ = h·c/W, avec W = 2,30 × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 3,68 × 10⁻¹⁹ J : λ₀ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 3,68 × 10⁻¹⁹ = 5,40 × 10⁻⁷ m. λ₀ ≈ 540 nm : toute radiation de longueur d'onde inférieure (vert, bleu, violet, ultraviolet) extrait des électrons du potassium.

Exemple 2 : rendement d'un panneau solaire

Énoncé. Un panneau photovoltaïque de surface S = 1,6 m² reçoit un éclairement E = 800 W·m⁻². À son point de puissance maximale, il délivre une tension U = 30 V et une intensité I = 8,0 A. a) Calculer la puissance lumineuse reçue. b) Calculer la puissance électrique fournie. c) Calculer le rendement. d) Quelle énergie électrique fournit-il en 5,0 h dans ces conditions ?

Résolution. a) Plum = E·S = 800 × 1,6 = 1,28 × 10³ W. b) Pélec = U·I = 30 × 8,0 = 240 W. c) η = Pélec / Plum = 240 / 1 280 = 0,1875. η ≈ 19 %. Les 81 % restants sont principalement convertis en énergie thermique ou réfléchis. d) Énergie = Pélec × Δt = 240 × 5,0 × 3 600 = 4,3 × 10⁶ J, soit 240 × 5,0 = 1,2 × 10³ Wh. 1,2 kWh.

Exemple 3 : mesurer la constante de Planck

Énoncé. Avec une cathode de sodium, on mesure l'énergie cinétique maximale des électrons émis pour plusieurs fréquences :

a) Montrer que les points sont alignés et calculer le coefficient directeur de la droite. b) En déduire la constante de Planck en J·s. c) Déterminer le travail d'extraction du sodium et sa fréquence seuil.

Résolution. a) Entre deux colonnes successives, ν augmente de 1,0 × 10¹⁴ Hz et Ec,max de 0,41 ou 0,42 eV : l'accroissement est constant, les points sont alignés. Coefficient directeur : k = (1,86 − 0,21) / (10,0 − 6,0) × 10¹⁴ = 1,65 / 4,0 × 10¹⁴ = 4,13 × 10⁻¹⁵ eV·s. b) D'après Ec,max = h·ν − W, le coefficient directeur est h. h = 4,13 × 10⁻¹⁵ × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 6,6 × 10⁻³⁴ J·s. h ≈ 6,6 × 10⁻³⁴ J·s, en accord avec la valeur admise. c) W = h·ν − Ec,max, avec le premier point : W = 4,13 × 10⁻¹⁵ × 6,0 × 10¹⁴ − 0,21 = 2,48 − 0,21 = 2,27 eV (environ 2,3 eV). Fréquence seuil : ν₀ = W/h = 2,27 / 4,13 × 10⁻¹⁵ = 5,5 × 10¹⁴ Hz, soit λ₀ = c/ν₀ = 3,00 × 10⁸ / 5,5 × 10¹⁴ = 5,5 × 10⁻⁷ m = 550 nm environ.

• Méthode type : calcule l'énergie du photon, convertis-la dans la même unité que W, compare : si h·ν < W, rien n'est émis ; sinon, Ec,max = h·ν − W.
• Pour passer des joules aux électronvolts, divise par 1,60 × 10⁻¹⁹ ; pour le sens inverse, multiplie. Ne mélange jamais les deux unités dans une soustraction.
• Pour calculer une vitesse avec ½·m·v², l'énergie doit être en joules et la masse en kilogrammes.
• Ne confonds pas intensité et fréquence : augmenter l'intensité augmente le nombre d'électrons émis (le courant), pas leur énergie ; seule la fréquence agit sur l'énergie.
• Une longueur d'onde plus grande signifie un photon moins énergétique : le seuil photoélectrique est une longueur d'onde maximale (émission si λ < λ₀).
• Pour un atome isolé, l'absorption exige une énergie exactement égale à un écart entre niveaux ; pour l'effet photoélectrique ou l'ionisation, toute énergie supérieure au seuil convient.
• Dans le calcul d'un rendement photovoltaïque, la puissance reçue est E × S : vérifie que la surface est en m² (100 cm² = 1,00 × 10⁻² m²).
• Sur une caractéristique I(U), cherche le maximum du produit U·I, pas le maximum de I ni celui de U.

En PASS, l'interaction photon-matière est au cœur de la biophysique des rayonnements. Pour les photons X et gamma utilisés en imagerie médicale et en radiothérapie, l'effet photoélectrique devient l'interaction avec un électron des couches profondes d'un atome (couche K), en compétition avec l'effet Compton et la création de paires. Sa probabilité augmente fortement avec le numéro atomique du milieu, ce qui explique le contraste entre os et tissus mous en radiographie et l'usage de produits de contraste iodés. On y relie aussi l'atténuation des faisceaux, le réarrangement électronique qui suit l'éjection (photons de fluorescence, électrons Auger) et les détecteurs de rayonnements. Les calculs en électronvolts, kiloélectronvolts et mégaélectronvolts doivent alors être immédiats.

Données pour tous les exercices : h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s ; c = 3,00 × 10⁸ m·s⁻¹ ; 1 eV = 1,60 × 10⁻¹⁹ J ; e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C ; masse de l'électron m = 9,11 × 10⁻³¹ kg.

Niveau 1 : s'entraîner

1. Calculer l'énergie, en joules puis en électronvolts, d'un photon ultraviolet de longueur d'onde λ = 250 nm.

2. Le travail d'extraction du zinc vaut W = 4,3 eV. a) Calculer sa longueur d'onde seuil. b) Une plaque de zinc éclairée en lumière visible émet-elle des électrons ?

3. Une plaque de cuivre (W = 4,7 eV) est éclairée par un rayonnement ultraviolet de longueur d'onde 200 nm. Calculer l'énergie cinétique maximale des électrons émis, en eV puis en J.

4. Une cellule photovoltaïque carrée de 10 cm de côté reçoit un éclairement de 1 000 W·m⁻² et fournit une puissance électrique de 2,0 W. Calculer son rendement.

5. Un atome possède les niveaux d'énergie E₁ = −5,0 eV (état fondamental), E₂ = −3,0 eV et E₃ = −1,6 eV. a) Parmi des photons d'énergies 2,0 eV, 2,5 eV, 3,4 eV et 6,0 eV, lesquels peuvent être absorbés par l'atome dans son état fondamental ? Que se passe-t-il pour le photon de 6,0 eV ? b) Calculer les longueurs d'onde des trois raies que l'atome peut émettre en se désexcitant depuis E₃.

Niveau 2 : type bac

6. Une cellule photoélectrique à cathode de sodium (W = 2,28 eV) est éclairée par un laser violet de longueur d'onde 400 nm et de puissance 0,50 mW. a) Montrer qu'il y a effet photoélectrique. b) Calculer l'énergie cinétique maximale des électrons émis. c) Calculer le nombre de photons reçus par seconde. d) On admet qu'un photon sur cent arrache un électron collecté par l'anode. Calculer l'intensité du courant. e) Que deviennent le courant et Ec,max si l'on double la puissance du laser ?

7. On éclaire une même cathode métallique par deux radiations. Pour λ₁ = 300 nm, l'énergie cinétique maximale des électrons vaut 1,84 eV ; pour λ₂ = 450 nm, elle vaut 0,46 eV. a) Calculer les fréquences ν₁ et ν₂. b) En utilisant la relation Ec,max = h·ν − W, déterminer h (en eV·s puis en J·s). c) Déterminer le travail d'extraction W et identifier le métal parmi : césium (1,9 eV), potassium (2,3 eV), zinc (4,3 eV).

8. Une cellule photovoltaïque de surface 25 cm² reçoit un éclairement de 800 W·m⁻². On relève sa caractéristique :

a) Donner l'intensité de court-circuit et la tension à vide. b) Calculer la puissance électrique pour chaque point et repérer la puissance maximale. c) Calculer le rendement maximal de la cellule. d) Quelle résistance de charge faut-il brancher pour fonctionner à ce point ?

9. a) Une DEL est fabriquée avec un semi-conducteur de gap Eg = 1,9 eV. Calculer la longueur d'onde émise et en déduire sa couleur. b) Même question pour un gap de 2,7 eV. c) Une photodiode au silicium (Eg = 1,12 eV) peut-elle détecter le rayonnement infrarouge d'une télécommande de longueur d'onde 940 nm ? Calculer la longueur d'onde maximale qu'elle détecte. d) Expliquer pourquoi une DEL chauffe beaucoup moins qu'une lampe à incandescence de même éclairement.

Niveau 3 : vers le PASS

10. On éclaire une cathode métallique par une radiation de longueur d'onde 350 nm. Pour empêcher les électrons les plus rapides d'atteindre l'anode, on applique entre la cathode et l'anode une tension qui les freine ; on mesure qu'il faut au minimum une tension U₀ = 1,20 V. On admet que le travail de la force électrique freinant un électron sous la tension U₀ vaut −e·U₀. a) Par le théorème de l'énergie cinétique, montrer que Ec,max = e·U₀ et calculer Ec,max en eV. b) En déduire le travail d'extraction du métal. c) Calculer sa longueur d'onde seuil. d) Que devient U₀ si l'on éclaire avec une radiation de 300 nm ?

11. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. a) Une lumière rouge très intense peut arracher des électrons à du zinc. b) Doubler la fréquence de la lumière double l'énergie cinétique maximale des électrons émis. c) La pente de la droite Ec,max = f(ν) est la même pour tous les métaux. d) Un atome d'hydrogène dans l'état fondamental (E₁ = −13,6 eV, E₂ = −3,40 eV) absorbe un photon de 10,0 eV. e) Un photon de 15,0 eV peut ioniser un atome d'hydrogène dans l'état fondamental.

12. En radiographie, on injecte un produit de contraste iodé. L'énergie de liaison d'un électron de la couche K de l'iode vaut 33,2 keV, celle d'un électron de la couche L vaut 4,6 keV. a) Un photon X de 60,0 keV éjecte un électron K de l'iode par effet photoélectrique. Calculer l'énergie cinétique de l'électron éjecté. b) Calculer la longueur d'onde de ce photon. c) La lacune de la couche K est comblée par un électron de la couche L. Calculer l'énergie du photon émis. d) Un photon de 30,0 keV peut-il éjecter un électron K de l'iode ? Expliquer pourquoi l'absorption par l'iode augmente brusquement au-dessus de 33,2 keV.

13. Le Soleil fournit au sol un éclairement d'environ 1 000 W·m⁻². On assimile ce rayonnement à des photons de longueur d'onde moyenne 550 nm. a) Calculer le nombre de photons reçus par seconde sur 1,0 m². b) Une cellule au silicium (Eg = 1,12 eV) absorbe-t-elle un photon de 550 nm ? un photon de 1 300 nm ? c) Un photon de 550 nm absorbé crée une paire électron-trou ; l'énergie utilisable de cette paire vaut au plus Eg. Quelle fraction maximale de l'énergie du photon est récupérée ? d) En déduire deux raisons pour lesquelles le rendement d'une cellule au silicium reste limité.

1. E = h·c/λ = 6,63 × 10⁻³⁴ × 3,00 × 10⁸ / 250 × 10⁻⁹ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 2,50 × 10⁻⁷ = 7,96 × 10⁻¹⁹ J.

En eV : 7,96 × 10⁻¹⁹ / 1,60 × 10⁻¹⁹ = 4,97 eV. E = 7,96 × 10⁻¹⁹ J ≈ 4,97 eV.

2. a) W = 4,3 × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 6,88 × 10⁻¹⁹ J. λ₀ = h·c/W = 1,99 × 10⁻²⁵ / 6,88 × 10⁻¹⁹ = 2,89 × 10⁻⁷ m. λ₀ ≈ 289 nm.

b) La lumière visible a des longueurs d'onde comprises entre 400 et 800 nm, toutes supérieures à λ₀ : ses photons sont trop peu énergétiques. Aucun électron n'est émis, quelle que soit l'intensité.

3. E = 1,99 × 10⁻²⁵ / 200 × 10⁻⁹ = 9,95 × 10⁻¹⁹ J = 9,95 / 1,60 = 6,22 eV.

Ec,max = E − W = 6,22 − 4,7 = 1,5 eV, soit 1,52 × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 2,4 × 10⁻¹⁹ J. Ec,max ≈ 1,5 eV ≈ 2,4 × 10⁻¹⁹ J.

4. S = 0,10 × 0,10 = 1,0 × 10⁻² m². Plum = E·S = 1 000 × 1,0 × 10⁻² = 10 W.

η = Pélec/Plum = 2,0/10 = 0,20. η = 20 %.

5. a) Depuis E₁, les absorptions possibles correspondent à E₂ − E₁ = −3,0 − (−5,0) = 2,0 eV et à E₃ − E₁ = −1,6 − (−5,0) = 3,4 eV. Les photons de 2,0 eV et 3,4 eV sont absorbés ; celui de 2,5 eV ne correspond à aucun écart, il n'est pas absorbé. Le photon de 6,0 eV dépasse l'énergie d'ionisation (5,0 eV) : il ionise l'atome, l'électron libéré emportant 6,0 − 5,0 = 1,0 eV d'énergie cinétique.

b) Raies issues de E₃ : E₃ → E₁ : ΔE = 3,4 eV = 5,44 × 10⁻¹⁹ J, λ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 5,44 × 10⁻¹⁹ = 3,66 × 10⁻⁷ m, λ ≈ 366 nm (ultraviolet). E₃ → E₂ : ΔE = 1,4 eV = 2,24 × 10⁻¹⁹ J, λ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 2,24 × 10⁻¹⁹ = 8,88 × 10⁻⁷ m, λ ≈ 888 nm (infrarouge). E₂ → E₁ (après la précédente) : ΔE = 2,0 eV = 3,20 × 10⁻¹⁹ J, λ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 3,20 × 10⁻¹⁹ = 6,22 × 10⁻⁷ m, λ ≈ 622 nm (rouge orangé).

6. a) E = 1,99 × 10⁻²⁵ / 400 × 10⁻⁹ = 4,97 × 10⁻¹⁹ J = 3,11 eV > W = 2,28 eV : il y a effet photoélectrique.

b) Ec,max = 3,11 − 2,28 = 0,83 eV (1,3 × 10⁻¹⁹ J). c) N = P/E = 0,50 × 10⁻³ / 4,97 × 10⁻¹⁹ = 1,0 × 10¹⁵ photons par seconde. d) Nombre d'électrons par seconde : 1,0 × 10¹⁵ / 100 = 1,0 × 10¹³. Chaque électron porte la charge e, donc I = 1,0 × 10¹³ × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 1,6 × 10⁻⁶ A. I ≈ 1,6 µA. e) Doubler la puissance double le nombre de photons, donc le nombre d'électrons : le courant double (3,2 µA). L'énergie de chaque photon est inchangée : Ec,max reste 0,83 eV.

7. a) ν₁ = c/λ₁ = 3,00 × 10⁸ / 300 × 10⁻⁹ = 1,00 × 10¹⁵ Hz ; ν₂ = 3,00 × 10⁸ / 450 × 10⁻⁹ = 6,67 × 10¹⁴ Hz.

b) Par différence : Ec,1 − Ec,2 = h(ν₁ − ν₂), donc h = (1,84 − 0,46) / (1,00 × 10¹⁵ − 6,67 × 10¹⁴) = 1,38 / 3,33 × 10¹⁴ = 4,14 × 10⁻¹⁵ eV·s. En J·s : 4,14 × 10⁻¹⁵ × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 6,6 × 10⁻³⁴ J·s. c) W = h·ν₁ − Ec,1 = 4,14 × 10⁻¹⁵ × 1,00 × 10¹⁵ − 1,84 = 4,14 − 1,84 = 2,30 eV : le métal est le potassium.

8. a) Icc = 0,60 A (pour U = 0) ; U₀ = 0,60 V (pour I = 0).

b) P = U·I : 0 ; 0,20 × 0,59 = 0,118 W ; 0,40 × 0,56 = 0,224 W ; 0,45 × 0,52 = 0,234 W ; 0,50 × 0,44 = 0,220 W ; 0,55 × 0,28 = 0,154 W ; 0. Pmax ≈ 0,234 W, pour U = 0,45 V et I = 0,52 A. c) S = 25 × 10⁻⁴ m² = 2,5 × 10⁻³ m². Plum = 800 × 2,5 × 10⁻³ = 2,0 W. η = 0,234/2,0 = 0,117. η ≈ 12 %. d) R = U/I = 0,45/0,52 = 0,87 Ω.

9. a) Eg = 1,9 × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 3,04 × 10⁻¹⁹ J ; λ = h·c/Eg = 1,99 × 10⁻²⁵ / 3,04 × 10⁻¹⁹ = 6,5 × 10⁻⁷ m. λ ≈ 650 nm : DEL rouge.

b) Eg = 2,7 × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 4,32 × 10⁻¹⁹ J ; λ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 4,32 × 10⁻¹⁹ = 4,6 × 10⁻⁷ m. λ ≈ 460 nm : DEL bleue. c) λmax = h·c/Eg = 1,99 × 10⁻²⁵ / (1,12 × 1,60 × 10⁻¹⁹) = 1,99 × 10⁻²⁵ / 1,79 × 10⁻¹⁹ = 1,11 × 10⁻⁶ m. λmax ≈ 1 110 nm ; 940 nm < 1 110 nm, donc le photon a une énergie supérieure à Eg : la photodiode détecte le signal de la télécommande. d) Dans la DEL, l'énergie électrique est convertie directement en photons de la couleur voulue lors des recombinaisons. Une lampe à incandescence produit de la lumière en chauffant un filament, et l'essentiel de l'énergie est rayonné dans l'infrarouge ou dissipé thermiquement. À éclairement égal, la DEL consomme moins d'énergie et en perd beaucoup moins en chaleur.

10. a) Système : l'électron le plus rapide, de la cathode jusqu'à l'arrêt juste devant l'anode. Théorème de l'énergie cinétique : 0 − Ec,max = −e·U₀ (le poids est négligeable). Donc Ec,max = e·U₀. Pour U₀ = 1,20 V, Ec,max = 1,20 eV (par définition de l'électronvolt), soit 1,92 × 10⁻¹⁹ J.

b) E = 1,99 × 10⁻²⁵ / 350 × 10⁻⁹ = 5,68 × 10⁻¹⁹ J = 3,55 eV. W = E − Ec,max = 3,55 − 1,20 = 2,35 eV. c) λ₀ = h·c/W = 1,99 × 10⁻²⁵ / (2,35 × 1,60 × 10⁻¹⁹) = 1,99 × 10⁻²⁵ / 3,76 × 10⁻¹⁹ = 5,29 × 10⁻⁷ m. λ₀ ≈ 529 nm. d) À 300 nm : E = 1,99 × 10⁻²⁵ / 3,00 × 10⁻⁷ = 6,63 × 10⁻¹⁹ J = 4,14 eV ; Ec,max = 4,14 − 2,35 = 1,79 eV. U₀ = 1,79 V : la tension d'arrêt augmente avec la fréquence.

11. a) Faux : un photon rouge (environ 1,8 eV) a une énergie inférieure au travail d'extraction du zinc (4,3 eV) ; l'intensité augmente le nombre de photons, pas leur énergie individuelle.

b) Faux : Ec,max = h·ν − W n'est pas proportionnelle à ν. Doubler ν fait passer Ec,max de h·ν − W à 2h·ν − W, qui est plus que le double. c) Vrai : la pente vaut h, constante universelle ; seule l'abscisse à l'origine (ν₀) dépend du métal. d) Faux : E₂ − E₁ = −3,40 − (−13,6) = 10,2 eV ≠ 10,0 eV, et 10,0 eV est inférieur à l'énergie d'ionisation : le photon n'est pas absorbé. e) Vrai : l'énergie d'ionisation depuis l'état fondamental vaut 13,6 eV < 15,0 eV ; l'électron est libéré avec 15,0 − 13,6 = 1,4 eV d'énergie cinétique.

12. a) Ec = E_photon − E_liaison = 60,0 − 33,2 = 26,8 keV.

b) E = 60,0 × 10³ × 1,60 × 10⁻¹⁹ = 9,60 × 10⁻¹⁵ J. λ = h·c/E = 1,99 × 10⁻²⁵ / 9,60 × 10⁻¹⁵ = 2,07 × 10⁻¹¹ m. λ ≈ 2,1 × 10⁻¹¹ m = 20,7 pm. c) L'électron passe d'un niveau d'énergie −4,6 keV à un niveau −33,2 keV ; le photon emporte la différence : 33,2 − 4,6 = 28,6 keV (photon X de fluorescence). d) 30,0 keV < 33,2 keV : ce photon ne peut pas éjecter un électron K, il ne peut interagir qu'avec des électrons moins liés. Au-dessus de 33,2 keV, les électrons K, les plus proches du noyau, deviennent accessibles et l'absorption par effet photoélectrique augmente brusquement : c'est ce qui rend l'iode très absorbant pour les photons utilisés en radiographie et explique son emploi comme produit de contraste.

13. a) E = h·c/λ = 1,99 × 10⁻²⁵ / 550 × 10⁻⁹ = 3,62 × 10⁻¹⁹ J. N = P/E = 1 000 / 3,62 × 10⁻¹⁹ = 2,8 × 10²¹ photons par seconde sur 1,0 m².

b) Photon de 550 nm : 3,62 × 10⁻¹⁹ / 1,60 × 10⁻¹⁹ = 2,26 eV > 1,12 eV, il est absorbé. Photon de 1 300 nm : E = 1,99 × 10⁻²⁵ / 1,30 × 10⁻⁶ = 1,53 × 10⁻¹⁹ J = 0,96 eV < 1,12 eV, il n'est pas absorbé (il traverse le silicium). c) Fraction maximale récupérée : Eg/E = 1,12/2,26 = 0,50. Au plus 50 % de l'énergie du photon, le reste est perdu en chaleur. d) Première raison : les photons d'énergie inférieure à Eg (infrarouge au-delà de 1,1 µm) ne sont pas absorbés. Deuxième raison : pour les photons absorbés, l'excédent d'énergie au-dessus de Eg est perdu sous forme thermique. S'y ajoutent les pertes par réflexion et les recombinaisons de paires avant leur collecte.

Ce chapitre prépare la partie Radioactivité, interactions et dosimétrie du cours Biophysique : rayonnements et imagerie médicale (UE 11 · Biophysique). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre