Mécanique des fluides

• Définir et calculer une masse volumique et une densité, en convertissant correctement les volumes (L, mL, cm³, m³).
• Définir la pression, relier force pressante, pression et surface, et convertir les unités usuelles (Pa, hPa, bar, mmHg).
• Énoncer et exploiter la loi fondamentale de la statique des fluides pour un fluide incompressible au repos.
• Expliquer l'origine de la poussée d'Archimède, en donner les caractéristiques (direction, sens, valeur) et l'utiliser pour étudier la flottaison.
• Définir le débit volumique, le relier à la section et à la vitesse moyenne d'écoulement, et passer au débit massique.
• Exploiter la conservation du débit volumique pour un fluide incompressible en écoulement permanent.
• Énoncer la relation de Bernoulli avec ses conditions de validité et l'appliquer entre deux points d'une ligne de courant.
• Expliquer l'effet Venturi et l'exploiter pour mesurer une vitesse ou un débit.
• Repérer les limites du modèle du fluide parfait (viscosité, turbulence) dans une situation concrète.

1. Le fluide, sa masse volumique et sa densité

Un fluide est un milieu matériel qui se déforme et s'écoule sous l'effet de forces même faibles, et qui épouse la forme du récipient qui le contient. Les liquides et les gaz sont des fluides. À l'échelle microscopique, un fluide est formé d'entités (molécules, atomes, ions) en mouvement désordonné permanent. À l'échelle macroscopique, on le décrit par des grandeurs moyennes définies en chaque point : masse volumique, pression, température, vitesse d'écoulement.

La masse volumique ρ d'un échantillon de masse m occupant un volume V est :

ρ = m / V, avec m en kg, V en m³ et ρ en kg·m⁻³.

Ordres de grandeur à connaître : eau liquide 1,00×10³ kg·m⁻³ ; eau de mer environ 1,03×10³ kg·m⁻³ ; sang environ 1,06×10³ kg·m⁻³ ; mercure 13,6×10³ kg·m⁻³ ; glace 917 kg·m⁻³ ; air à 20 °C et sous 1 bar environ 1,2 kg·m⁻³. Un gaz est environ mille fois moins dense qu'un liquide, car ses entités sont beaucoup plus espacées.

Conversions utiles : 1 L = 1 dm³ = 10⁻³ m³ ; 1 mL = 1 cm³ = 10⁻⁶ m³ ; 1 g·cm⁻³ = 10³ kg·m⁻³ = 1 kg·L⁻¹.

La densité d d'un liquide ou d'un solide est le rapport de sa masse volumique à celle de l'eau : d = ρ / ρ(eau). C'est un nombre sans unité. Une densité supérieure à 1 signifie que le corps est plus dense que l'eau.

Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique ne dépend pas de la pression. Les liquides sont très peu compressibles et seront toujours modélisés ainsi dans ce chapitre. Les gaz sont compressibles, mais sur des hauteurs de quelques mètres et pour des vitesses modérées, leur masse volumique varie peu et on peut aussi les traiter comme incompressibles.

2. La pression et la force pressante

Un fluide au contact d'une paroi exerce sur elle une action mécanique répartie. Sur une petite surface plane d'aire S, cette action se modélise par une force pressante F→ :

• perpendiculaire à la surface ;
• orientée du fluide vers la paroi ;
• de valeur F = P × S.

La pression P est donc la valeur de la force pressante par unité de surface :

P = F / S, avec F en N, S en m² et P en pascal (Pa). 1 Pa = 1 N·m⁻².

Unités usuelles : 1 hPa = 10² Pa ; 1 bar = 10⁵ Pa ; la pression atmosphérique normale vaut P(atm) = 1,013×10⁵ Pa = 1 013 hPa ; 1 mmHg (millimètre de mercure) vaut environ 133,3 Pa, donc 760 mmHg correspondent à 1,013×10⁵ Pa. Le mmHg reste l'unité de la pression artérielle en médecine.

Interprétation microscopique. La pression résulte des innombrables chocs des entités du fluide sur la paroi. Chaque choc transfère une petite quantité de mouvement ; la somme de ces transferts par unité de temps et de surface est la pression. Plus les entités sont nombreuses par unité de volume et rapides (donc plus la température est élevée), plus la pression est grande.

Pression absolue et pression relative. La pression définie ci-dessus est la pression absolue. Beaucoup d'appareils (manomètre de pneu, tensiomètre) mesurent une pression relative, c'est-à-dire l'écart à la pression atmosphérique : P(relative) = P - P(atm). Une pression artérielle « de 120 mmHg » est une pression relative : la pression absolue du sang vaut alors 760 + 120 = 880 mmHg.

Une pression est une grandeur scalaire, définie en chaque point du fluide, indépendante de l'orientation de la surface qu'on y place. C'est la force pressante, elle, qui est un vecteur.

Exemple court : la pression atmosphérique exerce sur une feuille A4 posée à plat (S = 0,210 m × 0,297 m = 6,24×10⁻² m²) une force F = 1,013×10⁵ × 6,24×10⁻² ≈ 6,3×10³ N, soit le poids d'une masse de plus de 600 kg. La feuille ne s'envole ni ne s'écrase, car l'air exerce une force égale et opposée sur sa face inférieure.

3. La loi fondamentale de la statique des fluides

Énoncé. Dans un fluide incompressible de masse volumique ρ, au repos, dans le champ de pesanteur uniforme g, la pression en deux points 1 et 2 d'altitudes z₁ et z₂ (axe Oz vertical orienté vers le haut) vérifie :

P₂ - P₁ = ρ × g × (z₁ - z₂)

On l'écrit aussi P + ρgz = constante dans tout le fluide. Si l'on repère plutôt la profondeur h sous la surface libre, où règne la pression P(atm), alors P(h) = P(atm) + ρgh.

Démonstration. On isole par la pensée un cylindre de fluide vertical, de section S, compris entre les altitudes z₂ (base) et z₁ (sommet), avec z₁ > z₂. Ce cylindre est au repos : la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle (principe d'inertie). Les forces sont :

• son poids, vertical vers le bas, de valeur m g = ρ S (z₁ - z₂) g ;
• la force pressante sur la face supérieure, vers le bas, de valeur P₁ S ;
• la force pressante sur la face inférieure, vers le haut, de valeur P₂ S ;
• les forces pressantes sur la paroi latérale, horizontales, qui se compensent deux à deux.

En projection sur l'axe vertical orienté vers le haut : P₂ S - P₁ S - ρ S (z₁ - z₂) g = 0, d'où P₂ - P₁ = ρ g (z₁ - z₂). La pression augmente donc quand on descend.

Conséquences.

• Deux points d'un même fluide au repos situés à la même altitude ont la même pression : les surfaces isobares sont des plans horizontaux. La surface libre d'un liquide au repos est horizontale.
• Dans des vases communicants contenant un même liquide, les surfaces libres sont au même niveau, quelle que soit la forme des récipients.
• Dans l'eau, une profondeur d'environ 10 m ajoute une pression d'environ 1 bar : ρgh = 1,00×10³ × 9,81 × 10,0 = 9,81×10⁴ Pa.
• Toute variation de pression imposée en un point d'un liquide incompressible au repos se transmet intégralement en tout point : c'est le principe de Pascal, utilisé dans les freins et les vérins hydrauliques.
• Dans un gaz, ρ est si faible que la pression varie très peu sur quelques mètres : dans l'air, 10 m de dénivelé changent la pression d'environ 1,2 × 9,81 × 10 ≈ 1,2×10² Pa, soit à peine plus d'un millième de bar. On considère donc la pression uniforme dans un récipient de gaz de taille ordinaire.

Le baromètre de Torricelli. Un tube rempli de mercure, retourné sur une cuve de mercure, se vide partiellement : au-dessus du mercure règne un quasi-vide (P ≈ 0). La loi fondamentale entre la surface de la cuve (P(atm)) et le sommet de la colonne donne P(atm) = ρ(Hg) g h, soit h = 1,013×10⁵ / (13,6×10³ × 9,81) ≈ 0,759 m. C'est l'origine de l'unité mmHg.

Le manomètre en U. Un tube en U contenant un liquide de masse volumique ρ, relié d'un côté à un gaz à la pression P et ouvert de l'autre à l'air, présente une dénivellation h telle que P - P(atm) = ρgh. Mesurer h revient à mesurer la pression relative.

4. La poussée d'Archimède

Énoncé. Tout corps immergé, totalement ou partiellement, dans un fluide au repos subit de la part de ce fluide une force appelée poussée d'Archimède Π→, qui est :

• verticale, dirigée vers le haut ;
• de valeur égale au poids du fluide déplacé : Π = ρ(fluide) × V(immergé) × g ;
• appliquée au centre de la partie immergée (centre de poussée).

Vectoriellement : Π→ = - ρ(fluide) × V(immergé) × g→.

Attention : ρ est la masse volumique du FLUIDE, et V le volume de la partie IMMERGÉE du corps, pas son volume total s'il flotte.

Origine. La poussée d'Archimède est la résultante des forces pressantes exercées par le fluide sur toute la surface du corps. Pour un cylindre vertical de section S et de hauteur H totalement immergé, les forces latérales se compensent ; la face du bas, plus profonde de H, subit une pression plus grande que la face du haut. La résultante vaut (P(bas) - P(haut)) × S = ρgH × S = ρ V g, vers le haut. On retrouve exactement le poids du fluide qui occuperait ce volume. Ce raisonnement se généralise à une forme quelconque. Pour un liquide incompressible, la poussée ne dépend donc pas de la profondeur à laquelle se trouve un corps totalement immergé.

Flotter ou couler. Un corps de masse volumique ρ(corps), lâché sans vitesse et totalement immergé, subit son poids ρ(corps) V g et la poussée ρ(fluide) V g :

• si ρ(corps) > ρ(fluide), le poids l'emporte : le corps coule ;
• si ρ(corps) < ρ(fluide), la poussée l'emporte : le corps remonte puis flotte en partie émergé ;
• si ρ(corps) = ρ(fluide), le corps reste en équilibre à toute profondeur (cas recherché par un plongeur bien lesté ou par un poisson grâce à sa vessie natatoire).

Équilibre de flottaison. À l'équilibre, poids et poussée se compensent : ρ(corps) V(total) g = ρ(fluide) V(immergé) g. La fraction immergée vaut donc :

V(immergé) / V(total) = ρ(corps) / ρ(fluide).

Exemple : un iceberg (ρ = 917 kg·m⁻³) dans l'eau de mer (ρ = 1 025 kg·m⁻³) est immergé à 917 / 1 025 ≈ 0,895, soit environ 89 % de son volume ; seule une partie d'environ 11 % dépasse.

Dans l'air, la poussée d'Archimède existe aussi, mais elle est en général négligeable devant le poids d'un solide ou d'un liquide (rapport de l'ordre de 1,2 / 1 000). Elle devient décisive pour les ballons gonflés à l'hélium ou à l'air chaud, dont la masse volumique moyenne est inférieure à celle de l'air environnant.

Poids apparent. Un corps immergé suspendu à un dynamomètre semble plus léger : le dynamomètre indique P(apparent) = P - Π. Cette mesure permet de déterminer le volume d'un objet de forme irrégulière, donc sa masse volumique.

5. Écoulement d'un fluide : débit et conservation du débit

On étudie maintenant un fluide en mouvement. On se limite à un écoulement permanent (ou stationnaire) : en chaque point fixe de l'espace, la vitesse, la pression et la masse volumique ne dépendent pas du temps. Les lignes de courant sont des lignes tangentes en chaque point au vecteur vitesse du fluide ; en régime permanent, elles coïncident avec les trajectoires des particules de fluide. Un faisceau de lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé forme un tube de courant, que le fluide ne traverse pas latéralement. Une canalisation en est un exemple.

Débit volumique. Le débit volumique D(v) à travers une section est le volume de fluide qui la traverse par unité de temps :

D(v) = V / Δt, en m³·s⁻¹.

Si le fluide traverse une section droite d'aire S à la vitesse moyenne v (perpendiculaire à la section), le volume qui passe pendant Δt est celui d'un cylindre de base S et de longueur v Δt. D'où :

D(v) = S × v

Débit massique. D(m) = m / Δt = ρ × D(v), en kg·s⁻¹.

Conservation du débit. En régime permanent, la masse de fluide contenue dans une portion de canalisation entre deux sections 1 et 2 ne varie pas : la masse qui entre pendant Δt est égale à celle qui sort. Le débit massique se conserve : ρ₁ S₁ v₁ = ρ₂ S₂ v₂. Si de plus le fluide est incompressible (ρ₁ = ρ₂), c'est le débit volumique qui se conserve :

S₁ × v₁ = S₂ × v₂

Conséquence : là où la canalisation se rétrécit, le fluide accélère ; là où elle s'élargit, il ralentit. Si le diamètre est divisé par 2, la section est divisée par 4 (S = π d² / 4) et la vitesse est multipliée par 4. On le constate en pinçant l'extrémité d'un tuyau d'arrosage.

S'il y a des ramifications, le débit entrant est égal à la somme des débits sortants. Dans l'appareil circulatoire, le débit cardiaque (environ 5 L·min⁻¹ au repos) traverse l'aorte puis se répartit entre des milliards de capillaires. Leur section totale étant bien plus grande que celle de l'aorte, le sang y circule beaucoup plus lentement, ce qui laisse le temps aux échanges.

6. La relation de Bernoulli

Conditions de validité. On considère un fluide parfait (sa viscosité, c'est-à-dire ses frottements internes, est négligée), incompressible, en écoulement permanent, dans le champ de pesanteur. Alors, le long d'une ligne de courant :

P + ½ ρ v² + ρ g z = constante

Entre deux points 1 et 2 d'une même ligne de courant :

P₁ + ½ ρ v₁² + ρ g z₁ = P₂ + ½ ρ v₂² + ρ g z₂

avec P en Pa, ρ en kg·m⁻³, v en m·s⁻¹, z en m (axe vertical vers le haut), g en m·s⁻².

Sens physique. Chaque terme est homogène à une pression, c'est-à-dire à une énergie par unité de volume (1 Pa = 1 N·m⁻² = 1 J·m⁻³) :

• ½ ρ v² est l'énergie cinétique par unité de volume (on l'appelle pression dynamique) ;
• ρ g z est l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume ;
• P représente le travail des forces de pression par unité de volume.

La relation de Bernoulli traduit donc la conservation de l'énergie mécanique d'un volume de fluide qui se déplace le long d'une ligne de courant, en l'absence de frottements. Pour la justifier, on suit une petite tranche de fluide de volume V : entre l'entrée et la sortie d'un tube de courant, la variation de son énergie mécanique ½ m v² + m g z est égale au travail des forces pressantes exercées par le fluide en amont (qui pousse) et en aval (qui retient), soit (P₁ - P₂) V. En divisant par V et en utilisant m = ρV, on obtient la relation.

Cas particuliers.

• Fluide au repos (v₁ = v₂ = 0) : on retrouve P₁ + ρgz₁ = P₂ + ρgz₂, la loi fondamentale de la statique.
• Vidange d'un réservoir (formule de Torricelli). Un grand réservoir ouvert, dont la surface libre est à la hauteur h au-dessus d'un petit orifice, se vide. Entre la surface libre (P(atm), vitesse quasi nulle car le réservoir est large, altitude h) et le jet à la sortie (P(atm), vitesse v, altitude 0) : P(atm) + ρgh = P(atm) + ½ ρ v². D'où v = √(2gh) : la vitesse du jet est celle d'un objet tombé en chute libre de la hauteur h.

Limites. Un fluide réel est visqueux : une partie de l'énergie mécanique est dissipée par frottement, surtout dans les conduites longues et étroites. On parle de perte de charge. La relation de Bernoulli reste une bonne approximation pour des écoulements rapides sur de courtes distances (jet, rétrécissement, aile d'avion), mais elle échoue dans les petits vaisseaux sanguins, où la viscosité domine. Elle ne s'applique pas non plus aux écoulements turbulents, où le régime n'est plus permanent.

7. L'effet Venturi et ses applications

Énoncé. Dans une canalisation horizontale (z₁ = z₂), la relation de Bernoulli devient P₁ + ½ ρ v₁² = P₂ + ½ ρ v₂², soit :

P₁ - P₂ = ½ ρ (v₂² - v₁²)

Combinée à la conservation du débit, elle conduit à l'effet Venturi : dans un rétrécissement, la vitesse du fluide augmente, donc sa pression diminue. Une pression plus faible là où l'écoulement est plus rapide : c'est contre-intuitif, mais cela découle directement de la conservation de l'énergie, puisque le gain d'énergie cinétique se paie par une baisse de pression.

Le tube de Venturi, débitmètre. On insère dans une canalisation un rétrécissement de section S₂ connue, et l'on mesure la différence de pression P₁ - P₂ entre la partie large (section S₁) et le col, par exemple avec deux tubes verticaux dont la dénivellation h donne P₁ - P₂ = ρgh. Avec v₂ = v₁ × S₁ / S₂ :

P₁ - P₂ = ½ ρ v₁² × ((S₁ / S₂)² - 1)

On en déduit v₁, puis le débit D(v) = S₁ v₁. Cette méthode ne demande aucune pièce mobile dans l'écoulement.

Autres applications.

• La trompe à eau des laboratoires : un jet d'eau rapide crée une zone de basse pression qui aspire l'air d'un récipient (filtration sous pression réduite).
• Le pulvérisateur et le nébuliseur : l'air rapide au-dessus d'un tube plongeant crée une dépression qui aspire le liquide et le disperse en gouttelettes.
• La sténose artérielle : au niveau d'un rétrécissement d'artère, le sang accélère et sa pression baisse localement. La paroi, moins soutenue, peut se rapprocher de l'axe, ce qui aggrave encore le rétrécissement ; l'écoulement peut devenir turbulent, ce qui produit un souffle audible au stéthoscope.
• Le tube de Pitot des avions mesure la vitesse par la différence entre pression d'arrêt (où v = 0) et pression statique : P(arrêt) - P = ½ ρ v².

Exemple 1 : un plongeur et son ballon

Énoncé. Un plongeur descend dans la mer (ρ = 1 025 kg·m⁻³). La pression atmosphérique vaut 1,013×10⁵ Pa et g = 9,81 m·s⁻². a) Calculer la pression absolue à 15,0 m de profondeur. b) À quelle profondeur la pression absolue vaut-elle le double de la pression atmosphérique ? c) Un ballon souple contenant 6,0 L d'air à la surface est emmené à 15,0 m ; la température restant constante, le produit P × V de l'air est constant (loi de Boyle-Mariotte). Quel est son volume au fond ?

Résolution. a) La loi fondamentale de la statique entre la surface (pression P(atm)) et la profondeur h s'écrit P = P(atm) + ρgh. Ici ρgh = 1 025 × 9,81 × 15,0 = 1,508×10⁵ Pa. Donc P = 1,013×10⁵ + 1,508×10⁵ = 2,521×10⁵ Pa, soit P ≈ 2,52×10⁵ Pa (environ 2,5 bar). b) On veut P = 2 P(atm), donc ρgh = P(atm), soit h = P(atm) / (ρg) = 1,013×10⁵ / (1 025 × 9,81) = 1,013×10⁵ / 1,006×10⁴ ≈ 10,1 m. c) P(surface) × V(surface) = P(fond) × V(fond), donc V(fond) = 6,0 × 1,013×10⁵ / 2,521×10⁵ ≈ 2,4 L. Le volume est divisé par environ 2,5 : c'est pourquoi un plongeur en apnée sent ses poumons comprimés et pourquoi un plongeur en scaphandre ne doit jamais remonter en bloquant sa respiration.

Exemple 2 : un cube de bois qui flotte

Énoncé. Un cube de bois homogène de côté a = 10,0 cm et de masse volumique 600 kg·m⁻³ flotte sur l'eau (1,00×10³ kg·m⁻³). On prend g = 9,81 m·s⁻². a) Calculer son poids. b) Déterminer la hauteur immergée. c) Quelle force verticale faut-il exercer sur sa face supérieure pour le maintenir totalement immergé ?

Résolution. a) V = a³ = (0,100 m)³ = 1,00×10⁻³ m³. m = ρV = 600 × 1,00×10⁻³ = 0,600 kg. Poids : P = mg = 0,600 × 9,81 ≈ 5,89 N. b) À l'équilibre, la poussée compense le poids : ρ(eau) × V(immergé) × g = ρ(bois) × V × g, donc V(immergé) / V = 600 / 1 000 = 0,600. Le cube flotte face horizontale, donc la hauteur immergée vaut 0,600 × 10,0 cm = 6,00 cm. c) Totalement immergé, le cube subit Π = ρ(eau) V g = 1 000 × 1,00×10⁻³ × 9,81 = 9,81 N, vers le haut. Pour l'équilibre, la force F exercée vers le bas vérifie F + P = Π, d'où F = 9,81 - 5,89 = 3,92 N, verticale vers le bas.

Exemple 3 : un débitmètre de Venturi

Énoncé. De l'eau (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³) circule dans une canalisation horizontale de section S₁ = 20,0 cm², qui se rétrécit en un col de section S₂ = 5,00 cm². Le débit volumique vaut 2,00 L·s⁻¹. L'eau est assimilée à un fluide parfait incompressible en écoulement permanent. a) Calculer les vitesses v₁ et v₂. b) Calculer la différence de pression P₁ - P₂. c) Deux tubes verticaux ouverts sont branchés sur la partie large et sur le col. Quelle est la dénivellation entre les niveaux d'eau dans ces tubes ?

Résolution. a) D(v) = 2,00×10⁻³ m³·s⁻¹, S₁ = 2,00×10⁻³ m², S₂ = 5,00×10⁻⁴ m². v₁ = D(v) / S₁ = 1,00 m·s⁻¹ ; v₂ = D(v) / S₂ = 4,00 m·s⁻¹. On vérifie la conservation du débit : la section est divisée par 4, la vitesse multipliée par 4. b) Canalisation horizontale : P₁ - P₂ = ½ ρ (v₂² - v₁²) = 0,5 × 1 000 × (16,0 - 1,00) = 7,50×10³ Pa. La pression est plus faible au col, comme le prévoit l'effet Venturi. c) Dans chaque tube vertical, l'eau est au repos ; la loi fondamentale donne P₁ - P₂ = ρgh, donc h = 7,50×10³ / (1 000 × 9,81) ≈ 0,765 m, soit h ≈ 76 cm, le niveau le plus bas étant au-dessus du col.

• Méthode type en statique : choisis deux points dans le même fluide immobile et continu, écris P(bas) = P(haut) + ρgh, puis seulement remplace par les valeurs. Si deux liquides différents se superposent, applique la loi dans chaque liquide séparément.
• Travaille en unités SI : volumes en m³, sections en m², pressions en Pa. Les pièges classiques sont 1 cm² = 10⁻⁴ m², 1 mm² = 10⁻⁶ m², 1 L = 10⁻³ m³ et 1 mmHg ≈ 133 Pa.
• Ne confonds pas pression absolue et pression relative : la loi de Boyle-Mariotte utilise toujours la pression absolue, alors qu'un manomètre ou un tensiomètre affiche une pression relative.
• Dans Π = ρ V g, ρ est la masse volumique du fluide, pas celle de l'objet, et V est le volume immergé, pas le volume total si l'objet flotte.
• Le diamètre et la section ne varient pas proportionnellement : diviser le diamètre par k divise la section par k², donc multiplie la vitesse par k².
• Avant d'écrire Bernoulli, vérifie les trois conditions (fluide parfait, incompressible, écoulement permanent) et que les deux points sont sur la même ligne de courant. En sortie de jet à l'air libre, la pression du jet vaut P(atm).
• Pour un réservoir large qui se vide, la vitesse de la surface libre est négligeable devant celle du jet : c'est ce qui permet d'écrire v = √(2gh). Justifie cette approximation par la conservation du débit.
• Ne crois pas qu'une vitesse plus grande s'accompagne d'une pression plus grande : dans un rétrécissement horizontal, c'est l'inverse.

En PASS et en LAS, la mécanique des fluides fait partie de la biophysique et sert d'abord à comprendre la circulation sanguine et la respiration. La loi fondamentale de la statique explique pourquoi la pression artérielle diffère entre la tête, le cœur et les pieds chez un sujet debout, et pourquoi on mesure la tension au bras, à hauteur du cœur. La conservation du débit relie le débit cardiaque à la vitesse du sang dans l'aorte et dans les capillaires, et l'effet Venturi éclaire le comportement d'une sténose.

Le modèle du fluide parfait sera ensuite complété par la viscosité : écoulement laminaire ou turbulent, nombre de Reynolds, loi de Poiseuille qui relie le débit à la différence de pression dans un tube fin, notion de résistance hydraulique et de puissance d'un écoulement. S'y ajoutent la tension superficielle et la loi de Laplace (alvéoles pulmonaires), ainsi que les pressions osmotique et oncotique dans les échanges capillaires. La rigueur sur les unités prise ici (Pa, mmHg, m³·s⁻¹) y est constamment exigée.

Niveau 1 : s'entraîner

1. Un flacon contient 250 mL de glycérol, de masse 315 g. Calcule la masse volumique du glycérol en kg·m⁻³, puis sa densité.

2. Une table rectangulaire mesure 1,20 m sur 0,80 m. Calcule la valeur de la force pressante exercée par l'atmosphère (P(atm) = 1,013×10⁵ Pa) sur son plateau, puis explique pourquoi la table ne s'effondre pas.

3. Une piscine a une profondeur de 3,0 m. Calcule la différence de pression entre la surface et le fond, puis la pression absolue au fond. Données : ρ(eau) = 1,00×10³ kg·m⁻³ ; g = 9,81 m·s⁻² ; P(atm) = 1,013×10⁵ Pa.

4. Un robinet remplit un seau de 10 L en 25 s. a) Calcule le débit volumique en L·s⁻¹ puis en m³·s⁻¹. b) Le tuyau qui alimente le robinet a un diamètre intérieur de 2,0 cm : calcule la vitesse moyenne de l'eau dans ce tuyau.

5. Une personne de volume 70 L et de masse 70 kg se tient dans l'air (ρ(air) = 1,2 kg·m⁻³). Calcule la poussée d'Archimède exercée par l'air sur elle et compare-la à son poids (g = 9,81 m·s⁻²).

Niveau 2 : type bac

6. Pression artérielle et posture. Chez une personne debout, la pression artérielle moyenne relative au niveau du cœur vaut 100 mmHg. On modélise le sang comme un fluide de masse volumique 1,06×10³ kg·m⁻³ et l'on néglige les effets de la vitesse d'écoulement. Données : 1 mmHg = 133,3 Pa ; g = 9,81 m·s⁻².

a) Convertis 100 mmHg en pascals. b) Calcule la pression artérielle moyenne relative au niveau des pieds, situés 1,30 m sous le cœur, en Pa puis en mmHg. c) Même question pour le cerveau, situé 0,40 m au-dessus du cœur. d) Pourquoi mesure-t-on la pression artérielle au bras, à hauteur du cœur ?

7. Le glaçon et l'iceberg. Un glaçon de volume 20,0 cm³ (ρ(glace) = 917 kg·m⁻³) flotte dans un verre d'eau douce (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³).

a) Calcule la fraction immergée du glaçon. b) Calcule le volume émergé. c) Montre que le niveau de l'eau dans le verre ne change pas quand le glaçon fond. d) Quelle fraction d'un iceberg émerge dans l'eau de mer (ρ = 1 025 kg·m⁻³) ?

8. Château d'eau. La surface libre de l'eau d'un château d'eau se trouve 35,0 m au-dessus d'un robinet. Données : ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³ ; g = 9,81 m·s⁻².

a) Robinet fermé, calcule la pression relative de l'eau au niveau du robinet, en Pa puis en bar. b) Robinet grand ouvert, l'eau étant supposée parfaite et le réservoir très large, calcule la vitesse de sortie de l'eau. c) L'orifice du robinet a une section de 1,0 cm². Calcule le débit théorique. d) Le débit mesuré est bien plus faible. Propose une explication.

9. Injection à la seringue. Le piston d'une seringue a une section de 2,0 cm² ; l'aiguille a une section intérieure de 0,50 mm². On pousse le piston à la vitesse constante de 1,0 cm·s⁻¹ pour injecter une solution aqueuse (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³), dans l'air, en tenant la seringue horizontale.

a) Calcule le débit volumique et la vitesse du liquide dans l'aiguille. b) Combien de temps faut-il pour injecter 5,0 mL ? c) En assimilant la solution à un fluide parfait et en prenant la pression à la sortie de l'aiguille égale à P(atm), calcule la surpression nécessaire dans le corps de la seringue, puis la force à exercer sur le piston en plus de celle due à l'atmosphère.

10. Tube en U. Un tube en U de section constante contient du mercure (ρ(Hg) = 13,6×10³ kg·m⁻³). On verse dans la branche de gauche une hauteur de 20,0 cm d'eau (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³), qui ne se mélange pas au mercure.

a) Explique pourquoi la pression est la même dans le mercure aux deux points situés au niveau de l'interface eau/mercure. b) Calcule la dénivellation entre les deux surfaces de mercure. c) Calcule la dénivellation entre la surface libre de l'eau et la surface libre du mercure de la branche de droite.

Niveau 3 : vers le PASS

11. Sténose artérielle. Dans une artère horizontale, le sang (ρ = 1,06×10³ kg·m⁻³, assimilé à un fluide parfait) circule à 0,30 m·s⁻¹. Une plaque d'athérome réduit localement le diamètre intérieur de moitié.

a) Par quel facteur la vitesse est-elle multipliée dans la sténose ? Calcule-la. b) Calcule la baisse de pression dans la sténose, en Pa puis en mmHg (1 mmHg = 133,3 Pa). c) Explique en quoi cette baisse de pression peut aggraver la sténose. d) Généralise : si le diamètre est divisé par k, par quel facteur la pression dynamique ½ρv² est-elle multipliée ?

12. Ballon-sonde. Un ballon-sonde contient 4,00 m³ d'hélium (ρ = 0,170 kg·m⁻³). L'enveloppe et les instruments ont une masse de 1,50 kg. L'air environnant a une masse volumique de 1,20 kg·m⁻³ ; g = 9,81 m·s⁻². Le volume des instruments et de l'enveloppe est négligé.

a) Calcule la poussée d'Archimède exercée par l'air. b) Calcule le poids total du ballon (hélium compris). c) Le ballon décolle-t-il ? Calcule la masse supplémentaire maximale qu'il pourrait emporter.

13. Mesurer un débit. De l'eau (ρ = 1,00×10³ kg·m⁻³) s'écoule dans une canalisation horizontale de section S₁ = 12,0 cm² munie d'un col de section S₂ = 3,00 cm². Deux tubes verticaux ouverts, branchés avant le col et au col, présentent une dénivellation de 30,0 cm. On prend g = 9,81 m·s⁻² et l'on modélise l'eau comme un fluide parfait incompressible en écoulement permanent. Détermine la vitesse dans la partie large et le débit volumique, en L·s⁻¹.

14. QCM. Indique pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

A. La pression absolue à 20 m de profondeur dans la mer est le double de celle à 10 m. B. La poussée d'Archimède exercée par l'eau sur un caillou totalement immergé ne dépend pas de sa profondeur. C. Si le diamètre d'un tuyau est divisé par 3, la vitesse de l'eau y est multipliée par 3. D. Dans un écoulement horizontal d'un fluide parfait incompressible en régime permanent, la pression est plus faible là où la vitesse est plus grande. E. La relation de Bernoulli décrit correctement l'écoulement du sang dans les capillaires.

1. Conversions : m = 315 g = 0,315 kg ; V = 250 mL = 250×10⁻⁶ m³ = 2,50×10⁻⁴ m³. Masse volumique : ρ = m / V = 0,315 / 2,50×10⁻⁴ = 1,26×10³ kg·m⁻³. Densité : d = ρ / ρ(eau) = 1 260 / 1 000 = 1,26 (sans unité).

2. Surface : S = 1,20 × 0,80 = 0,96 m². Force pressante : F = P(atm) × S = 1,013×10⁵ × 0,96 ≈ 9,7×10⁴ N, verticale vers le bas, soit le poids d'environ 10 tonnes. La table ne s'effondre pas car l'air est aussi présent sous le plateau et exerce sur la face inférieure une force pressante pratiquement égale et opposée : la résultante des forces pressantes atmosphériques sur le plateau est quasi nulle.

3. Loi fondamentale : ΔP = ρgh = 1,00×10³ × 9,81 × 3,0 = 2,94×10⁴ Pa, soit ΔP ≈ 2,9×10⁴ Pa. Pression absolue au fond : P = P(atm) + ΔP = 1,013×10⁵ + 0,294×10⁵ = 1,31×10⁵ Pa.

4. a) D(v) = V / Δt = 10 L / 25 s = 0,40 L·s⁻¹ = 0,40×10⁻³ m³·s⁻¹ = 4,0×10⁻⁴ m³·s⁻¹.

b) Rayon r = 1,0 cm = 1,0×10⁻² m ; section S = π r² = π × (1,0×10⁻²)² = 3,14×10⁻⁴ m². Vitesse : v = D(v) / S = 4,0×10⁻⁴ / 3,14×10⁻⁴ ≈ 1,3 m·s⁻¹.

5. V = 70 L = 7,0×10⁻² m³. Poussée : Π = ρ(air) V g = 1,2 × 7,0×10⁻² × 9,81 ≈ 0,82 N. Poids : P = mg = 70 × 9,81 ≈ 6,9×10² N. Rapport : Π / P = 0,82 / 687 ≈ 1,2×10⁻³. La poussée d'Archimède de l'air vaut environ un millième du poids : elle est négligeable. On retrouve le rapport des masses volumiques air / corps humain (1,2 / 1 000).

6. a) 100 × 133,3 = 1,333×10⁴ Pa.

b) Les pieds sont 1,30 m plus bas : la pression y est plus grande de ρgh = 1,06×10³ × 9,81 × 1,30 = 1,352×10⁴ Pa, soit 1,352×10⁴ / 133,3 ≈ 101 mmHg. Pression relative aux pieds : 1,333×10⁴ + 1,352×10⁴ = 2,69×10⁴ Pa ≈ 201 mmHg. c) Le cerveau est 0,40 m plus haut : la pression y est plus faible de 1,06×10³ × 9,81 × 0,40 = 4,16×10³ Pa ≈ 31 mmHg. Pression relative : 1,333×10⁴ - 0,416×10⁴ = 9,17×10³ Pa ≈ 69 mmHg. d) La pression artérielle dépend de la hauteur du point de mesure. Pour obtenir une valeur comparable d'un patient à l'autre, représentative de la pression à la sortie du cœur, on mesure à la même altitude que le cœur ; le bras, posé à hauteur du cœur, s'y prête.

7. a) Équilibre de flottaison : fraction immergée = ρ(glace) / ρ(eau) = 917 / 1 000 = 0,917, soit 91,7 %.

b) V(émergé) = 20,0 × (1 - 0,917) = 20,0 × 0,083 ≈ 1,7 cm³. c) Masse du glaçon : m = 917 × 20,0×10⁻⁶ = 1,834×10⁻² kg = 18,34 g. Il déplace un volume d'eau de masse égale à la sienne, soit 18,34 g d'eau, c'est-à-dire 18,34 cm³. En fondant, il donne 18,34 g d'eau liquide, qui occupent exactement 18,34 cm³ : ce volume remplit exactement le « trou » qu'il occupait sous la surface. Le niveau ne change pas. d) Fraction immergée : 917 / 1 025 ≈ 0,895. Fraction émergée : 1 - 0,895 = 0,105, soit environ 10 %.

8. a) Loi fondamentale : P - P(atm) = ρgh = 1,00×10³ × 9,81 × 35,0 = 3,43×10⁵ Pa, soit 3,43 bar.

b) Bernoulli entre la surface libre (P(atm), v ≈ 0 car le réservoir est très large, altitude h) et la sortie du robinet (P(atm), v, altitude 0) : ρgh = ½ ρ v², donc v = √(2gh) = √(2 × 9,81 × 35,0) = √687 ≈ 26,2 m·s⁻¹. c) D(v) = S v = 1,0×10⁻⁴ × 26,2 ≈ 2,6×10⁻³ m³·s⁻¹, soit 2,6 L·s⁻¹. d) L'eau réelle est visqueuse : dans les canalisations longues qui relient le château d'eau au robinet, les frottements dissipent une grande partie de l'énergie mécanique (pertes de charge). Le modèle du fluide parfait surestime donc la vitesse et le débit.

9. a) Dans le corps de la seringue : D(v) = S₁ v₁ = 2,0×10⁻⁴ m² × 1,0×10⁻² m·s⁻¹ = 2,0×10⁻⁶ m³·s⁻¹, soit 2,0 mL·s⁻¹. Dans l'aiguille, S₂ = 0,50 mm² = 5,0×10⁻⁷ m², et v₂ = D(v) / S₂ = 2,0×10⁻⁶ / 5,0×10⁻⁷ = 4,0 m·s⁻¹.

b) Δt = V / D(v) = 5,0 mL / 2,0 mL·s⁻¹ = 2,5 s. c) Bernoulli, seringue horizontale : P₁ - P(atm) = ½ ρ (v₂² - v₁²) = 0,5 × 1 000 × (16 - 1,0×10⁻⁴) ≈ 8,0×10³ Pa. Force supplémentaire sur le piston : F = (P₁ - P(atm)) × S₁ = 8,0×10³ × 2,0×10⁻⁴ = 1,6 N. En réalité, la viscosité dans l'aiguille fine impose une force nettement plus grande.

10. a) Le mercure est un fluide continu et immobile : deux points du mercure à la même altitude ont la même pression (les isobares sont horizontales). C'est vrai pour les points au niveau de l'interface, car ce niveau est entièrement dans le mercure dans les deux branches.

b) Au niveau de l'interface, côté gauche : P = P(atm) + ρ(eau) g h(eau). Au même niveau, côté droit : P = P(atm) + ρ(Hg) g Δh, où Δh est la hauteur de mercure au-dessus de ce niveau dans la branche droite. Égalité : ρ(eau) h(eau) = ρ(Hg) Δh, donc Δh = 1 000 × 20,0 / 13 600 ≈ 1,47 cm. c) La surface de l'eau est 20,0 cm au-dessus de l'interface ; celle du mercure à droite est 1,47 cm au-dessus. Dénivellation : 20,0 - 1,47 ≈ 18,5 cm, la surface de l'eau étant la plus haute.

11. a) Diviser le diamètre par 2 divise la section par 2² = 4. Conservation du débit : v₂ = 4 v₁ = 1,2 m·s⁻¹.

b) Bernoulli, artère horizontale : P₁ - P₂ = ½ ρ (v₂² - v₁²) = 0,5 × 1 060 × (1,44 - 0,090) = 0,5 × 1 060 × 1,35 ≈ 7,2×10² Pa, soit 715 / 133,3 ≈ 5,4 mmHg. c) La pression du sang sur la paroi diminue dans la sténose alors que la pression des tissus extérieurs ne change pas : la paroi est moins soutenue et tend à se rapprocher de l'axe, ce qui rétrécit encore le passage, accélère encore le sang et fait encore baisser la pression. L'écoulement peut aussi devenir turbulent. d) La section est divisée par k², la vitesse multipliée par k², donc v² et la pression dynamique ½ρv² sont multipliées par k⁴. Une réduction de diamètre modeste a donc des effets importants.

12. a) Volume déplacé : 4,00 m³. Π = ρ(air) V g = 1,20 × 4,00 × 9,81 ≈ 47,1 N, vers le haut.

b) Masse d'hélium : 0,170 × 4,00 = 0,680 kg. Masse totale : 0,680 + 1,50 = 2,18 kg. Poids : 2,18 × 9,81 ≈ 21,4 N. c) Π > P, donc la résultante est verticale vers le haut et vaut 47,1 - 21,4 = 25,7 N : le ballon décolle. Il peut emporter une masse supplémentaire m telle que m g ≤ 25,7 N, soit m ≤ 25,7 / 9,81 ≈ 2,62 kg.

13. Différence de pression lue sur les tubes (fluide au repos dans les tubes) : P₁ - P₂ = ρgh = 1 000 × 9,81 × 0,300 = 2,94×10³ Pa. Conservation du débit : v₂ = v₁ × S₁ / S₂ = 4,00 v₁. Bernoulli horizontal : P₁ - P₂ = ½ ρ (v₂² - v₁²) = ½ ρ v₁² (16,0 - 1,00) = 7,50 ρ v₁². D'où v₁² = 2,94×10³ / (7,50 × 1 000) = 0,392 m²·s⁻², et v₁ ≈ 0,626 m·s⁻¹. Débit : D(v) = S₁ v₁ = 12,0×10⁻⁴ × 0,626 ≈ 7,52×10⁻⁴ m³·s⁻¹, soit D(v) ≈ 0,75 L·s⁻¹.

14. A. Faux. P(10 m) = 1,013×10⁵ + 1 025 × 9,81 × 10 ≈ 2,02×10⁵ Pa ; P(20 m) ≈ 1,013×10⁵ + 2,01×10⁵ ≈ 3,02×10⁵ Pa. Le rapport vaut environ 1,5, car la pression atmosphérique s'ajoute à la pression due à l'eau.

B. Vrai. Π = ρ V g ne dépend que du volume immergé et de la masse volumique du liquide, qui est incompressible, donc indépendante de la profondeur. C. Faux. La section est divisée par 3² = 9, donc la vitesse est multipliée par 9. D. Vrai. C'est l'effet Venturi : P + ½ρv² est constante sur une ligne de courant horizontale. E. Faux. Dans les capillaires, très fins et à écoulement lent, la viscosité domine : le modèle du fluide parfait n'est pas valable, il faut une loi qui tient compte des frottements (loi de Poiseuille, vue en PASS).

Ce chapitre prépare la partie Pressions et écoulements des fluides du cours Physique : mesures, mécanique, fluides et thermodynamique (UE 4 · Physique). Même notion, au niveau du PASS, avec ses exercices corrigés.

Pour retenir les formules et les définitions, dépose ce cours dans Ossik : il en sort des cartes de révision, qu’il te ressort au bon moment. Tester avec ce chapitre