L'essentiel
- Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace se calcule dans un plan qui les contient : toutes les propriétés de Première restent vraies.
- Dans un repère orthonormé, u→ · v→ = xx' + yy' + zz' et ‖u→‖ = √(x² + y² + z²).
- L'angle géométrique θ entre deux vecteurs non nuls vérifie cos θ = (u→ · v→)/(‖u→‖ × ‖v→‖).
- Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
- Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes ; orthogonales et sécantes, elles sont perpendiculaires.
- Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
- Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.
- Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal n→(a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0, et réciproquement.
- Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Une droite de vecteur directeur u→ est parallèle à un plan de vecteur normal n→ si u→ · n→ = 0, orthogonale à ce plan si u→ est colinéaire à n→.
- Le projeté orthogonal de M sur une droite d est le point H de d tel que MH→ soit orthogonal à un vecteur directeur de d.
- Le projeté orthogonal de M sur un plan est l'intersection du plan avec la droite passant par M dirigée par un vecteur normal.
- Le projeté orthogonal est le point le plus proche de M : la distance de M au plan (ou à la droite) est MH.
- L'intersection d'une droite et d'un plan s'obtient en remplaçant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
- Deux plans sécants se coupent selon une droite dont le vecteur directeur est orthogonal aux deux vecteurs normaux.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Produit scalaire | u→ · v→ = ‖u→‖ ‖v→‖ cos θ | toujours |
| Produit scalaire en coordonnées | xx' + yy' + zz' | repère orthonormé |
| Polarisation | u→ · v→ = (1/2)(‖u→ + v→‖² - ‖u→‖² - ‖v→‖²) | toujours |
| Projection | AB→ · AC→ = AB→ · AH→, H projeté de C sur (AB) | toujours |
| Plan (A ; n→) | AM→ · n→ = 0, soit ax + by + cz + d = 0 | n→ non nul, repère orthonormé |
| Distance point-plan | valeur absolue de (ax₀ + by₀ + cz₀ + d), divisée par √(a² + b² + c²) | repère orthonormé |
| Volume d'un tétraèdre | V = (1/3) × aire de la base × hauteur | hauteur = distance sommet-plan |
Pièges à éviter
- La formule xx' + yy' + zz' n'est valable que dans un repère orthonormé.
- Un seul produit scalaire nul ne suffit pas pour prouver qu'une droite est orthogonale à un plan.
- Dans une équation de plan, (a ; b ; c) est un vecteur normal, pas un vecteur directeur.
- Droite parallèle à un plan : u→ · n→ = 0 ; droite orthogonale à un plan : u→ colinéaire à n→. Ne les inverse pas.
- Dans la formule de distance, n'oublie ni la valeur absolue au numérateur ni la racine carrée au dénominateur.
- u→ · v→ = u→ · w→ n'entraîne pas v→ = w→.
Je me teste
1. Produit scalaire de (1 ; 2 ; 3) et (3 ; 0 ; -1) ? → 3 + 0 - 3 = 0, ils sont orthogonaux.
2. Un vecteur normal au plan 3x - y + 5 = 0 ? → n→(3 ; -1 ; 0).
3. Deux droites orthogonales sont-elles sécantes ? → Pas forcément, elles peuvent être non coplanaires.
4. Combien de droites du plan faut-il tester pour l'orthogonalité droite-plan ? → Deux droites sécantes.
5. Plans x + y = 1 et x + y = 3 ? → Strictement parallèles.
6. Plans x + y + z = 0 et x - y = 2 ? → Perpendiculaires, car 1 - 1 + 0 = 0.
7. Comment trouver le projeté de M sur un plan ? → Intersection du plan et de la droite passant par M dirigée par n→.
8. Distance de O au plan x + 2y + 2z - 6 = 0 ? → 6/3 = 2.
9. Pourquoi le projeté est-il le point le plus proche ? → Par Pythagore, MN² = MH² + HN² ≥ MH².
10. Comment contrôler la droite d'intersection de deux plans ? → Son vecteur directeur est orthogonal aux deux vecteurs normaux.