L'essentiel
- Deux variables X et Y sont indépendantes si P(X = x et Y = y) = P(X = x) × P(Y = y) pour toutes valeurs x et y.
- La loi de X + Y s'obtient en additionnant les probabilités des couples (x ; y) tels que x + y = s.
- L'espérance est linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X), même sans indépendance.
- Pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent : V(X + Y) = V(X) + V(Y).
- Pour des variables indépendantes, V(X − Y) = V(X) + V(Y) : les incertitudes se cumulent.
- On additionne des variances, jamais des écarts types.
- Doubler une observation donne V(2X) = 4V(X) ; additionner deux observations indépendantes donne 2V(X).
- Une loi binomiale B(n, p) est une somme de n variables de Bernoulli indépendantes, d'où E = np et V = np(1 − p).
- Un échantillon de taille n est une liste de n variables indépendantes de même loi, d'espérance μ et de variance V.
- La somme Sₙ a pour espérance nμ et variance nV ; la moyenne Mₙ a pour espérance μ et variance V/n.
- L'écart type de la moyenne vaut σ/√n : il faut 100 fois plus d'observations pour le diviser par 10.
- L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité d'un écart à l'espérance en n'utilisant que la variance.
- Cette inégalité est universelle mais grossière, et inutile quand δ ≤ σ.
- L'inégalité de concentration applique Bienaymé-Tchebychev à la moyenne d'un échantillon.
- La loi faible des grands nombres dit que la probabilité d'un écart d'au moins δ entre Mₙ et μ tend vers 0 quand n tend vers +∞.
- La loi des grands nombres ne prévoit aucune compensation des résultats passés.
Formules et définitions à connaître
| Résultat | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Linéarité | E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) | toujours |
| Variance affine | V(aX + b) = a²V(X) | toujours |
| Variance d'une somme | V(X + Y) = V(X) + V(Y) | X, Y indépendantes |
| Somme d'un échantillon | E(Sₙ) = nμ ; V(Sₙ) = nV ; σ(Sₙ) = σ√n | échantillon |
| Moyenne d'un échantillon | E(Mₙ) = μ ; V(Mₙ) = V/n ; σ(Mₙ) = σ/√n | échantillon |
| Taille suffisante | n ≥ V/(αδ²) | pour une probabilité d'écart ≤ α |
- Bienaymé-Tchebychev, pour δ > 0 : P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ².
- Forme en écart type, pour k > 0 : P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k².
- Concentration, pour δ > 0 : P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V/(nδ²).
- Fréquence, car p(1 − p) ≤ 1/4 : P(|Fₙ − p| ≥ δ) ≤ 1/(4nδ²).
- Loi faible des grands nombres, pour δ > 0 : P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Pièges à éviter
- Additionner des variances sans avoir vérifié l'indépendance.
- Écrire V(X − Y) = V(X) − V(Y).
- Confondre 2X et X₁ + X₂.
- Écrire σ(Sₙ) = nσ au lieu de σ√n.
- Appliquer Bienaymé-Tchebychev à un intervalle qui n'est pas centré sur l'espérance.
- Présenter le n donné par l'inégalité de concentration comme la taille minimale.
- Croire qu'après une série de piles, face devient plus probable.
Je me teste
1. E(X + Y) exige-t-il l'indépendance ? → Non, la linéarité est toujours vraie.
2. V(X − Y) pour X et Y indépendantes ? → V(X) + V(Y).
3. V(2X) si V(X) = 3 ? → 12.
4. Écart type de la moyenne de 25 observations d'écart type 3 ? → 3/√25 = 0,6.
5. Énoncé de Bienaymé-Tchebychev ? → P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V/δ² pour δ > 0.
6. Minorant de P(|X − μ| < 2σ) pour toute variable ? → 0,75.
7. Majorant de P(|X − 50| ≥ 10) pour X de loi B(100 ; 0,5) ? → 25/100 = 0,25.
8. Taille suffisante pour P(|Fₙ − p| ≥ 0,05) ≤ 0,05 ? → n ≥ 2 000.
9. E(X) et V(X) pour B(40 ; 0,3) par les Bernoulli ? → 12 et 8,4.
10. Que dit la loi faible des grands nombres ? → P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.