L'essentiel
- Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité 1 − p.
- La variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli : E = p et V = p(1 − p).
- La variance d'une loi de Bernoulli est maximale, égale à 1/4, pour p = 1/2.
- Un schéma de Bernoulli répète n fois la même épreuve, de façon identique et indépendante.
- Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
- Le nombre X de succès d'un schéma de Bernoulli de paramètres n et p suit la loi binomiale B(n, p).
- C(n, k) est le nombre de chemins de l'arbre qui comportent exactement k succès.
- Un tirage sans remise dans une petite urne n'est pas binomial ; dans une très grande population, on l'assimile à un tirage avec remise.
- Pour p = 0,5 la loi est symétrique par rapport à n/2 ; le nombre d'échecs n − X suit B(n, 1 − p).
- La probabilité d'au moins un succès vaut 1 − (1 − p)ⁿ, et un seuil se trouve avec ln en changeant le sens de l'inégalité.
- L'espérance np est le nombre moyen de succès, et l'écart type √(np(1 − p)) mesure la dispersion.
- La fréquence F = X/n a pour espérance p et pour écart type √(p(1 − p))/√n, qui diminue quand n augmente.
- Un intervalle de fluctuation [a ; b] au seuil de 95 % vérifie P(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,95.
- Si la fréquence observée sort de [a/n ; b/n], on rejette l'hypothèse sur p avec un risque d'au plus 5 % ; sinon on ne la rejette pas, sans la prouver.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Condition |
|---|---|---|
| P(X = k) | C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ | X de loi B(n, p), 0 ≤ k ≤ n |
| P(X = 0) | (1 − p)ⁿ | |
| P(X ≥ 1) | 1 − (1 − p)ⁿ | |
| P(X ≥ k) | 1 − P(X ≤ k − 1) | k entier |
| P(a ≤ X ≤ b) | P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1) | a, b entiers |
| E(X) | np | |
| V(X) | np(1 − p) | |
| σ(X) | √(np(1 − p)) | |
| E(F), σ(F) | p, √(p(1 − p))/√n | F = X/n |
| seuil | n ≥ ln(α)/ln(1 − p) | pour (1 − p)ⁿ ≤ α |
| bornes de fluctuation | a : plus petit entier avec P(X ≤ a) > 0,025 ; b : plus petit entier avec P(X ≤ b) ≥ 0,975 | seuil de 95 % |
Pièges à éviter
- Oublier de citer « identiques et indépendantes » dans la justification d'une loi binomiale.
- Écrire P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) au lieu de 1 − P(X ≤ k − 1).
- Ne pas changer le sens de l'inégalité en divisant par ln(1 − p), qui est négatif.
- Confondre variance et écart type.
- Conclure qu'une hypothèse est vraie parce que la fréquence est dans l'intervalle de fluctuation.
- Croire que la valeur np est obtenue avec une forte probabilité.
Je me teste
1. Loi du nombre de 6 en 5 lancers d'un dé ? → B(5 ; 1/6).
2. Espérance et variance d'une loi de Bernoulli de paramètre p ? → p et p(1 − p).
3. P(X = 2) pour X de loi B(6 ; 0,4) ? → 15 × 0,4² × 0,6⁴ = 0,31104.
4. Espérance de B(200 ; 0,15) ? → 30.
5. P(X ≥ 1) pour X de loi B(n, p) ? → 1 − (1 − p)ⁿ.
6. Plus petit n tel que 1 − 0,98ⁿ ≥ 0,95 ? → 149.
7. Tirages sans remise dans une urne de 8 boules : binomial ? → Non, épreuves non indépendantes.
8. Paramètres si E = 12 et V = 4,8 ? → p = 0,6 et n = 20.
9. Fréquence 0,34 et intervalle [0,10 ; 0,32] ? → On rejette l'hypothèse au risque de 5 %.
10. Écart type de la fréquence pour n = 50 et p = 0,2 ? → √(0,16)/√50 ≈ 0,057.