L'essentiel
- Le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments ; l'ensemble vide a pour cardinal 0.
- Principe additif : le cardinal d'une réunion d'ensembles deux à deux disjoints est la somme de leurs cardinaux.
- Si A et B ne sont pas disjoints, card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B).
- Le complémentaire vérifie card(Ā) = card(E) − card(A) : c'est l'outil des énoncés « au moins un ».
- Principe multiplicatif : card(A × B) = card(A) × card(B), et un arbre de choix successifs compte le produit des nombres d'options.
- Un k-uplet est une liste ordonnée de k éléments, avec répétition possible ; il y en a nᵏ dans un ensemble à n éléments.
- Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties, grâce à la bijection avec les n-uplets de 0 et de 1.
- Un arrangement est un k-uplet d'éléments distincts ; il y en a n!/(n − k)!, produit de k facteurs décroissants à partir de n.
- Une permutation range tous les n éléments ; il y en a n!, avec la convention 0! = 1.
- Une combinaison est une partie à k éléments, sans ordre ni répétition ; il y en a C(n, k) = n!/(k!(n − k)!).
- Chaque combinaison correspond à k! arrangements, d'où C(n, k) × k! = n!/(n − k)!.
- Les coefficients vérifient la symétrie C(n, k) = C(n, n − k) et la relation de Pascal C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k).
- La somme de la ligne n du triangle de Pascal vaut 2ⁿ.
- Formule du binôme : (a + b)ⁿ est la somme des C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ pour k de 0 à n.
- Tirages successifs avec remise : k-uplets ; successifs sans remise : arrangements ; simultanés : combinaisons.
- En équiprobabilité, P(A) = card(A)/card(Ω), avec A et Ω comptés dans le même modèle.
Formules et définitions à connaître
| Objet | Ordre | Répétition | Nombre | Condition |
|---|---|---|---|---|
| k-uplet | oui | oui | nᵏ | k ≥ 1 |
| arrangement | oui | non | n!/(n − k)! | 1 ≤ k ≤ n |
| permutation | oui | non | n! | k = n |
| combinaison | non | non | C(n, k) = n!/(k!(n − k)!) | 0 ≤ k ≤ n |
| parties de E | 2ⁿ | card(E) = n |
- C(n, 0) = C(n, n) = 1 ; C(n, 1) = n ; C(n, 2) = n(n − 1)/2.
- (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.
- Ligne 5 du triangle : 1, 5, 10, 10, 5, 1 ; ligne 6 : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
Pièges à éviter
- Confondre nᵏ (avec répétition) et n!/(n − k)! (sans répétition).
- Utiliser des arrangements pour un tirage simultané, où l'ordre ne compte pas.
- Compter « au moins un as » en fixant un as puis en complétant librement : les mains à plusieurs as sont comptées plusieurs fois.
- Additionner des cas qui ne sont pas disjoints.
- Oublier les signes alternés dans (a − b)ⁿ ou la puissance du coefficient dans (3x + 1)ⁿ.
- Compter l'événement en ordonné et l'univers en non ordonné.
Je me teste
1. Nombre de codes de 4 chiffres ? → 10⁴ = 10 000.
2. Nombre de codes de 4 chiffres distincts ? → 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.
3. Valeur de 0! ? → 1.
4. C(10, 3) ? → 120.
5. C(20, 18) ? → C(20, 2) = 190.
6. Nombre de parties d'un ensemble à 5 éléments ? → 2⁵ = 32.
7. Relation de Pascal ? → C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k).
8. Coefficient de x³ dans (3x + 1)⁷ ? → C(7, 3) × 3³ = 945.
9. Nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 ? → C(32, 5) = 201 376.
10. Nombre d'anagrammes de PASS ? → 4!/2! = 12.