L'essentiel
- Pour f continue et positive sur [a ; b], ∫ de a à b de f(x) dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
- La variable d'intégration est muette : ∫ de a à b de f(x) dx = ∫ de a à b de f(t) dt.
- La fonction x ↦ ∫ de a à x de f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a ; c'est pourquoi toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
- Si F est une primitive de f, ∫ de a à b de f = F(b) - F(a), ce qui définit l'intégrale d'une fonction continue de signe quelconque.
- Pour une fonction négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire ; pour une fonction qui change de signe, c'est une aire algébrique.
- L'intégrale est linéaire et vérifie la relation de Chasles ; inverser les bornes change son signe.
- Pour a ≤ b, l'intégrale d'une fonction positive est positive et l'intégration conserve l'ordre (f ≤ g donne ∫ f ≤ ∫ g).
- La valeur moyenne de f sur [a ; b] vaut (1/(b - a)) × ∫ de a à b de f : c'est la hauteur du rectangle de même aire.
- Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes vaut ∫ de a à b de (f - g).
- L'intégration par parties s'écrit ∫ uv' = [uv] - ∫ u'v ; on dérive le facteur qui se simplifie.
- Pour un polynôme multiplié par eˣ ou sin x, on dérive le polynôme ; pour un polynôme multiplié par ln x, on dérive ln x.
- Une suite d'intégrales s'étudie par intégration par parties (récurrence) et par encadrement (limite).
- L'intégrale d'un débit donne une quantité cumulée, et l'aire sous la courbe d'une concentration mesure l'exposition à un médicament.
- La méthode des rectangles encadre l'intégrale d'une fonction monotone, avec un écart qui tend vers 0 quand le pas diminue.
Formules et définitions à connaître
| Notion | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Calcul | ∫ de a à b de f = F(b) - F(a) | F primitive de f, f continue |
| Fonction intégrale | (∫ de a à x de f(t) dt)' = f(x) | f continue |
| Inversion des bornes | ∫ de b à a de f = -∫ de a à b de f | |
| Chasles | ∫ de a à c = ∫ de a à b + ∫ de b à c | |
| Linéarité | ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g | |
| Positivité, croissance | f ≥ 0 donne ∫ f ≥ 0 ; f ≤ g donne ∫ f ≤ ∫ g | a ≤ b |
| Inégalité de la moyenne | m(b - a) ≤ ∫ de a à b de f ≤ M(b - a) | a ≤ b, m ≤ f ≤ M |
| Valeur moyenne | μ = (1/(b - a)) ∫ de a à b de f | a < b |
| Aire entre courbes | ∫ de a à b de (f - g) | f ≥ g sur [a ; b] |
| Intégration par parties | ∫ de a à b de uv' = [uv] de a à b - ∫ de a à b de u'v | u', v' continues |
Pièges à éviter
- Confondre intégrale et aire quand la fonction change de signe : découper avec Chasles.
- Calculer F(a) - F(b) au lieu de F(b) - F(a), ou oublier les parenthèses autour de F(a).
- Utiliser la positivité ou la croissance de l'intégrale avec a > b.
- Intégrer (courbe du dessous) - (courbe du dessus) et obtenir une aire négative.
- Oublier le crochet [uv] ou le signe moins dans l'intégration par parties.
- Diviser par b au lieu de b - a dans la valeur moyenne.
Je me teste
1. ∫ de 0 à 1 de x² dx ? → 1/3.
2. ∫ de 0 à π/2 de sin x dx ? → 1.
3. ∫ de 1 à e de (1/x) dx ? → 1.
4. Si ∫ de 0 à 2 de f = 5, que vaut ∫ de 2 à 0 de f ? → -5.
5. Valeur moyenne de x ↦ 2x sur [0 ; 3] ? → 3.
6. Aire entre y = x et y = x² sur [0 ; 1] ? → 1/6 u.a.
7. ∫ de 0 à 1 de x eˣ dx ? → 1, par parties.
8. Dérivée de x ↦ ∫ de 0 à x de e-t² dt ? → e-x².
9. ∫ de 0 à 2π de sin x dx ? → 0, mais l'aire correspondante vaut 4 u.a.
10. 1 u.a. si les unités sont 2 cm et 3 cm ? → 6 cm².