L'essentiel
- Une équation différentielle a pour inconnue une fonction ; une solution est une fonction dérivable qui vérifie l'égalité sur tout l'intervalle.
- Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.
- Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : les primitives de f sont les F + C.
- Il existe une unique primitive de f prenant une valeur donnée y₀ en un point x₀ donné.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (théorème démontré avec le calcul intégral).
- Les solutions de y' = f sont les primitives de f.
- Pour une composée, on reconnaît une forme (u'uⁿ, u'/u, u'eᵘ, u' cos u...) puis on ajuste un facteur constant.
- On vérifie toujours une primitive en la dérivant.
- Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ C eax ; la solution telle que y(0) = y₀ est y₀ eax.
- Pour a ≠ 0, les solutions de y' = ay + b sont les fonctions x ↦ C eax - b/a, où -b/a est la solution constante.
- Si a < 0, toutes les solutions de y' = ay + b tendent vers la valeur d'équilibre -b/a, avec un temps caractéristique τ = 1/|a|.
- Décroissance radioactive : N' = -λN donne N(t) = N₀ e-λt, de demi-vie ln 2 / λ.
- Refroidissement de Newton : θ' = -k(θ - θₐ) donne θ(t) = θₐ + (θ₀ - θₐ) e-kt.
- Charge d'un condensateur : RC u' + u = E donne u(t) = E(1 - e-t/τ), avec τ = RC.
- Perfusion à débit Q : C' = Q/V - kC donne un plateau Q/(kV), atteint à 50 % en une demi-vie.
Formules et définitions à connaître
| Fonction f | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| xⁿ (n ≥ 0 entier) | xⁿ⁺¹/(n + 1) | ℝ |
| 1/x² | -1/x | x ≠ 0, sur un intervalle |
| 1/x | ln x | x > 0 |
| 1/√x | 2√x | x > 0 |
| eˣ ; cos x ; sin x | eˣ ; sin x ; -cos x | ℝ |
| u' uⁿ | uⁿ⁺¹/(n + 1) | n entier, n ≥ 1 |
| u'/u | ln u | u > 0 |
| u'/u² | -1/u | u ne s'annule pas |
| u' eᵘ | eᵘ | |
| f(ax + b) | (1/a) F(ax + b) | a ≠ 0 |
| Équation | Solutions | Remarque |
|---|---|---|
| y' = f | F + C | F primitive de f |
| y' = ay | C eax | y(0) = y₀ donne C = y₀ |
| y' = ay + b, a ≠ 0 | C eax - b/a | équilibre -b/a si a < 0 |
Pièges à éviter
- Oublier de préciser l'intervalle, en particulier pour ln.
- Multiplier par a au lieu de diviser : une primitive de e3x est e3x/3.
- Lire a et b sans mettre l'équation sous la forme y' = ay + b (dans y' + 2y = 6, a = -2).
- Appliquer la condition initiale à C eax seul en oubliant le terme -b/a.
- Croire qu'il existe une règle de primitive pour un produit quelconque.
- Oublier les unités du temps caractéristique ou de la constante k.
Je me teste
1. Une primitive de 3x² + 2 ? → x³ + 2x.
2. Une primitive de 2x/(x² + 1) ? → ln(x² + 1).
3. Une primitive de cos(2x) ? → (1/2) sin(2x).
4. Une primitive de x ex² ? → (1/2) ex².
5. Solutions de y' = -4y ? → C e-4x.
6. Solution de y' = 5y avec y(0) = 2 ? → 2e5x.
7. Solution constante de y' = -2y + 10 ? → 5.
8. Limite des solutions de y' = -0,1y + 3 en +∞ ? → 30.
9. Constante de temps pour R = 1 kΩ et C = 1 mF ? → τ = 1 s.
10. Fraction du plateau atteinte après deux demi-vies de perfusion ? → 75 %.