L'essentiel
- La dérivée d'une composée est (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)) : on dérive la fonction extérieure appliquée à u(x), puis on multiplie par u'(x).
- La dérivée de exp(u) est u' exp(u) ; elle a toujours le signe de u'.
- La dérivée seconde f'' est la dérivée de f' ; elle mesure l'évolution de la pente, comme une accélération.
- f est convexe sur I si sa courbe est sous chacune de ses cordes, concave si elle est au-dessus.
- Pour f dérivable : f convexe équivaut à f' croissante, et à une courbe au-dessus de toutes ses tangentes.
- Pour f deux fois dérivable : f est convexe si et seulement si f'' ≥ 0, concave si et seulement si f'' ≤ 0.
- x², exp et 1/x sur ]0 ; +∞[ sont convexes ; √x est concave ; x³ est concave sur ]-∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.
- Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la convexité change.
- Si f'' s'annule en a en changeant de signe, le point d'abscisse a est un point d'inflexion.
- En un point d'inflexion, f' atteint un extremum local : la variation de f y est la plus rapide.
- La convexité de exp donne exp(x) ≥ 1 + x pour tout x ; la concavité de √ donne √x ≤ (x + 1)/2 pour tout x ≥ 0.
- Pour f convexe, f((a + b)/2) ≤ (f(a) + f(b))/2 ; l'inégalité s'inverse pour f concave.
- Une fonction convexe dont la dérivée s'annule en a atteint son minimum en a.
Formules et définitions à connaître
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| g(u(x)) | u'(x) g'(u(x)) | u dérivable sur I, g dérivable sur J contenant u(I) |
| exp(u) | u' exp(u) | |
| uⁿ | n u' uⁿ⁻¹ | n entier ≥ 1 |
| √u | u'/(2√u) | u > 0 |
| 1/u | -u'/u² | u ne s'annule pas |
| f(ax + b) | a f'(ax + b) | |
| Tangente en a | y = f'(a)(x - a) + f(a) | f dérivable en a |
| Convexité | f'' ≥ 0 sur I | f deux fois dérivable |
| Inégalité de corde | f((1 - t)a + tb) ≤ (1 - t)f(a) + t f(b) | f convexe, t dans [0 ; 1] |
Pièges à éviter
- Oublier le facteur u' : la dérivée de exp(3x) est 3 exp(3x).
- Confondre convexe et croissante : x² est convexe mais décroissante sur ]-∞ ; 0].
- Conclure à un point d'inflexion dès que f''(a) = 0 : il faut un changement de signe (contre-exemple x⁴).
- Mélanger le tableau de signes de f' (variations) et celui de f'' (convexité).
- Affirmer une position par rapport à une tangente sur un intervalle qui contient un point d'inflexion.
- Croire que le produit de deux fonctions convexes est convexe.
Je me teste
1. Dérivée de exp(-2x) ? → -2 exp(-2x).
2. Dérivée de (x² + 1)³ ? → 6x(x² + 1)².
3. Dérivée de √(5x + 1) ? → 5/(2√(5x + 1)).
4. f''(x) = (x - 3) exp(x) : où f est-elle convexe ? → Sur [3 ; +∞[.
5. La fonction √ est-elle convexe ou concave ? → Concave sur [0 ; +∞[.
6. Une courbe convexe est-elle au-dessus ou au-dessous de ses tangentes ? → Au-dessus.
7. f(x) = x⁴ a-t-elle un point d'inflexion en 0 ? → Non, f'' = 12x² ne change pas de signe.
8. Abscisses des points d'inflexion de exp(-x²/2) ? → -1 et 1.
9. Quelle inégalité donne la tangente en 0 à exp ? → exp(x) ≥ 1 + x pour tout réel x.
10. Que représente le point d'inflexion d'une courbe de croissance en S ? → L'instant où la croissance est la plus rapide.