L'essentiel
- Une fonction f est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a vaut f(a) ; elle est continue sur I si elle l'est en tout point de I.
- Polynômes, fonctions rationnelles (sur leur ensemble de définition), racine carrée, exponentielle, valeur absolue, sinus et cosinus sont continus ; sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues aussi.
- Une fonction définie par morceaux est continue au point de raccord si les limites à gauche et à droite y sont égales à la valeur de la fonction.
- Une fonction dérivable est continue ; la réciproque est fausse (valeur absolue en 0, racine carrée en 0).
- Si uₙ tend vers a et si f est continue en a, alors f(uₙ) tend vers f(a).
- Si uₙ₊₁ = f(uₙ), si (uₙ) converge vers ℓ et si f est continue en ℓ, alors f(ℓ) = ℓ : la limite est un point fixe.
- Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois sur [a ; b].
- Corollaire : si f est de plus strictement monotone, l'équation f(x) = k a une unique solution sur [a ; b] ; il s'étend aux intervalles ouverts ou infinis avec les limites aux bornes.
- Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie fonction continue et strictement monotone ; on compte les solutions intervalle par intervalle.
- La dichotomie divise par 2 la longueur de l'encadrement à chaque étape : après n étapes, elle vaut (b - a)/2ⁿ.
- Pour étudier uₙ₊₁ = f(uₙ) : intervalle stable, monotonie par récurrence (f croissante), convergence monotone, puis limite par f(ℓ) = ℓ.
- Les points fixes de f sont les abscisses des points d'intersection de sa courbe avec la droite y = x.
Formules et définitions à connaître
| Notion | Énoncé | Condition |
|---|---|---|
| Continuité en a | lim (x→a) f(x) = f(a) | a dans l'intervalle de définition |
| Suite et continuité | uₙ → a donne f(uₙ) → f(a) | f continue en a |
| Point fixe | ℓ = f(ℓ) | (uₙ) converge vers ℓ, f continue en ℓ |
| Valeurs intermédiaires | il existe c dans [a ; b] avec f(c) = k | f continue, k entre f(a) et f(b) |
| Corollaire | solution unique | f continue et strictement monotone |
| Dichotomie | longueur (b - a)/2ⁿ après n étapes | f continue, f(a) × f(b) ≤ 0 |
| Nombre d'étapes | 2ⁿ ≥ (b - a)/e | précision e |
Pièges à éviter
- Conclure à une solution unique avec le seul théorème des valeurs intermédiaires : il faut la stricte monotonie.
- Oublier l'hypothèse de continuité : 1/x change de signe entre -1 et 1 sans jamais s'annuler.
- Écrire ℓ = f(ℓ) avant d'avoir prouvé la convergence de la suite.
- Garder une solution de f(ℓ) = ℓ incompatible avec l'intervalle stable ou le sens de variation.
- Croire qu'une fonction continue est dérivable.
- En dichotomie, garder la mauvaise moitié : on conserve celle où f(a) × f(m) ≤ 0.
Je me teste
1. Une fonction dérivable sur I est-elle continue sur I ? → Oui, toujours.
2. Une fonction continue en 0 est-elle dérivable en 0 ? → Pas forcément, par exemple |x|.
3. Si uₙ tend vers 1, vers quoi tend exp(uₙ) ? → Vers e, par continuité de exp.
4. Que permet d'affirmer le théorème des valeurs intermédiaires ? → Au moins une solution de f(x) = k pour k entre f(a) et f(b), si f est continue.
5. Quelle hypothèse ajouter pour avoir une solution unique ? → La stricte monotonie de f.
6. Longueur de l'encadrement après 5 étapes de dichotomie sur [0 ; 1] ? → 1/32, soit 0,03125.
7. Combien d'étapes pour une précision de 0,001 sur [0 ; 1] ? → 10, car 2¹⁰ = 1 024.
8. Si uₙ₊₁ = √(uₙ + 6) converge, quelle est sa limite positive ? → 3, solution positive de ℓ² = ℓ + 6.
9. Graphiquement, qu'est-ce qu'un point fixe de f ? → L'abscisse d'une intersection de la courbe de f avec la droite y = x.
10. Pour f croissante, comment connaître le sens de variation de uₙ₊₁ = f(uₙ) ? → En comparant u₀ et u₁.