L'essentiel
- Si f(x) tend vers un réel ℓ en +∞ ou en -∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe de f.
- Si f(x) tend vers +∞ ou -∞ quand x tend vers a (d'un côté au moins), la droite x = a est asymptote verticale.
- Si f(x) - (mx + p) tend vers 0 en ±∞, la droite y = mx + p est asymptote oblique ; le signe de cette différence donne la position de la courbe.
- Les limites à gauche et à droite en a peuvent différer : 1/x tend vers -∞ en 0⁻ et vers +∞ en 0⁺.
- Les règles d'opérations des suites valent pour les fonctions ; les formes indéterminées sont ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0.
- En l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, et un quotient de polynômes comme le quotient de ces termes.
- Quand un numérateur tend vers un réel non nul et le dénominateur vers 0, la limite est infinie et son signe vient d'un tableau de signes du dénominateur.
- Une forme 0/0 en a entre deux polynômes se lève en factorisant par (x - a).
- Une différence de racines carrées se traite par la quantité conjuguée.
- Pour une composée g(u(x)), on calcule la limite b de u(x), puis la limite de g(X) quand X tend vers b.
- Comparaison : si f ≥ g et g tend vers +∞, alors f tend vers +∞ ; gendarmes : un encadrement par deux fonctions de même limite ℓ impose la limite ℓ.
- sin x et cos x n'ont pas de limite en l'infini : on les encadre entre -1 et 1.
- L'exponentielle tend vers +∞ en +∞ et vers 0 en -∞ ; la droite y = 0 est asymptote en -∞.
- En cas d'indétermination, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
Formules et définitions à connaître
| Limite | Valeur | Remarque |
|---|---|---|
| xⁿ en +∞ | +∞ | n entier non nul |
| xⁿ en -∞ | +∞ si n pair, -∞ si n impair | |
| 1/xⁿ en ±∞ | 0 | |
| √x en +∞ | +∞ | |
| exp(x) en +∞ / en -∞ | +∞ / 0 | |
| exp(x)/xⁿ en +∞ | +∞ | croissances comparées |
| xⁿ exp(-x) en +∞ | 0 | croissances comparées |
| xⁿ exp(x) en -∞ | 0 | croissances comparées |
| (exp(x) - 1)/x en 0 | 1 | taux d'accroissement de exp en 0 |
| Composée | lim g(u(x)) = c si u(x) → b et g(X) → c | a, b, c réels ou infinis |
Pièges à éviter
- Utiliser le raccourci du terme dominant en un réel a : il ne vaut qu'en l'infini.
- Conclure à une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule : si le numérateur s'annule aussi, la limite peut être finie.
- Oublier de distinguer la gauche et la droite quand le dénominateur change de signe.
- Écrire une limite pour sin x ou cos x en l'infini.
- Confondre exp(-x) en +∞ (limite 0) et en -∞ (limite +∞).
- Croire qu'une courbe ne coupe jamais son asymptote horizontale.
Je me teste
1. Limite de (5x² - 1)/(2x² + x) en +∞ ? → 5/2.
2. Limite de 1/(x - 4) en 4⁺ ? → +∞, asymptote verticale x = 4.
3. Limite de (x² - 25)/(x - 5) en 5 ? → 10, après simplification par (x - 5).
4. Limite de exp(-x²) en +∞ ? → 0, par composition.
5. Limite de x³ exp(-x) en +∞ ? → 0, par croissances comparées.
6. Limite de exp(x)/x² en +∞ ? → +∞.
7. Limite de x exp(x) en -∞ ? → 0.
8. Limite de (exp(x) - 1)/x en 0 ? → 1.
9. Limite de (cos x)/x en +∞ ? → 0, par les gendarmes.
10. Que signifie lim (x→+∞) f(x) = 3 graphiquement ? → La droite y = 3 est asymptote horizontale en +∞.