L'essentiel
- Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est P(B ∣ A) = P(A ∩ B) / P(A).
- L'événement écrit après la barre est celui que l'on sait réalisé : l'univers est restreint à cet événement.
- En général P(B ∣ A) est différent de P(A ∣ B), et les confondre est l'erreur la plus fréquente.
- Pour A fixé, P(· ∣ A) est une loi de probabilité : en particulier P(B̄ ∣ A) = 1 - P(B ∣ A).
- La formule des probabilités composées donne P(A ∩ B) = P(A) × P(B ∣ A).
- Dans un tableau croisé, une probabilité conditionnelle est une proportion calculée dans une seule ligne ou une seule colonne.
- Dans un arbre pondéré, le premier niveau porte des probabilités simples et le second des probabilités conditionnelles.
- La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1 ; un chemin a pour probabilité le produit de ses branches.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
- Une partition de l'univers est une famille d'événements deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, dont la réunion est Ω.
- La formule des probabilités totales donne P(B) comme somme des P(Aᵢ) × P(B ∣ Aᵢ) sur une partition.
- Pour inverser un conditionnement, on calcule P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), avec P(B) obtenu par les probabilités totales.
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; si P(A) ≠ 0, cela équivaut à P(B ∣ A) = P(B).
- Si A et B sont indépendants, Ā et B, A et B̄, Ā et B̄ le sont aussi.
- Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
- Pour deux épreuves indépendantes successives, la probabilité d'un couple d'issues est le produit des probabilités.
Formules et définitions à connaître
| Notion | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Probabilité conditionnelle | P(B ∣ A) = P(A ∩ B) / P(A) | P(A) ≠ 0 |
| Événement contraire | P(B̄ ∣ A) = 1 - P(B ∣ A) | P(A) ≠ 0 |
| Probabilités composées | P(A ∩ B) = P(A) × P(B ∣ A) | P(A) ≠ 0 |
| Probabilités totales | P(B) = P(A) × P(B ∣ A) + P(Ā) × P(B ∣ Ā) | 0 < P(A) < 1 |
| Inversion | P(A ∣ B) = P(A) × P(B ∣ A) / P(B) | P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0 |
| Indépendance | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) | toujours |
| Deux épreuves indépendantes | P((x ; y)) = P₁(x) × P₂(y) | épreuves sans influence mutuelle |
| Réunion | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) | toujours |
Pièges à éviter
- Traduire « 3 % des pièces de la machine A sont défectueuses » par P(A ∩ D) au lieu de P(D ∣ A).
- Inverser P(A ∣ B) et P(B ∣ A).
- Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.
- Confondre incompatibles et indépendants.
- Croire qu'un tirage sans remise donne des tirages indépendants.
- Conclure à l'indépendance par intuition, sans comparer P(A ∩ B) et P(A) × P(B).
Je me teste
1. P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1 : P(B ∣ A) ? → 0,25.
2. Que porte une branche de second niveau d'un arbre ? → Une probabilité conditionnelle.
3. P(A) = 0,3, P(B ∣ A) = 0,6, P(B ∣ Ā) = 0,2 : P(B) ? → 0,32.
4. Même situation : P(A ∣ B) ? → 0,5625.
5. Prévalence 2 %, P(T ∣ M) = 0,95, P(T ∣ M̄) = 0,03 : P(M ∣ T) ? → Environ 0,393.
6. A et B indépendants, P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 : P(A ∪ B) ? → 0,72.
7. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont-ils indépendants ? → Non.
8. Dans un jeu de 32 cartes, « cœur » et « roi » sont-ils indépendants ? → Oui : 1/32 = 1/4 × 1/8.
9. Deux tirages sans remise sont-ils indépendants ? → Non, la composition de l'urne change.
10. Pile avec probabilité 0,6 puis dé équilibré : P(pile et 6) ? → 0,1.