L'essentiel
- Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).
- Un radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur un cercle de rayon 1 ; on a π rad = 180°.
- En enroulant la droite des réels sur le cercle à partir de I(1 ; 0), chaque réel x a un unique point image M(x).
- Les réels x et x + 2kπ (k entier relatif) ont le même point image ; un point du cercle est donc l'image d'une infinité de réels.
- La mesure principale d'un réel est l'unique réel de ]-π ; π] qui a le même point image.
- Le cosinus de x est l'abscisse de M(x), le sinus de x en est l'ordonnée.
- Pour tout réel x, cos x et sin x sont compris entre -1 et 1, et cos²x + sin²x = 1.
- Le signe de cos x et de sin x se lit sur le quadrant où se trouve M(x).
- Les angles associés (-x, π - x, π + x, π/2 - x, π/2 + x) se déduisent des symétries du cercle.
- L'équation cos x = cos α a pour solutions α + 2kπ et -α + 2kπ ; l'équation sin x = sin α a pour solutions α + 2kπ et π - α + 2kπ.
- Une inéquation trigonométrique se résout en lisant un arc de cercle, puis en respectant les bornes de l'intervalle imposé.
- Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur ℝ et périodiques de période 2π.
- La fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), la fonction sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à O).
- Sur [0 ; π], cosinus décroît de 1 à -1 ; sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; π/2] puis décroît de 1 à 0 sur [π/2 ; π].
- Les courbes sont des sinusoïdes ; celle du cosinus est celle du sinus translatée de π/2 vers la gauche.
- La fonction x ↦ sin(ωx), avec ω > 0, a pour période 2π/ω.
Formules et définitions à connaître
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
| Réel | cosinus | sinus | Symétrie |
|---|---|---|---|
| -x | cos x | -sin x | axe des abscisses |
| π - x | -cos x | sin x | axe des ordonnées |
| π + x | -cos x | -sin x | centre O |
| π/2 - x | sin x | cos x | droite y = x |
| π/2 + x | -sin x | cos x | quart de tour direct |
- Conversion : r = d × π/180 (degrés vers radians), d = r × 180/π.
- Relation fondamentale : cos²x + sin²x = 1, valable pour tout réel x.
- Périodicité : cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
- Cas particuliers : cos x = 0 pour x = π/2 + kπ ; sin x = 0 pour x = kπ.
Pièges à éviter
- Choisir le signe de cos x ou sin x sans regarder l'intervalle où se trouve x.
- Écrire -α au lieu de π - α comme seconde solution de sin x = sin α.
- Oublier que -π est exclu et π inclus dans ]-π ; π] pour la mesure principale.
- Résoudre cos x = a avec a hors de [-1 ; 1], alors qu'il n'y a aucune solution.
- Laisser la calculatrice en mode degré.
- Confondre cos²x, c'est-à-dire (cos x)², avec cos(x²).
Je me teste
1. Combien de degrés vaut π/5 rad ? → 36°.
2. Mesure principale de 17π/3 ? → -π/3.
3. Valeur exacte de sin(5π/6) ? → 1/2.
4. Valeur exacte de cos(3π/4) ? → -√2/2.
5. Si sin x = 3/5 et x ∈ [π/2 ; π], que vaut cos x ? → -4/5.
6. cos(π - x) en fonction de cos x ? → -cos x.
7. Solutions de cos x = -1/2 dans ]-π ; π] ? → -2π/3 et 2π/3.
8. Solutions de sin x = 0 dans ℝ ? → x = kπ, k entier relatif.
9. Parité de la fonction sinus ? → Impaire : sin(-x) = -sin x.
10. Période de x ↦ cos(2x) ? → π.