L'essentiel
- Le taux de variation de f entre a et a + h est (f(a + h) - f(a))/h : c'est la pente de la sécante, ou une vitesse moyenne.
- f est dérivable en a si ce taux tend vers un réel quand h tend vers 0 ; ce réel est le nombre dérivé f'(a).
- Le nombre dérivé est un taux de variation instantané, par exemple une vitesse instantanée.
- La tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a).
- Une tangente est horizontale exactement quand f'(a) = 0.
- Près de a, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h : c'est l'approximation affine.
- La racine carrée n'est pas dérivable en 0 et la valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
- La dérivée d'un produit est u'v + uv', celle d'un quotient est (u'v - uv')/v².
- La dérivée de x ↦ g(ax + b) est x ↦ a × g'(ax + b).
- Sur un intervalle, f' ≥ 0 entraîne f croissante et f' ≤ 0 entraîne f décroissante.
- Pour étudier le signe de f', on la factorise, puis on dresse un tableau de signes.
- Un extremum local en un point intérieur où f est dérivable impose f'(c) = 0.
- f'(c) = 0 ne suffit pas : il faut que f' change de signe en c (contre-exemple x³ en 0).
- Sur un intervalle fermé, le maximum ou le minimum peut être atteint à une borne.
- Pour démontrer f(x) ≥ g(x), on étudie le minimum de f(x) - g(x).
Formules et définitions à connaître
| Fonction | Dérivée | Validité |
|---|---|---|
| k | 0 | ℝ |
| mx + p | m | ℝ |
| xⁿ (n ≥ 1) | n xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | -1/x² | x ≠ 0 |
| √x | 1/(2√x) | x > 0 |
| u + v ; ku | u' + v' ; ku' | |
| uv | u'v + uv' | |
| 1/v | -v'/v² | v ≠ 0 |
| u/v | (u'v - uv')/v² | v ≠ 0 |
| g(ax + b) | a g'(ax + b) | |
| Tangente en a | y = f'(a)(x - a) + f(a) | f dérivable en a |
Pièges à éviter
- Écrire (uv)' = u'v' : c'est faux, la bonne formule est u'v + uv'.
- Inverser l'ordre ou le signe dans la formule du quotient.
- Oublier le facteur a dans la dérivée de g(ax + b).
- Confondre f(a) et f'(a) dans l'équation de la tangente.
- Conclure à un extremum dès que f'(c) = 0, sans vérifier le changement de signe.
- Appliquer le lien signe de f' et variations sur une réunion d'intervalles, comme pour 1/x sur ℝ privé de 0.
Je me teste
1. Taux de variation de x² entre 1 et 3 ? → 4.
2. Dérivée de x² en a par la définition ? → Le taux vaut 2a + h, donc f'(a) = 2a.
3. Dérivée de √x ? → 1/(2√x), sur ]0 ; +∞[.
4. Dérivée de (3x - 1)⁴ ? → 12(3x - 1)³.
5. Dérivée de (x + 1)/(x - 2) ? → -3/(x - 2)².
6. Tangente à x³ en 1 ? → y = 3x - 2.
7. Tangente à x² - 3x en 2 ? → y = x - 4.
8. x³ a-t-elle un extremum en 0 ? → Non, f'(0) = 0 mais f' ne change pas de signe.
9. Minimum de x + 1/x sur ]0 ; +∞[ ? → 2, atteint en x = 1.
10. Valeur approchée de √101 par la tangente en 100 ? → 10,05.