L'essentiel
- Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole.
- La forme canonique a(x - α)² + β s'obtient avec α = -b/(2a) et β = f(α).
- Le sommet de la parabole est S(α ; β) et la droite d'équation x = α est son axe de symétrie.
- Si a > 0, f décroît puis croît et admet un minimum β en α ; si a < 0, f croît puis décroît et admet un maximum β en α.
- Le discriminant Δ = b² - 4ac donne le nombre de racines : deux si Δ > 0, une si Δ = 0, aucune si Δ < 0.
- Si Δ > 0, les racines sont (-b - √Δ)/(2a) et (-b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, la racine double est -b/(2a).
- La forme factorisée est a(x - x₁)(x - x₂) si Δ > 0 et a(x - x₀)² si Δ = 0 ; il n'y en a pas si Δ < 0.
- La somme des racines vaut -b/a et leur produit c/a.
- Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de X² - SX + P = 0.
- Si a + b + c = 0, 1 est racine ; si a - b + c = 0, -1 est racine.
- Un trinôme est du signe de a à l'extérieur de ses racines et du signe contraire entre elles.
- Si Δ < 0, le trinôme garde partout le signe de a.
- Pour résoudre une inéquation, on ramène tout à f(x) comparé à 0, puis on lit le tableau de signes.
- Une équation bicarrée ax⁴ + bx² + c = 0 se résout en posant X = x² avec X ≥ 0.
- Les abscisses des points communs à deux courbes sont les solutions de f(x) = g(x), et le signe de f(x) - g(x) donne leur position relative.
Formules et définitions à connaître
| Notion | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Forme développée | ax² + bx + c | a ≠ 0 |
| Forme canonique | a(x - α)² + β, α = -b/(2a), β = f(α) | toujours |
| Discriminant | Δ = b² - 4ac | toujours |
| Racines | (-b ± √Δ)/(2a) | Δ > 0 |
| Racine double | x₀ = -b/(2a) | Δ = 0 |
| Forme factorisée | a(x - x₁)(x - x₂) | Δ ≥ 0 |
| Somme et produit | x₁ + x₂ = -b/a ; x₁x₂ = c/a | Δ ≥ 0 |
| Lien sommet et Δ | β = -Δ/(4a) | toujours |
Pièges à éviter
- Oublier le coefficient a devant la forme factorisée.
- Diviser par 2 au lieu de 2a dans la formule des racines, surtout quand a est négatif.
- Diviser une inéquation par une expression en x de signe inconnu, ou oublier de renverser l'inégalité en divisant par un nombre négatif.
- Confondre « Δ < 0 » (pas de racine) avec « pas de solution » pour une inéquation : la réponse peut être ℝ tout entier.
- Se tromper de crochets : racines incluses pour ≤ et ≥, exclues pour < et >.
- Garder, dans une équation bicarrée, une valeur négative de X = x².
Je me teste
1. Quelle est l'abscisse du sommet de ax² + bx + c ? → α = -b/(2a).
2. Forme canonique de x² - 4x + 7 ? → (x - 2)² + 3.
3. Combien de racines si Δ = 0 ? → Une seule, la racine double -b/(2a).
4. Racines de 2x² - 12x + 10 ? → 1 et 5.
5. Produit des racines de 3x² + 5x - 8 ? → -8/3, et comme 1 est racine, l'autre vaut -8/3.
6. Signe de -2x² + 3x - 5 ? → Toujours strictement négatif (Δ = -31 < 0 et a < 0).
7. Solutions de -x² + x + 6 ≥ 0 ? → [-2 ; 3].
8. Deux nombres de somme 7 et de produit 12 ? → 3 et 4.
9. Solutions de x⁴ - 5x² + 4 = 0 ? → -2, -1, 1 et 2.
10. Aire maximale d'un rectangle de périmètre 20 cm ? → 25 cm², pour un carré de côté 5 cm.