L'essentiel
- Répéter un même mesurage donne des valeurs différentes : c'est la variabilité, et la valeur vraie du mesurande reste inconnue.
- L'erreur aléatoire disperse les mesures et se réduit en moyennant ; l'erreur systématique les décale toutes dans le même sens et ne se réduit pas en répétant.
- Une mesure fidèle a des valeurs peu dispersées ; une mesure juste a une moyenne proche de la référence.
- L'incertitude-type u(x) caractérise la dispersion des valeurs attribuables au mesurande ; elle a l'unité de x.
- L'incertitude relative u(x)/|x| permet de comparer la précision de mesures différentes.
- Évaluation de type A : la moyenne de n mesures est la meilleure estimation, et son incertitude-type vaut s/√n.
- Multiplier le nombre de mesures par 4 divise l'incertitude-type de la moyenne par 2.
- Évaluation de type B : on divise une demi-largeur d'intervalle par √3 (tolérance ±a) ou on prend g/√12 pour une lecture sur une graduation g.
- Un résultat s'écrit (valeur ± incertitude-type) unité, avec une incertitude à 1 ou 2 chiffres significatifs et une valeur arrondie à la même décimale.
- Pour une somme ou une différence, les incertitudes absolues s'ajoutent en quadrature ; pour un produit ou un quotient, ce sont les incertitudes relatives.
- Un exposant n multiplie l'incertitude relative par |n|.
- Dans une somme quadratique, le terme le plus grand domine : c'est sur lui qu'il faut agir.
- Le quotient z = |x − x_réf|/u(x) compare un résultat à une référence : compatible si z ≤ 2.
- Une régression linéaire donne la pente et l'ordonnée à l'origine ; la validité du modèle se juge sur les résidus, pas seulement sur r².
- Linéariser une loi (T² en fonction de L, ln(u) en fonction de t) permet d'en extraire un paramètre par la pente.
- Une droite d'étalonnage ne s'utilise qu'à l'intérieur du domaine des mesures.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Condition de validité |
|---|---|---|
| Moyenne | x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n | mesures répétées, mêmes conditions |
| Écart-type expérimental | s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)) | diviser par n − 1 |
| Incertitude type A | u(x̄) = s/√n | mesures indépendantes |
| Incertitude type B, graduation | u = g/√12 | une lecture, graduation g |
| Incertitude type B, tolérance | u = a/√3 | valeur annoncée à ±a |
| Somme, différence | u(y) = √(u(x₁)² + u(x₂)²) | sources indépendantes |
| Produit, quotient | u(y)/y = √((u(x₁)/x₁)² + (u(x₂)/x₂)²) | sources indépendantes |
| Puissance | u(y)/y = abs(n)·u(x)/x | y = xⁿ |
| Comparaison | z = abs(x − x_réf)/u(x) | compatible si z ≤ 2 |
| Régression | a = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/Σ(xᵢ − x̄)² ; b = ȳ − a·x̄ | modèle affine |
Pièges à éviter
- Confondre s et s/√n.
- Utiliser σₙ au lieu de σₙ₋₁ sur la calculatrice.
- Ajouter des incertitudes absolues pour un quotient, ou relatives pour une somme.
- Oublier le facteur 2 de l'exposant pour une grandeur au carré.
- Conclure avec l'écart relatif ou un r² seul au lieu de z et des résidus.
- Croire que répéter les mesures supprime une erreur systématique.
- Extrapoler une droite d'étalonnage hors du domaine mesuré.
Je me teste
1. Combien de chiffres significatifs dans 0,00450 ? → 3.
2. Incertitude-type sur la moyenne de n mesures ? → s/√n.
3. Combien de mesures pour diviser u(x̄) par 3 ? → 9 fois plus.
4. Incertitude-type pour une tolérance de ± 0,03 mL ? → 0,03/√3 ≈ 0,017 mL.
5. Écriture correcte de 9,8123 ± 0,0456 m·s⁻² ? → (9,81 ± 0,05) m·s⁻².
6. Que combine-t-on pour R = U/I ? → Les incertitudes relatives, en quadrature.
7. Incertitude relative de y = x² si u(x)/x = 1 % ? → 2 %.
8. z = 2,4 : conclusion ? → Résultat non compatible avec la référence.
9. Que tracer pour mesurer g avec un pendule ? → T² en fonction de L, pente 4π²/g.
10. Signe d'un mauvais modèle sur les résidus ? → Des résidus de signes non aléatoires, qui dessinent une courbure.