L'essentiel
- L'intensité d'un courant est un débit de charge : i = dq/dt, et Q = I·Δt quand le courant est constant.
- Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant ; elles portent à chaque instant des charges opposées q et −q.
- La charge q de l'armature A est proportionnelle à la tension : q = C·u, où C est la capacité en farads.
- En convention récepteur, le condensateur obéit à i = C·du/dt.
- En régime permanent, la tension est constante, le courant est nul : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
- La tension aux bornes d'un condensateur est toujours continue ; l'intensité, elle, peut varier brutalement.
- La capacité d'un condensateur plan vaut C = ε·S/e : elle augmente avec la surface en regard et la permittivité, et diminue avec la distance entre armatures.
- En charge dans un circuit RC série, u vérifie RC·du/dt + u = E et vaut u(t) = E·(1 − exp(−t/τ)) si le condensateur est initialement déchargé.
- En décharge, u vérifie RC·du/dt + u = 0 et vaut u(t) = E·exp(−t/τ) ; l'intensité est alors négative, le courant change de sens.
- La constante de temps τ = RC est une durée en secondes ; elle ne dépend pas de E.
- À t = τ, la tension vaut 63 % de E en charge et 37 % de E en décharge.
- La tangente à l'origine coupe l'asymptote u = E (charge) ou l'axe des temps (décharge) à la date τ.
- On considère le condensateur chargé ou déchargé au bout de 5τ (écart inférieur à 1 %).
- En décharge, ln(u) est une fonction affine du temps de pente −1/τ, ce qui permet de mesurer τ par régression linéaire.
- Un capteur capacitif traduit une variation de distance, de surface ou de permittivité en variation de capacité, mesurée par exemple par la constante de temps d'un circuit RC.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Unité | Condition de validité |
|---|---|---|---|
| Intensité | i = dq/dt ; Q = I·Δt | A, C, s | Q = I·Δt seulement si I est constant |
| Charge d'un condensateur | q = C·u | C, F, V | q charge de l'armature vers laquelle i est orienté |
| Loi du condensateur | i = C·du/dt | A | convention récepteur, C constante |
| Condensateur plan | C = ε₀·εᵣ·S/e | F | armatures parallèles, e petite devant leurs dimensions ; ε₀ = 8,85×10⁻¹² F·m⁻¹ |
| Constante de temps | τ = RC | s | circuit RC série |
| Charge | u(t) = E·(1 − exp(−t/τ)) ; i(t) = (E/R)·exp(−t/τ) | V, A | u(0) = 0 |
| Décharge | u(t) = E·exp(−t/τ) ; i(t) = −(E/R)·exp(−t/τ) | V, A | u(0) = E |
| Durée en décharge | t = τ·ln(E/u) | s | pour atteindre la tension u |
| Énergie stockée (complément) | Eₑ = ½·C·u² | J | condensateur sous la tension u |
Pièges à éviter
- Oublier de convertir µF, nF ou kΩ avant de calculer τ.
- Lire τ à 63 % sur une courbe de décharge (c'est 37 % en décharge).
- Placer la tangente à l'origine à 5τ au lieu de τ.
- Écrire la condition initiale sur l'intensité au lieu de la tension.
- Croire que la durée de charge dépend de la tension du générateur.
- Prendre le logarithme d'une somme : isole toujours l'exponentielle d'abord.
Je me teste
1. Que vaut 1 A en coulombs et secondes ? → 1 A = 1 C·s⁻¹.
2. Relation entre i et u pour un condensateur en convention récepteur ? → i = C·du/dt.
3. Comportement d'un condensateur en régime permanent ? → Interrupteur ouvert, courant nul.
4. Quelle grandeur est continue dans un condensateur ? → La tension à ses bornes.
5. τ pour R = 10 kΩ et C = 100 µF ? → τ = 1,0 s.
6. Fraction de E atteinte à t = τ pendant une charge ? → Environ 63 %.
7. Fraction de E restante à t = τ pendant une décharge ? → Environ 37 %.
8. Intensité juste après la fermeture lors d'une charge ? → i(0) = E/R.
9. Comment varie C si la distance entre armatures diminue ? → C augmente, car C = ε·S/e.
10. Quelle droite tracer pour mesurer τ sur une décharge ? → ln(u) en fonction de t, de pente −1/τ.