L'essentiel
- Deux corps à symétrie sphérique s'attirent avec une force de valeur F = G·mA·mB/d², d étant la distance entre leurs centres.
- Un astre de masse M crée un champ de gravitation radial, dirigé vers son centre, de valeur g = G·M/r², qui décroît comme 1/r².
- Un satellite de la Terre s'étudie dans le référentiel géocentrique, une planète dans le référentiel héliocentrique, tous deux supposés galiléens.
- Le rayon de l'orbite est r = R + h : rayon de l'astre plus altitude.
- Pour une orbite circulaire, la force de gravitation n'a pas de composante tangentielle : le mouvement est uniforme.
- La vitesse sur une orbite circulaire vaut v = √(G·M/r) : elle ne dépend pas de la masse du satellite et diminue quand r augmente.
- L'accélération d'un satellite en orbite circulaire est centripète, de valeur G·M/r², et n'est jamais nulle.
- La période vaut T = 2π·√(r³/(G·M)), et le rapport T²/r³ = 4π²/(G·M) est le même pour tous les satellites d'un même astre.
- Connaissant le rayon et la période de l'orbite d'un satellite, on calcule la masse de l'astre central : M = 4π²·r³/(G·T²).
- Un satellite géostationnaire a une orbite circulaire équatoriale, parcourue dans le sens de rotation de la Terre, de période égale au jour sidéral (86 164 s), à environ 35 800 km d'altitude.
- Première loi de Kepler : l'orbite d'une planète est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.
- Deuxième loi de Kepler : le rayon Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales, donc la planète va plus vite au périhélie qu'à l'aphélie.
- Troisième loi de Kepler : T²/a³ est le même pour toutes les planètes d'un même astre, a étant le demi-grand axe.
- Les astronautes en orbite sont en impesanteur parce qu'ils sont en chute libre avec leur vaisseau, pas parce que la gravitation est nulle.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Unité | Condition de validité |
|---|---|---|---|
| Force de gravitation | F = G·mA·mB/d² | N | corps ponctuels ou à symétrie sphérique |
| Constante de gravitation | G = 6,67 × 10⁻¹¹ | N·m²·kg⁻² | |
| Champ de gravitation | g = G·M/r² | m·s⁻² (ou N·kg⁻¹) | r ≥ rayon de l'astre |
| Relation au sol | G·MT = g₀·RT² | m³·s⁻² | rotation terrestre négligée |
| Vitesse orbitale | v = √(G·M/r) | m·s⁻¹ | orbite circulaire |
| Période | T = 2πr/v = 2π·√(r³/(G·M)) | s | orbite circulaire |
| Troisième loi de Kepler | T²/a³ = 4π²/(G·M) | s²·m⁻³ | a = r pour un cercle, demi-grand axe sinon |
| Masse de l'astre central | M = 4π²·r³/(G·T²) | kg | orbite circulaire |
| Loi des aires aux extrémités | rp·vp = ra·va | m²·s⁻¹ | au périhélie et à l'aphélie seulement |
| Ellipse | rp + ra = 2a | m |
Pièges à éviter
- Oublier d'ajouter le rayon de l'astre à l'altitude pour obtenir r.
- Laisser T en jours ou en heures dans une formule contenant G.
- Écrire qu'un satellite à vitesse constante n'a pas d'accélération.
- Prendre 24 h au lieu du jour sidéral pour un satellite géostationnaire, ou le placer au-dessus d'un point hors de l'équateur.
- Croire que la vitesse ou la période dépend de la masse du satellite.
- Expliquer l'impesanteur par une gravitation nulle.
Je me teste
1. Expression de la vitesse d'un satellite en orbite circulaire ? → v = √(G·M/r).
2. Le mouvement circulaire d'un satellite est-il uniforme ? → Oui, la force n'a pas de composante tangentielle.
3. Si r est multiplié par 4, que devient la période ? → Elle est multipliée par 8.
4. Si r est multiplié par 4, que devient la vitesse ? → Elle est divisée par 2.
5. Énoncé de la troisième loi de Kepler ? → T²/a³ est le même pour tous les satellites d'un même astre.
6. Où la vitesse d'une planète est-elle maximale ? → Au périhélie.
7. Période d'un satellite géostationnaire ? → Le jour sidéral, 86 164 s.
8. Altitude de l'orbite géostationnaire ? → Environ 3,58 × 10⁴ km.
9. Comment calculer la masse d'un astre ? → M = 4π²·r³/(G·T²) à partir d'un de ses satellites.
10. Pourquoi les astronautes flottent-ils ? → Ils sont en chute libre avec leur vaisseau.