L'essentiel
- La cinématique décrit un mouvement sans en chercher les causes.
- Un mouvement se décrit toujours dans un référentiel (terrestre, géocentrique, héliocentrique), auquel on associe un repère d'espace et une horloge.
- La trajectoire et la vitesse dépendent du référentiel choisi : le mouvement est relatif.
- Le vecteur position OM→(t) = x(t)·i→ + y(t)·j→ + z(t)·k→ donne les équations horaires du mouvement.
- Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : il est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
- Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : il traduit une variation de la valeur ET de la direction de la vitesse.
- On passe de l'accélération à la position par deux intégrations successives, les constantes étant fixées par les conditions initiales.
- Sur une chronophotographie, la vitesse au point Mᵢ s'estime par Mᵢ₋₁Mᵢ₊₁→ divisé par 2τ.
- Un mouvement rectiligne uniforme a un vecteur vitesse constant et une accélération nulle.
- Un mouvement rectiligne uniformément varié a une accélération constante portée par la trajectoire.
- Le mouvement est accéléré si a→·v→ > 0 et ralenti si a→·v→ < 0.
- Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse a une valeur constante mais l'accélération est centripète, de valeur v²/R.
- Le repère de Frenet (t→ tangent, n→ normal vers l'intérieur de la courbure) sépare la variation de valeur (aₜ) et le changement de direction (aₙ) de la vitesse.
Formules et définitions à connaître
| Grandeur | Formule | Unité | Condition de validité |
|---|---|---|---|
| Vitesse | v→ = dOM→/dt | m·s⁻¹ | toujours |
| Accélération | a→ = dv→/dt = d²OM→/dt² | m·s⁻² | toujours |
| MRU | x = v₀·t + x₀ | m | a→ = 0→ |
| MRUV : vitesse | v = a·t + v₀ | m·s⁻¹ | rectiligne, a constante |
| MRUV : position | x = ½·a·t² + v₀·t + x₀ | m | rectiligne, a constante |
| Relation sans le temps | v² − v₀² = 2a(x − x₀) | m²·s⁻² | rectiligne, a constante |
| Vitesse d'un MCU | v = R·ω | m·s⁻¹ | ω en rad·s⁻¹ |
| Période, fréquence | T = 2π/ω = 2πR/v ; f = 1/T ; ω = 2πf | s ; Hz ; rad·s⁻¹ | mouvement circulaire uniforme |
| Repère de Frenet | a→ = (dv/dt)·t→ + (v²/R)·n→ | m·s⁻² | mouvement circulaire (R = rayon de courbure en général) |
| Accélération d'un MCU | a = v²/R = R·ω² | m·s⁻² | centripète |
| Conversion | 1 m·s⁻¹ = 3,6 km·h⁻¹ |
Pièges à éviter
- Croire qu'une vitesse de valeur constante implique une accélération nulle : c'est faux dès que la trajectoire est courbe.
- Utiliser v² − v₀² = 2a(x − x₀) hors d'un mouvement rectiligne uniformément varié.
- Oublier les constantes d'intégration ou les conditions initiales.
- Conclure « ralenti » d'après le seul signe de a sans regarder celui de v.
- Calculer avec des km·h⁻¹, des cm ou des tours par minute sans convertir en unités SI.
- Confondre T, f et ω.
Je me teste
1. Que vaut le vecteur vitesse en fonction du vecteur position ? → Sa dérivée par rapport au temps : v→ = dOM→/dt.
2. Quelle est la direction du vecteur vitesse ? → Tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
3. Accélération d'un mouvement rectiligne uniforme ? → Nulle.
4. 72 km·h⁻¹ en m·s⁻¹ ? → 20 m·s⁻¹.
5. Distance de freinage de 20 m·s⁻¹ à 0 avec |a| = 5,0 m·s⁻² ? → 40 m.
6. Direction de l'accélération d'un mouvement circulaire uniforme ? → Vers le centre (centripète).
7. Valeur de cette accélération ? → a = v²/R = R·ω².
8. Lien entre ω et f ? → ω = 2πf.
9. Que représente la composante aₜ = dv/dt dans le repère de Frenet ? → La variation de la valeur de la vitesse.
10. Condition pour que le mouvement soit ralenti ? → a→·v→ < 0.